高數書解答看不懂，求教一道基礎的導函數連續題？

設f(x)在(a,b)內可導,且f"(x)單調,求證:f"(x)在(a,b)內連續。

最好不要簡單地說是洛必達法則之類的，希望能指點導函數單調的條件怎麼用。如果有思路過程更好。謝大神。。

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借題主這道題來鞏固一下微積分基本功……

題主想要證明的命題，其實是下面這個命題的一個推論：

命題1：在一個開區間上處處可導的函數，其導函數不可能有第一類間斷點。

第一類間斷點，指的是雙側極限都存在，但極限不相等，或相等但不等於該點處函數值的間斷點。

與此相對的第二類間斷點，指的是至少一側極限不存在或為無窮的間斷點。

上面這個命題換句話說，則是：

命題2：若導函數在某點有單側極限，且原函數在此點有同側導數，則二者必相等。

題主的題目中，導函數的單調性保證了其單側極限存在（單調有界必有極限），所以只要能證明命題2，就能立即得到題主要證的結論。

而命題2可以這樣證明：

設在點處導函數的單側（不妨取右側）極限為，即；

又設原函數在點處的同側導數為，即。

由極限和導數的定義，，，使得，下面兩式同時成立：

• ；

• 。

由拉格朗日中值定理，存在，滿足，故有。

而又因為，所以。

由上面兩式得。而是任意小的正數，所以。

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命題1說，導函數可以具有第二類間斷點。

其實，利用與上面證明類似的方法，可以證明，若原函數在某點單側可導，則導函數在此點的同側極限不可能為無窮。

所以其實命題1可以更嚴格地表述為：

命題3：在一個開區間上處處可導的函數，若其導函數有間斷點，則導函數在此間斷點兩側的極限一定都不存在，且非無窮。

極限不存在且非無窮的典型例子就是振蕩。

導函數具有振蕩間斷點的一個經典例子是

這個函數處處可導，在處導數為0，但其導函數在兩側都是振蕩的。

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用Darboux導數介值定理

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這個命題本身有問題吧，可能震蕩

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