微分dx究竟是一個(函)數還是一個極限過程？

當年學高數的時候就一直沒想明白這問題，一知半解也就過去了。雖然並不影響考試╯?╰ 我是學物理的，可能是專業原因，個人更傾向把它看做一個(函)數。

補充： 個人認為，函數與數其實並不衝突。所謂的「函數」，用牛頓的話來說就是「變數」——變化的數，與恆定數值的「常數」相對。不論是常數還是變數，都可以歸納到廣義的「數」的範疇。而這並不是問題的關鍵。

重申一下，問題的關鍵不在於dx是數還是函數，而是 dx是一個狀態量還是一個過程量，是一個「狀態函數」還是一個「極限過程」？

吐糟：怎麼都和函數較上勁了。。dx這麼大大的一個x，這麼明顯的函數記號，初中生也能認出來啊。但是這裡說函數就弱化了問題的對立性，這問題本質上是對dx靜與動的討論，而函數也是「動」的，然而此動非彼動啊。。頭疼

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微分是線性變換。

關於微分如果你只能記住一點，那麼請記住：微分=局域線性化。

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當然不是一個數，微分其實是個函數。

在嚴格化以後（19 世紀後）的微積分理論中，導數、微分、積分的定義不會出現無窮小這種在牛頓時代含混不清的概念，所謂極限過程也是使用 ε-δ 語言描述的。

回到問題，你知道一元函數 y = f(x) 在一點 x0 的導數 f"(x0) 是個極限，(f(x0 +δ) - f(x0)) / δ 的極限。說極限其實是定義，這個極限的值就是一個數。導數值是一個實數。

如果對每個數 x0 都能找到導數值 f"(x0)，導數就可以做為函數，寫成 f"(x)。導函數是關於自變數 x 的一元函數。

然後看微分，如果 f(x) 可導，那麼函數 y = f(x) 的微分就是 dy = d f(x) = f"(x) dx。這裡 dy 其實是一個二元函數，一個自變數是 x，另一個自變數是 dx。dx 除了記號沒有什麼特殊之處，所以這個函數你看成 d f(x) = g(x, w) = f"(x) w 也是一回事。回想一下你的教材，微分 dy 是關於 dx 的線性函數。還考慮 x 的話，微分是關於自變數 x 與自變數 dx 的二元函數。

最後因為每個可導的函數 f(x) 都能求微分 d f(x) 得到一個二元函數，所以 d 也是一個運算元，從一個可導的一元函數映射到一個二元函數，叫微分運算元。特別地，對於線性函數 f(x) = x，d f(x) = f"(x) dx = 1 dx = dx，即 d(x) = dx（公式左邊是對函數 x 求微分，右邊 dx 是一個普通變數）。這樣可以解釋為什麼可以在公式中不必區分 dx 是對 x 做微分還是把 dx 做普通變數。微分運算元是從一元函數到二元函數的映射。

如上面所說，微分 d x 是一個二元函數，d x = g(x, dx) = dx，這個二元函數與它第一個自變數 x 無關，函數值等於它的第二個自變數 dx。

另一方面，在 d y = f"(x) dx 這個公式中，左邊的 d 是微分運算元，右邊的 dx 是一個普通變數。

上面說的是一元微分的情況。多元微分則在向量上進行推廣，還是看書吧。或者看看百科：

Differential of a function

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提問者讓我補充是「狀態函數」還是「極限過程」。我只能說，在微分相關的近代數學定義這裡，本來不存在「過程」這麼一回事。當然，也沒有「狀態」這麼一回事。這些概念是為了幫助你從直觀上想像極限和微分定義用的，在數學中沒有它們的存在。

非要說的話，一元函數的微分不是一個數，也不是一個過程。它就是一個二元函數，也就是一個 的映射。

其實我一開始就說了，來自於牛頓、萊布尼茨時代充滿幾何和物理直觀的古典微積分，裡面提到的無窮小量、極限過程，在 19 世紀分析學嚴密化以後都是邏輯上不必要的概念。所謂極限過程不再存在，只有 ε-δ 語言所描述的一個一階邏輯公式而已。比如說，所謂 f(x) 在點 x0 上的導數，就是滿足下面邏輯公式的實數 D：

無非是一階邏輯公式的羅列，你在其中看到了什麼極限過程？從大到小還是從小到大？

有了一點導數定義任意點上導函數，有了導函數直接定義微分函數。僅此而已。

一元可導函數的微分是個二元函數，給定 x, dx 兩個自變數值，算出 dy 一個因變數值，就這麼簡單的東西。在二元函數這點上，它和 z(x,y) = x + y 這種沒有函數沒有差別。理解它是個二元函數，不需要考慮幾何直觀、物理直觀或者任何心理上的直觀，函數就是個映射，一個對應關係而已。這是數學的抽象。

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微分是函數增量的線性主要部分 這個增量可能隨著所在位置的不同而變化 從這個角度講 微分應該算是函數 同時 按照提問者的字面意思 我認為微分屬於狀態函數 它不涉及到極限過程

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dx 是1-form. 推薦簡單易讀的兩本書：Spivak"Calculus on manifolds" 和

Do Carmo"Differential forms and applications".

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你是學物理的就應該知道dx是個1-form吧。。。

花姐寫的文章：微積分，我個人覺得是寫的很不錯的

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可以認為只是一個符號

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數學系：隨著學習的深入dx可以比較完善的解釋為微分形式（微分流形）或者測度（實變），而且兩者的品味還相當的對立，一般數學工作者只能取其一為業。

物理系：微分形式（廣義相對論）

工科渣：delta(x)取極限

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對於這個很多人都會疑惑的問題我專門做了個視頻講座，講解了dx dy的意思、微分的定義、導數符號的意思，看完後你會有更深入的理解噢！

dx dy的意思 微分的定義 導數符號的意思bilibili.com視頻

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dx就是Δx再取極限

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y隨x變化而變化，x分布是均勻的，線性的，dx等於一倍deltaX

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dx是一個differential form，從代數角度講叫alternating tensor，是個multilinear function defined over the Cartesian product of vector spaces

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微分是函數，不是一個數。

無窮小量也不是一個數，而是數列(離散情形)或者函數(連續情形)。

所以有的時候你在某些地方看到有人利用0.99循環與1的差距是一個無窮小「的數」，永遠只能是趨近於1而不能等於1來論證二者不等，你就可以大大方方的直接告訴他：「你高等數學/數學分析一定沒學好。」

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建議題主看中科大史濟懷老師的數學分析上，微分那一節，其實dx=delta(x), 個人感覺那本書對dx闡述的非常清楚。

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