薛定諤方程是什麼意思？

01-05

聽物理系的同學說，專業人士也有不懂的，經常是「算就行了，別管那麼多」。為什麼會出現這種情況？

一. 幺正演化, 繪景和正則方程

其實薛定諤方程說了一件很簡單的事情, 就是幺正演化算符 $mathcal{U }$ 是薛定諤方程的解:

$mathrm{i}hbarfrac{partial}{partial t} mathcal{U}=H mathcal{U}$ ,

這樣的話對於一般情況下的不含時哈密頓量來說, $mathcal{U}=exp{left(-frac{mathrm{i} Ht}{hbar} ight)}$ , 則在薛定諤繪景下的態矢量 $|psi;t=0 angle$ 的演化為 $|psi;t angle=exp{left(-frac{mathrm{i} Ht}{hbar} ight)}|psi;t=0 angle$ . 不含時算符就沒有演化. 同時對於態矢量來說也滿足薛定諤方程:

$mathrm{i}hbarfrac{partial}{partial t} |psi angle=H|psi angle$

從海森堡繪景來看, 量子態的矢量是不演化的, 但是不含時算符是有演化的: $A(t)=mathcal{U}^{dagger}A(0)mathcal{U}$ , 同時算符的本徵態滿足「反薛定諤」方程:

$-mathrm{i}hbarfrac{partial }{partial t}|lambda; t angle=H|lambda; t angle ightarrow |lambda; t angle=mathcal{U}^{dagger}|lambda; t=0 angle$

對於海森堡繪景, 可以寫出一個非常漂亮的表達式:

$frac{mathrm{d}A(t)}{mathrm{d}t}=frac{1}{mathrm{i}hbar}left[A(t)H-HA(t) ight]=frac{1}{mathrm{i}hbar}left[A(t),H ight]$

相應的經典力學中有哈密頓正則方程

$frac{mathrm{d}A}{mathrm{d}t}=frac{partial A}{partial q}frac{partial H}{partial p}- frac{partial A}{partial p}frac{partial H}{partial q}=left{ A,H ight}$

這表明經典力學的泊松括弧對應著量子力學的對易算符.

總而言之, 薛定諤方程描述的是含時演化.

考慮坐標表象下的量子態, 就是波函數: $psi(x,t)=langle x|psi;t angle=langle x;t|psi angle$ , 相應的薛定諤方程中的哈密頓量也可以換成坐標表象下的形式:

$H=frac{p^2}{2m}+V=-frac{hbar^2}{2m} abla^2+V$

二. WKB 近似, Hamilton - Jacobi 方程和作用量

如果從 WKB 近似(就是所謂半經典近似)的角度來看, 薛定諤方程中的波函數(的相位)的經典極限是經典哈密頓作用量, 也就是經典拉格朗日量對時間的積分.

考慮波函數相位按照 $hbar$ 展開, 不妨設:

$psi(x)=mathrm{e}^{mathrm{i}frac{f(x)}{hbar}}=mathrm{e}^{mathrm{i}sum_nhbar^{n-1}f_n(x)}$

將上述 WKB 波函數代入薛定諤方程, 得到:

$mathrm{i}hbar f$

這樣再將展開的相位函數代入上式, 按照 $hbar$ 的冪次得到一階近似相位解為:

$f_0(x)=int_0^xsqrt{2m{[E-V(x$

這樣考慮了含時薛定諤方程波函數的相位為:

$phi(x,t)=frac{1}{hbar} left(-Et+f_0(x) ight)=frac{1}{hbar} left(-Et+int_0^xsqrt{2m{[E-V(x$

熟悉經典力學的朋友應該很容易看出來這就是經典力學中的作用量: $S=int L mathrm{d}t=int pmathrm{d}q-Hmathrm{d}t$

如果再往後考慮一項的話, 就會產生波函數振幅的變化了.

哈密頓雅可比方程

$H+frac{partial S}{partial t}=0$

可以看成薛定諤方程的一種經典近似.

三. 路徑積分與作用量

此外還可以從路徑積分的角度體會經典力學和量子力學的關係.

接著從波函數的角度考慮問題. 如果在初始 $t=0$ 時有波函數 $psi(x, t=0)$ , 已知哈密頓量, 如何解出系統在任意時刻的波函數? 可以將波函數在哈密頓量本徵態上分解, 然後再用幺正演化:

$psi(x,t)=sum_{alpha}mathrm{e}^{-frac{mathrm{i}E_alpha t}{hbar}}phi_alpha(x)int phi_a^*(x$

則顯然式中出現了一個因子正好表示了波函數如何演化: $psi(x,t)=int K(x,x$

$K(x,x$

這就是所謂薛定諤方程的傳播子. 在海森堡繪景下也可以緊湊的寫成:

$K(x,x$

事實上, 經過比較繁複的計算可以證明, 傳播子可以寫成如下的形式:

$K(x,x$

一般可以簡寫成:

$K(x,x$

這個式子也被稱為路徑積分, 將經典拉格朗日量, 經典作用量和量子力學聯繫了起來.

REF:

J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics

D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics

其實就是說，波函數怎麼隨時間變。

前面已經有答主答的很好了，我也做點科普吧

你那位同學的說法如果是針對考試也就算了，畢竟要會算的話對付期末考試及格沒問題。如果他是真的認為只要會算就行了，而且專業人士也有不懂的話，那還是有失偏頗的。

這個方程在一些教材里是被當做引入或者第一章第二章開頭的，可見非常重要。

在牛頓力學體系中，想要了解物體的性質，需要知道位置R和動量P他們的函數，而在量子力學中，有不確定原理，所以並不能精確的知道動量與坐標，這時就需要一個新的方法去描述粒子，就是波函數，表示粒子出現在某時刻某點的概率，在牛頓力學中，當質點某時刻狀態已知，那麼根據運動學方程就可以求出以後任意時刻的狀態，在量子力學中，同樣也是這個道理，不過這裡用到的就是薛定諤方程了。

這個方程具體是什麼最初的物理學家們也並不是很清楚，但是可以去猜想，因為我們必須知道隨時間變化的的方程，因此這個方程必須含有對時間的導數，而且必須是線性的，且係數裡面不能含有狀態參量（萬一有不懂的可以評論問），比如速度和能量。

於是物理學家們開始了這方面的努力，最開始的時候是對自由粒子進行猜想，從平面波出發，論證推導過程見目前最高票答案，最終得到了這個方程，作為量子力學的基本方程使用。

物理是一門自然科學，我們需要解釋這個世界，而解釋世界是從現象入手的，所以當我們發現我們所猜想的，所推導的，被真實的現象所驗證了，那麼就可以看做是目前的真理。

手機碼字，無公式，見諒。

我給個科普版的回答。

首先專業人士不會有不懂的，薛定諤方程對於專業人士來說是本科低年級的必修內容，都混到專業水平了肯定懂。

薛定諤方程的最「大眾化」的版本就是裡面有波函數的一個方程，是薛定諤猜出來的，他當時思考的是把粒子的運動看作波函數，粒子的幾率可以通過解方程解出。還有一點值得一提的是，薛定諤方程是不符合狹義相對論的修正的，包含狹義相對論效應的方程在幾年後有提出。至於薛定諤方程的物理概念，別的回答有很詳細。

前面的答案好厲害好厲害，不過我想說只有：

用薛定諤方程算出來的答案是對的，但是，沒有人知道為什麼它是對的

就是這樣，喵奧

還有，專業人士不是不懂，只是不懂怎麼和你解釋

薛定諤方程相當於經典力學裡的牛頓第二定律，量子力學裡粒子的狀態是由波函數描述的，薛定諤方程一邊是時間的一階導數，這就是說你只要知道了一個時刻粒子的波函數，就可以算出它的時間導數，有了時間導數，就可以知道這個時刻之後的波函數