怎樣理解混亂度？為什麼熵可以表示混亂度？

01-05

下面這個答案里我將淺顯地討論一下什麼是混亂度，怎樣定量表示它，為什麼熵可以表示混亂度，為什麼熵要取對數，為什麼熵可以表示為dQ/T，為什麼系統的總熵隨時間永遠不減小。

慢慢讀完相信你對身邊的世界的理解一定會加深一丟丟的^。^~ 圖侵刪。

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1.首先，什麼是混亂度？

我們來看一個簡單的例子，下面是三幅程序生成的點圖，每幅圖裡有1000個隨機點，點可以重合。大家覺得哪個要更亂？

顯然，按照直觀感受，混亂度上c&>b&>a。理由很簡單啊，c完全是亂選的點，b雖然豎向有點亂，好歹排成線了。a的話，點行列都對整了，最整齊了。

也就是說：C里的點在0~1的二維平面可以任意取值，b里的點在20根線上可以任意取值，A里的點就只能取在x，y坐標都能被0.05整除的地方。

這白話背後隱藏著一個系統的「整齊」這個抽象概念背後的原理，那就是：

限制一個系統能夠取到的狀態。

2.那麼怎麼定量描述一個系統的「混亂程度」呢？

沒錯，物理學家發明出了 狀態數 $W$ 這麼一個神奇的玩意。

簡單得說，就是一個隨機系統所可能取到的狀態總數。

然後我們就可以定義：狀態數越多的系統，混亂度越高

如何準確理解 系統的狀態數 ？再舉一個例子，假設有下面兩個系統：

1. 隨機拋出的兩個色子

2. 隨機拋出的兩個色子，如果結果不同就重新拋

不難算出系統1有 $W=6 imes 6=36$ 個狀態，而系統2禁止了30種兩個篩子有不同取值的狀態，所以只有 $W=6$ 種狀態。因此，系統2的混亂度是比系統1小的。

3.為什麼系統狀態數多直觀上會給人更混亂的感覺??

對於混亂的直觀感受的本質在於：當我們看到一個系統時，我們會本能地猜測這個系統可能的限制條件。例如我們看到一團亂麻時，絕不會本能地想到「哇，這裡每一根線一定都是精心安排過的」。當我們看到整理好的一列水瓶時，也不會下意識地覺得：「死國以，隨便亂擺居然碰巧這麼整齊~」

另外，對稱性高的系統也能給人整齊的感覺，而對稱性一定程度上也是限制系統的狀態（比如鏡面對稱就限制境內和境外狀態必須相同。）

舉兩個生活中的例子：

整理好的房間比東西亂擺的房間看上去整齊，是因為整理好的房間系統不能夠取到「襪子出現在任意位置」，或者「被子以任意形態擺放」，這樣的狀態。

左邊的書比右邊整齊，因為左邊的書系統不能取到沒有對齊的任何狀態。而右邊書的朝向和重心的位置是可以任意調整的。

4.主觀感受到的混亂與客觀的混亂的聯繫是什麼？

主觀感受到的混亂通常是片面的，因為我們在一個時間只能觀察某個系統的一種狀態。而單從一個狀態是無法準確判定系統的混亂程度的。

比如說有兩組三個一組的色子，投擲之後分別出現下面兩組數：

1 1 1 2 3 5

哪一個更混亂？直覺上來說當然是右側這一組。

但是如果我告訴你，左側的三個色子其實是隨機碰巧擲出來的，而右邊的系統限定條件是「如果三個數里沒有五點就重新扔」呢？

所以，要客觀地考察一個系統的混亂程度，必須研究這個系統的客觀的限定條件是什麼，也就是這個系統的狀態數有多少，而不是研究其中的某一個狀態。對於某一個狀態是否混亂的直覺感受很有可能是錯誤的。

這個「一個系統可以取的所有狀態的集合」，在統計熱力學中被稱為系綜。

5. 說了這麼多，熵呢？為什麼熵可以表示混亂度？

不急不急，這就來了。

要理解一個抽象概念不妨先從定義下手，熵在統計熱力學中的數學表達式為：

$S=klnW$

其中：

$ln$ 函數：如果一個數 $A$ 等於 $e^a$ , 那麼 $lnA=a$ 。 $e$ 是一個叫自然常數的神奇的數

$k$ ：k是一個常數，叫做玻爾茲曼常數，表示能量與溫度的關係，你可以不用理他

$W$ ：不多說了吧，就是狀態數。不過名字不一樣，他叫微觀狀態數。

簡單地說，微觀狀態就是把空間按照一定的大小劃分成小格子，每一個格子內算一個狀態。粒子的動量取值範圍也可以看成空間，劃成小格子，每一個格子內也算作一個狀態。某個自由粒子的狀態數就是它能在空間中取到的狀態數乘以它在動量空間中能夠取到的狀態數。

總之，熵是一個隨系統狀態數W增加的函數。

6.為什麼熵要對狀態數取對數？

取對數的原因很簡單，我們希望「熵」這個值成為一個廣延量。

換句話說就是，如果兩個系統合併為一個系統，我們希望總系統的熵是兩個系統的熵的簡單和。

再來看色子：

一個色子的狀態數為 $W=6$

兩個色子的系統，狀態數為 $W^{2}=36$

顯然是沒法直接相加的，但是如果我們選擇 $lnW$ 作為「色子熵」的話，則：

一個色子系統的熵 $S_{dice}=lnW$

兩個色子系統的熵 $S_{2dice}=ln W^2 =2 imes lnW$

這樣就滿足了相加條件。

7.怎樣理解熵在熱學中的定義： $dS= frac {dQ}{T}$ ?

首先由問題4，我們知道一個穩定系統的熵就是子系統熵的和。所以一團氣體的總熵也就是每一個分子的熵的和。

如圖，A系統是體積固定為為V、溫度為 $T$ 的氣體系統，我們考慮其中的一個氣體分子。因為氣體是由許多個相同的單個分子組成的，所以整個系統的熵和這個粒子的熵成正比。

接下來，我們將考察這個粒子能夠取到的狀態數量，考慮它向外傳熱的過程，最後給出傳熱和熵的關係。

是不是很激動！！來來我們開搞。

注意：以下討論略去所有的常數，全部以粗略的正比的形式給出。

首先考慮空間對應的狀態數。由於我們把空間劃成小格，所以狀態數和空間尺寸成正比：

$W_{space} propto V$

我們的氣體體積是固定的，所以就可以忽略掉這部分狀態數的變化。

然後考慮動量的狀態數，我們都知道動量有三個指向，如果把動量也看成三個維度的話，那麼狀態數應該和「動量空間」的大小成正比，也就是平均動量 $ar{p}$ 的三次方成正比。(也就是在三維世界裡，」空間「體積與」長度「的三次方成正比)：

$W_{p} propto ar{p}^3$

然而又因為溫度正比於平均動能，平均動能又和平均動量的二次方成正比關係 $T propto frac{1}{2}m ar v^2 propto ar{p}^{2}$ ，所以嘛：

$W_p propto T^{frac{3}{2}}$

系統的熵需要對狀態數取對數，因為對數的運算規則 $ln a^b=b imes ln a$ ，所以：

$S propto frac{3}{2} ln T propto ln T$

高潮來了！我們考慮氣體系統向外界傳熱，它的溫度變化了非常小的 $Delta T$ 。我們請出偏導數來描述熵的變化！

由於當 $Delta T$ 足夠小時,

$S(T_0+Delta T)=S(T_0)+frac{partial S}{partial T}_{T=T_0} Delta T$

考慮表示熵的變化的第二項，帶入熵的對數表達式就可以得到：

$Delta S proptofrac{partial ln T}{partial T} cdot Delta T$ 也就是 $frac{Delta T}{T}$

又因為顯然溫度的變化量 $Delta T$ 與傳熱 $Delta Q$ 成正比，所以上面的式子就變成了傳說中的：

$Delta S propto frac{Delta Q}{T}$

可以看出對數系統有不可多得的優越性，W與T的函數關係只要在冪函數的範圍內都可以得到同樣的結果，所以熵與熱量傳遞的關係和空間維度沒有關係！

8.為什麼一個系統的內部過程會傾向於使熵增加？

試想你生活的屋子，如果你平時不注意收拾，用過的東西以很隨意的姿態任意擺放。要不了多久屋子就會變得一團糟。並且這樣的趨勢也不太可能被逆轉。

所以熵增加的本質其實是：系統內部自然發生的隨機過程打破了原有的狀態限制，讓系統內部的元素可以取的狀態多了起來。

在屋子變亂這個例子里，人的使用和隨意擺放就打破了原有的物品的擺放限制，比如你的鬧鐘本來固定呆在床頭柜上，你用過以後滿屋子隨便扔，那這個鬧鐘就可以出現在桌子椅子窗檯地板的各種地方了。這樣被亂扔的東西多了，屋子也就變亂了。

9.為什麼常說熵增加是時間單向流動性的本質？

這樣的過程，往深刻了說，就是時間流動的本質。

時間向前流動的過程中，系統中會發生大量這樣的隨機過程。

其中一部分隨機過程不會打破原來的狀態限制，比如說本身已經是隨機的數列，你又隨機交換了其中兩個數，這樣的隨機過程並沒有什麼卵用。

但是有一部分隨機過程會打破狀態限制，例如本來是按次序擺好的書，你拿出來又隨便放回去，或者把一個杯子打碎。引入了隨機過程這個搗蛋鬼之後，熵就增加了。

point是，在時間前進的過程中，沒有任何隨機過程可以為系統添加限制條件。並且宇宙在微觀層面幾乎只存在附加了某些限制條件的隨機過程。（除了生命體這個耗能量維持自身狀態數的大bug）

你可以在宏觀層面收拾房子，但是你的身體正在發生猛烈的化學反應。肌肉細胞拆了一個又一個葡萄糖、脂肪、ATP，產生了大量的混亂度才供給你了足夠能量，讓你疊個被子。

換句話說，只要宇宙微觀上的隨機過程永不停歇，那麼總有一些隨機過程會打破原來對狀態的限制，狀態數的增加會永遠無休止的進行下去，永遠永遠不會回頭。

--------------------------- 回答讀者問題的分界線，下面的內容就比較難懂了= = -----------------------------

信息熵與熱力學的熵關係是什麼樣的？

有人提到信息熵就是負熵，實際上並不是這樣的！！

信息熵的定義是 $S_{inf} = sum_{i}{-P_i cdot log_{2}{P_i}}$ ，其中 $P_i$ 是系統處在第 $i$ 個狀態的概率。

（注意P表示概率，而概率都是小於1的，所以 $-ln P$ 求出來的實際上是正值正值正值）

注意到前面的負號，把負號換到對數裡面，整個式子其實可以寫成：

$S_{inf} = sum_{i}{P_i cdot log_{2}{frac{1}{P_i}}}$

也就是 $log_2{frac{1}{P}}$ 對於所有可能狀態求平均值。

假設這個系統每個狀態取到的概率都相同，那麼某個態出現的概率是狀態數的倒數。

比如骰子有6個狀態，那麼每個狀態出現的概率就是 $frac{1}{6}$ 。

所以信息熵就可以寫為 $log_2 W$ ，和熱力學熵只是底數的區別。這裡把e換成2是因為可以和信息里的bit相對應，信息熵的大小可以估算系統所有狀態大概可以用多少個bit長度的二進位數列來一一對應。

也就是狀態數用二進位數來表示時，這個二進位數的位數。

當系統每個狀態的概率都一樣時信息熵實際上是取到了最大值。這時系統所含信息量最大。

反之，當概率集中在一個狀態時，信息熵最小，所含信息量也最少。

怎樣理解兩團氣體放在一起，熵為兩團氣體的和？明明每一個氣體分子可以取的空間都加倍了。

假設這兩團氣體分別只有一個分子，把隔板抽開之後，兩個分子的運動空間分別加倍。所以理論上合併後總狀態數應該變成原來的兩倍。

但是我們考慮兩個粒子的全同性。所以把兩個粒子交換之後整個系統並沒有任何變化，所以總狀態數必須除以2.這就回到了原來的總狀態數。

N個粒子同理，可以自己思考一下

怎樣理解連續空間的狀態數？ @傅亦辰

熱統教材里有一個我非常不喜歡的粗暴的強行解釋方法：

按照量子力學的不確定性，粒子的空間和動量不確定度之積必須大於一個值：

$Delta P cdot Delta x geq h$

所以把動量和空間分量分別看成一個空間的兩個維度，那麼「面積」小於 $h$ 範圍內的空間就可以看成不可區分的一個狀態。

但是我覺得把這個量子力學的概念強加在經典統計熱力學中簡直就是強行扯淡

實際上這裡劃分狀態格子的大小並不需要一個具體的值。這個h值只要足夠小，讓狀態數足夠大，讓斯特林公式可以用，對於經典熱力學的理論結果就不會有任何影響。在純經典的熱力學裡，狀態數更多的是一種方便大家進行計算和理解的東西。

你如果喜歡，完全可以用概率密度函數重建經典統計熱力學（然而並沒有什麼卵用）。

怎樣才能更好地理解隨機過程使熵不可逆轉地增加？

考慮兩個相互接觸但是還沒有相互融合的，除了溫度完全相同的氣體團A和B。

有溫度關係 $T_A> T_B$

這時候 $A$ 裡面的每個氣體分子可以取到的狀態數是大於 $B$ 裡面的每個分子的。

但是當來自B的一個分子與A中一個分子發生隨機碰撞的一瞬間之後，平均而言來自A氣團的分子會喪失能量，導致狀態數減小，而來自B氣團的分子會得到能量，破除了之前在自己氣體內部運動時的狀態範圍限制，狀態數增加。

因為能量守恆，所以失去的能量與得到的能量是相同的。所以熵的變化分別是：

$Delta S_A = frac {-Delta Q}{T_A}$ , $Delta S_B =frac{Delta Q}{T_B}$

總的熵變化為：

$Delta S_{sum} =Delta Q(frac{1}{T_B}-frac{1}{T_A})$

因為 $T_A>T_B$ ，所以上面這個式子大於0，也就是減少的狀態數沒有增加的多，所以總的來說系統狀態數還是增加的。

注意上面論述中的「粒子」這個概念，上面的兩個粒子碰撞之後可以取的狀態數的改變，其實可以理解為「A粒子所有可能的狀態與B粒子所有可能的狀態碰撞之後，可以得到的新的所有可能狀態的數量比碰撞之前要多」。

～這個「一個系統可以取的所有狀態的集合」，在熱力學中被稱為系綜。

我覺得再寫下去就可以寫教材了(。?`ω′?)

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樓上答的都什麼鬼

我們熱統老師天天叨叨說什麼別的教材一學期根本學不到系綜理論自己寫的講義有多牛逼多牛逼先講系綜再講分布，那我就發上來說一下， $S=k ln Omega$ 和熱力學中的 $dS=frac{delta Q}{T}$ 為什麼是一樣的。

對了，期末考試時老師讓推導封閉體系，然而我推導成了以下的孤立體系，於是有了如下對話

_(:з」∠)_好在最後給分很好，謝謝老師仁慈……

考慮一個孤立系統，以 $(E, V, N)$ 為參量

定義概率分布函數 $ho$ 以及引入等概率假設，其中 $Omega$ 為微觀態數目

$ho = 1/Omega$

定義玻爾茲曼熵

$S=langle -k ln ho angle$

算一算那個平均

$S=int_{Sigma }^{} -k ln ho cdot ho frac{dq dp}{N!h^{3N}} =kln Omega int_{Sigma}{} ho frac{dq dp}{N!h^{3N}} =k ln Omega$

把S看成是 $(E,V,N)$ 的函數

$S=S(E,V,N)$

求偏導數，叫做特徵方程

$dS=left( frac{partial S}{partial E} ight)_{V,N} dE+left( frac{partial S}{partial V} ight)_{E,N} dV+left( frac{partial S}{partial N} ight)_{E,V} dN$

一看這樣就忍不住用用偏導數的那什麼關係

$left( frac{partial S}{partial V} ight)_{E,N} left( frac{partial V}{partial E} ight)_{S,N} left( frac{partial E}{partial S} ight)_{V,N}=-1$

$left( frac{partial S}{partial N} ight)_{E,V} left( frac{partial N}{partial E} ight)_{S,V} left( frac{partial E}{partial S} ight)_{V,N}=-1$

帶回特徵方程

$dS=left( frac{partial S}{partial E} ight)_{V,N} left[ dE -left( frac{partial E}{partial V} ight)_{S,N}dV -left( frac{partial E}{partial N} ight)_{S,V}dN ight]$

看的越來越眼熟了！

我們移個項

$dE=left( frac{partial S}{partial E} ight)_{V,N}dS+left(frac{partial E}{partial V} ight)_{S,N}dV+left( frac{partial E}{partial N} ight)_{S,V}dN$

熱力學基本方程是啥來著？忘了默寫熱力學四定律一百遍一百遍！！

$dU=TdS-PdV+mu dN$

太TM像了對不對？

所以嘛對比一下

$T=left( frac{partial S}{partial E} ight)_{V,N}=k left( frac{partial ln Omega}{partial E} ight)_{V,N}$

$P=-left( frac{partial E}{partial V} ight)_{S,N}=frac{k}{T} left( frac{partial ln Omega}{partial V} ight)_{E,N}$

$mu=left( frac{partial E}{partial N} ight)_{S,V}=-frac{k}{T}left( frac{partial lnOmega}{partial N} ight)_{E,V}$

所以，給定了微觀態數目 $Omega$ ，所有宏觀的熱力學量都能求得了！我們建立了微觀到宏觀的橋樑。

至於本題說的熵，可以看出來統計力學中的熵 $k ln Omega$ 就是熱力學中的熵 $dS=frac{delta Q}{T}$ ，微觀態越多，熵的值就越大。

熱統出分考爆了好開心

把混亂度說成是微觀態數，然後援引玻爾茲曼熵的定義

還不如直接就說「定義混亂度為熵，所以熵當然能表示混亂度」

因為這依然並不解釋為何具有較高的熵/微觀態數的宏觀態會使人對此系統產生「無序」「混亂」的感覺

一個粗糙的解釋可以是這樣：體系混亂無序意味著精確描述這個系統需要的信息很大，由於不存在可以簡化描述的辦法-&>由短描述很少，可知絕大部分可達微觀態都需要海量信息來精確描述—&>玻爾茲曼熵較大的宏觀態，平均而言需要海量信息，描述幾乎無法簡化

微觀體系可以推導出玻爾茲曼關係，

S=k·lnΩ

這對玻爾茲曼體系、費米體系、波色體系都成立

其中k是常數，Ω是微觀狀態數，可以看出來熵和Ω正相關

而混亂度實際是指某一宏觀狀態對應的圍觀狀態數的多少，Ω很大系統就偏向混亂，對上的體現就是熵大體系更混亂。

熵對混亂程度的體現在宏觀上沒法直接解釋，必須和微觀聯繫起來。

想理解熵是什麼，首先我們要理解熵為什麼只增不減。

說到熵增，我們都知道很多例子。比如理想氣體擴散後不可能自己縮回去，溫度只能自發從高溫傳到低溫，這些都是熵增的過程。一句話，不可逆過程。

但問題是，這些不可逆過程發生的條件是什麼？是不是在某些條件下可逆？

我來給大家舉一個例子，一個熵自動減少的例子

好的。現在假設如下圖所示一個密閉的長方體空間中有六個氣體分子，一開始所有六個氣體分子都被一個擋板壓縮在長方體容器的左半邊，現在擋板取消，分子開始擴散，充滿整個容器，就像第二張圖所顯示的那樣

但是，如果我們適當規定一下氣體分子的速度方向，就像上圖那樣，兩個分子向左，四個分子向右，會發生什麼情況呢？是的，我們會發現在某一個時刻，向左的兩個分子碰壁後回彈，和向右的四個分子運動方向一致，最終這六個分子完全進入了右半空間。

這是氣體自發的擴散，按定義熵增加，又自發地退回到右半邊，按定義是熵減少。於是氣體自發地熵先增加後減少！

再舉一個最極端的例子。溫度總是自發地由高溫物體傳向低溫物體。在宏觀世界不可想像低溫物體自發傳熱給高溫。但是當分子數目足夠少的時候呢？

假設有三個分子組成的系統，動能分別為5,10,15焦耳，按照溫度對應於分子平均動能的觀點，它們的溫度對應於平均動能10焦耳左右。另外也有三個分子組成的系統，完全一樣的分子只是速度不一樣，7,8,9焦耳。現在這兩組分子被一個隔板分隔在長方體容器的兩端。現在隔板去掉，讓這兩組分子發生碰撞，很有可能第一次碰撞就在動能為5的分子和這三個分子之間。假設是動能5焦耳和9焦耳發生碰撞，動量守恆交換交換速度，也同時交換能量，結果是原來5,10,15的系統變成了9,10,15；原來7,8,9的系統變成了7,8,5。這樣，高溫系統的分子平均動能更高了，低溫系統的平均動能更低了，也就是高溫更高，低溫更低，熱量自發地從低溫傳向高溫。

現實中怎麼可能！的確，在現實中我們費力吹起一個氣球，用針一紮，只能看見氣體自發地從氣球里噴出，卻從沒有看到氣體自發地回到氣球里。如果我們不費力收拾我們的桌子，它們只會自發地越來越亂，從來沒有看見它們自發地擺整齊過。

但是，如果我們桌子上只有兩本書呢？哪怕我們不經意間隨手一放，也有可能把原來攤在桌面上的兩本書疊在一起。這樣一來，熵又減少了。

不錯，現在我們發現熵增的關鍵所在：分子數目。當我們在上面的體系中僅僅增加一兩個分子的時候，情況似乎沒有什麼變化。我的桌子上擺了不管兩本書還是三本書，似乎隨手就可以把他們疊放在一起，不需要特別的整理。但是，當分子數目一個一個的增加，一直到標準狀態下（零攝氏度，一個大氣壓下）在22.4升的容器里有個分子的時候，由量變積累的質變就發生了。

那麼，這個質變是怎麼發生的呢？

還是那個長方體空間里的例子。當擋板打開前，所有的分子都在左側，當擋板打開後，所有的分子自由選擇在長方體左邊還是右邊。所以，擋板打開後，所有的分子都重新回到右邊的概率是也就是說1.56%的可能性，再加上全部重新回到左半邊，一共是3.12%的概率氣體重新回到整個容器的一半，即熵不變。雖然很小，但是有可能的。要知道，哪怕是所有分子都在左半邊而只有一個分子在右半邊也叫熵增。所以，當氣體分子數目增加到個，那原先被限制在長方體左半邊的氣體擴散後又重新回到一半體積的概率是，可想而知和沒有沒區別。

但問題是，可不可以最終結果兩邊不同呢，還是那個長方體的例子，一開始左邊是1000個分子，那最終結果可不可以是左邊600個，右邊四百個呢？看上去雖然兩邊都有，熵是增加了，但還沒有到最大，這樣可不可以呢？其實這種情況可以這樣理解。在一個充滿800個氣體分子的長方體里，我們再從長方體左邊加入兩百個氣體分子。那這兩百個氣體分子的運動不會受到其他氣體分子運動的影響，也就是說，相當於原來真空的箱子里有兩百個氣體分子。結果呢，這多出的兩百個還是會平分到兩邊，也就是兩邊都一樣。

（當然，嚴格的數學意義表述是二項分布，這樣得到的結果如下圖所示，藍線從外到內分別是長方體中含有10,40,70,100,130,160個分子時氣體分子分布情況，橫坐標表示長方體左側所有氣體分子數佔總體分子數目的比例，縱坐標表示相對應分布的微觀狀態數，做了歸一化處理，可以近似看成對應該微觀狀態的概率，可見分子數目足夠多的時候，只有一種情況最常見最穩定，就是所有氣體分子均勻分布）

當然，我們允許長方體兩邊的氣體分子有一個兩個的差異，就好像在真空的長方體里只有兩個分子的情況下我們也無法按照熵增加的要求要求這兩個分子一定一個在左側，一個在右側。

熵增，這樣一個在微觀狀態下完全由概率決定的事情，在宏觀狀態就成了必然。

因為熵自發減少的可能性是如此之小，以至於自從宇宙誕生到現在所有的分子運動的嘗試中，始終無法找到一個幸運的系統或者分子能夠自發的熵減。

一句話，熵之所以必然增加，沒有動力或者能量的原因，是因為熵減少的概率，或者可能性小到可以忽略不計。

熵的微觀失效宏觀有效是統計力學系統微觀量波動的本質。

但是，到現在我們還沒有說明熵到底是什麼？體積增加，擴散，溫度傳導之間有什麼相同的地方？為什麼兩個不同溫度的物體傳導熱量，總能量不變而熵增加。這些問題要說的簡單明了的話一兩句可能不夠，這裡可以先提前說一下

熵是物體在一個一定的宏觀狀態下所有微觀狀態的總和。這是目前物理上對熵理解的最透徹的定義。

熵最本質的定義就是一定宏觀狀態下所有微觀狀態的總和。現在我們假設有兩種同樣種類，同樣分子數目的氣體，一個溫度高，T1，一個溫度低，T2。按照熵增原理，這兩個氣體混合後總熵增加。問題是為什麼會增加？也就是說為什麼兩組氣體的微觀狀態數目會增加。

首先要解釋一下什麼是微觀狀態。當一個宏觀系統的宏觀變數如分子數目，總能量都一定（總能量也近似為總動能，即溫度一定）時，微觀狀態是指所有各個分子的動能組成的一個集合。假如有總共有N個分子，我們把它們編號為1,2,3,4,5…N，那麼可以假設每一個分子的能量分布如下

這裡編號1到6的分子能量相同都是E1，然後是編號7到11的分子能量高一點，為E2（為了簡化起見，這裡就不討論每一個相同能量狀態下還有不同的量子態，只是定性說明原理）。因為氣體分子在不停地相互碰撞，碰撞的時候動能交換，所以能量也會交換，如果分子1和分子2碰撞，結果沒有任何變化，1,2分子能量碰撞前後都一樣，還是一樣的分布狀態。但是如果分子1和分子7碰撞，雖然總能量不變還是E，但微觀分布狀態變了，編號7,2，3,4,5,6的分子能量相同都是E1，編號1,8,9,10，11的分子能量為E2。我們把初始粒子能量分布狀態稱為分布1，分子1和分子7碰撞後的粒子能量分布狀態稱為分布2，所有這些滿足總能量相同但各個微觀粒子的能量不同的微觀狀態總數為G。那在相同的總能量分布狀態下，總共有多少種微觀狀態呢？接下來就是一個簡單的排列組合問題。總的組合數目為G=N!/(n1!
n2! n3!...)，這裡！是階乘，n1指在這個系統里能量為E1的分子總數目為n1，n2指在這個系統里能量為E1的分子總數目為n2，依次類推。

按理說，推理到這裡微觀狀態解釋清楚了，熵也就解釋清楚了，低溫物體處在能量較低的狀態，比如E1的分子數目肯定比高溫物體多，按照這個公式計算的G肯定比高溫物體小，然後和高溫物體接觸的時候通過充分的碰撞，兩者溫度相同，分子能量分布也趨於相同，結論完成。

但是這裡有一個問題：為什麼低溫物體的熵一定會小？

如果一個系統所有的氣體分子能量各個不同，那它的微觀狀態數就是N！，和總能量無關，也就是說不論高溫還是低溫，微觀狀態數都不變，熵都不變，只和總分子數有關。

按照常理，似乎氣體分子的速度，也就是分子的能量可以取任意數，或者說，兩個氣體分子的能量差可以無限小。就算這個氣體系統中分子最高動能只有1J，那在0J和1J之間有多少自然數呢？在0J和0.1J之間呢？0J和0.001J之間呢？無窮多個。不管有多少分子，我們都可以在0和任意正數之間找到一個自然數與之對應。那這個氣體系統的總溫度可以無限逼近絕對零度，但同時總熵不變，都是N！。

問題出在哪裡呢？

其實我們這裡有一個被大家忽略的假設：為什麼能量一定可以無限細分呢？

既然我們都承認，物質是不能被無限細分的，有被稱為分子，原子的基本組成單元。就算是這些基本單元，也要有電子質子中子這些單元，它們有一個共同點，就是它們都是由各自的基本大小無法被分割的。因此，說我們切割出半個原子，或者半個電子是沒有意義不可能的。

既然物質在微觀世界不可能無限分割，那能量是不是也是這樣呢？或者說，物質在微觀世界是不連續的，能量會不會也是不連續的呢？

從此也可以繼續向下問，那時間呢，長度呢？是不是都有一個最小單位時間？最小單位長度？小於這個長度，沒有單獨的一個物體存在。同樣，時間是以最小時間為單位一點一點向前推進的，小於這個單位時間的時間差不存在？

當然，答案是肯定的，我們在宏觀世界裡所有認為連續的東西在微觀世界裡基本上都是片段的。能量也是如此。

這個世界存在一個最小的能量單位，分子不管獲得還是失去能量，都只能是這個最小能量單位的整數倍。這是氣體宏觀熵的最本質的來源。

正式因為如此，任意一個氣體分子的能量增量必須大於某一個最小單位能量。公式如下（沒有公式只能說到這裡了額。。。這裡C和M,H都是常數，P是動量）

這個也是量子力學裡的測不準原理（只是簡單說明性質，大家定性理解就好。。。沒有詳細論證。。請不要太較真）

因此，如果所有的氣體分子能量都不一樣，那總平均能量只能是最小單位能量C乘以（N+1）/2。當然，這個數字具體是多少我們不知道，但任何一個系統溫度不同於它只能是系統內部有部分分子能量相同。然後溫度越低，能量相同的分子就越多。於是以上熱運動帶來的熵就算是徹底解決了。

當然。關於為什麼熵的最終表達式是lnG，還有就是為什麼同質量的不同溫度的同種物體混合熵增加，這又是另一個問題了。我們可以繼續討論

混亂度，就是概率最大的狀態。越混亂，說明這個狀態出現的概率越大，你任意扔出一堆積木，幾乎不可能出現一個房子，因為這個概率太低了。

為什麼出現房子的概率低呢，因為他的狀態數低。什麼是狀態數：很簡單的，假設你投擲10枚骰子，全部是1的狀態數只有1個，因為必須所有的骰子都是1。而5個骰子是1，5個骰子是2的狀態數就要多得多，因為只要在10個裡面選出5個是1，其他5個是2就可以了，就是組合數C(5,10);

所以在定義熵的時候，就用了狀態數。那為什麼要取對數呢，大概有兩個原因：

第一：微觀的狀態數太大了，所以取個對數。而且和狀態數是正相關。前面再加個係數，這不是物理上面常用的方法嘛。

第二：如果你學過資訊理論的話就知道了，取個對數，說明就可以用對應的多少位數據去表示這個結果，我們說的bit其實就是取2的對數的。

所以就出現了這個公式：

K就是那個係數具體是多少，我才不管呢，是人家實驗物理學家的事情。

就是我剛才說的那個狀態數。

至於物理上面的熵增定律可以這麼理解:因為熵越大，說明這個隨機事件的狀態數越大，也就是概率越大，所以一個隨機事件會朝著概率增大的方向變化，沒什麼好奇怪的吧。

此答案本是對答主 @聶鑫的回答的回復，因為篇幅過長，我就專門寫成一個答案，所以可能出現答不對題的狀況。全文如下：

　　我自己的看法與答主 @聶鑫的回答不同，我認為熵有可能是守恆的。

(這裡借用了答主 @聶鑫的圖片)

　　答主的解釋所存在的問題，根源就出在一開始的這張abc的圖上，有兩點我認為存在爭議：

1、圖a里允許點相互重合，所以a的混亂度較少，不是因為點分布整齊，而是因為點位較少；

2、沒有對「什麼是系統」，做明確的定義。

　　先解釋第一點，答主的圖a存在兩個性質，一是點位少(注意不是點，而是點位，可以看成一個個小坑)，所以有些點會有重疊即點所處的可能狀態少；二是這些點位很整齊。其實少和整齊，這是兩個分離的獨立概念，應該分別闡述，但是答主 @聶鑫把它們混在一起，點位少才是狀態少和熵小的原因，而不是因為整齊，但看他的意思，就把整齊理解成狀態少，就理解成熵小了。這顯然不對。

　　再解釋第二點，這裡所謂的系統究竟是什麼，是1000個點，還是「1000點+棋盤」。這個他也沒有明確說明。

　　為了簡化，將1000縮減為9個，方框為點位，黑圓點為點。如果系統是單指那些點的話，那自然不必考慮點位。我們把圖a的整齊點位換成9個不整齊的點位如圖d，然後再把9個點放進去，按照狀態數來說，d的狀態數仍然還是9個，和圖a里整齊的9個點位的狀態數是一樣的。雖然d看著不整齊，似乎就像混亂的圖c，但其熵卻和整齊的a一樣，這個如何解釋？

　　其實在金觀濤的《系統的哲學》里專門提到了這點，認為現在對有序和無序的觀念是有問題的，無序只是人主觀上感覺亂，但其位置狀態卻是一意確定，這種狀態，其熵並不比整齊的狀態更大，所以混亂的房間和整齊的房間實際上熵是相同的，不能因為人主觀上覺得不整齊就是混亂、熵就更大。

　　如果系統是「9個點+棋盤」的話，那麼很清楚，對粒子的約束是由棋盤提供的，也就是說是棋盤決定了熵的大小，而不是9個點具體的位置和分布。此時的棋盤，在圖a里是9個小坑，一個坑一個點；圖c則沒有任何限制。

　　直接考察簡化為9個點的圖c，把9個點分別做整齊的排列e和混亂的排列即c本身。雖然e里9個點的布局的樣子很像a，但是e的棋盤實際並不存在點位限制，如同c一樣，所以e和c里的粒子可能取到的狀態數其實是一樣的，也就是說雖然e整齊而c亂，但是實際熵一樣。

　　需要特別注意的是，這裡由於把「點+棋盤」作為一個整體系統來考慮，所以a系統不等於e系統，雖然它們點的分布一模一樣，但是棋盤不同；同理於c系統和d系統也不一樣。

　　綜合起來，d亂，a整齊，但狀態數一樣，其實熵一樣；e整齊，c亂，但是ec棋盤相同，狀態數依然一樣，熵還是一樣。總結：狀態數即熵與棋盤形態有關，與其中的點的整齊與否(亂不亂)無關。

　　由此可知，熵與系統內部的粒子具體布局無關，而與其可能存在的狀態數，即與系統的限制有關。簡單的說，就是熵與粒子的分布亂不亂無關，而與粒子的活動空間/可能的狀態數有關。所以單純的封閉系統，其熵守恆。

　　答主 @聶鑫的答案里恰好也舉了房間這個例子，摘錄如下：

1、「試想你生活的屋子，如果你平時不注意收拾，用過的東西以很隨意的姿態任意擺放。要不了多久屋子就會變得一團糟。並且這樣的趨勢也不太可能被逆轉。」

2、「整理好的房間比東西亂擺的房間看上去整齊，是因為整理好的房間系統不能夠取到「襪子出現在任意位置」，或者「被子以任意形態擺放」，這樣的狀態。」

　　這兩句話仔細想想，其實是有問題的，房間系統並沒有任何限制讓襪子不能出現在任意位置(注意，不是漂浮在空中這種任意，而是在近似平面的角度上談任意)，只有我們刻意加上一個定語「整理好的」房間系統，才會對襪子的狀態有所限制，但是這樣就是兩個房間系統了，前者無限制為x房間系統，後者有限制為y房間系統。在x里看著有序/無序和在y里看著有序，這是分處兩個系統的，不能拿到一起來比較。

　　換句話說，無限制的房間系統x，並沒有對襪子做任何限制，之所以襪子在之後不能再取任意位置，是因為你把襪子放到了另一個有限制的房間系統y了。這就是兩回事。

3、「熵增加的本質其實是：系統內部自然發生的隨機過程打破了原有的狀態限制，讓系統內部的元素可以取的狀態多了起來。」

　　這句話也有很隱含的問題。如果系統有狀態限制，那麼無論內部怎樣的隨機過程都不可能打破；如果能打破，那也只能有兩種情況，第一根本不存在打破一說，這只是隨機過程讓系統內的物體取到了之前能取到但因為運動的時間不夠而尚未取到的狀態；第二打破了系統的狀態限制，此時就形成了新的系統，這就不再是原有的系統了。請仔細體會第二種情況。

　　還是用上面的例子，整齊的襪子在普通房間里是沒有任何狀態限制的，如果它現在是整齊的，但只要足夠長的時間後，它就會運動到其他位置上，顯得很亂。但是這些混亂的位置在房間系統一開始運行時，在襪子尚整齊時，都是允許襪子取到的，一旦真的取到這些狀態，也就是襪子亂了，這是一開始就允許的，不能稱之為打破狀態限制，這是正常的隨機運動。如果你一開始就不允許襪子取到房間的其他位置，那麼就又回到了之前的結論，這個房間就和前面那個普通房間不再是同一個系統了。

　　那個堆疊的書系統也是如此，左邊的整齊的書系統不能取到沒有對齊的任何狀態，那麼這是一個限制大的系統；右邊的允許取到，這就是另一個系統，限制較小。兩者的熵確實不一樣，後者更大，但更重要的是，這兩者本質上就不是一個系統，是得不出「同一個系統其熵隨時間增加」這個結論的。通俗來比喻，左邊是矮個女，右邊是高個男，女的當然不等於男的，前者小於後者，但這完全無法得出「矮個女會隨著時間變成高個男」，請仔細體會這裡面的區別。

【總結】系統就是系統，其狀態限制是不允許被打破的；如果被「打破」，那就不再是同一個系統了。

4、「要客觀地考察一個系統的混亂程度，必須研究這個系統的客觀的限定條件是什麼，也就是這個系統的狀態數有多少，而不是研究其中的某一個狀態。」

　　其實這句話才是和答主 @聶鑫的觀點自洽的，把這句話替換翻譯一下「要客觀地考察一個房間系統的襪子混亂程度，必須研究這個房間系統對襪子的客觀限定條件是什麼，也就是這個房間系統允許襪子分布的狀態數有多少，而不是研究襪子的某一個狀態，比如亂還是不亂。」，看出問題來了嗎，關鍵不在於襪子亂不亂，而在於房間對襪子有沒有限制，「有」和「沒有」這分別是兩個系統。

　　也就是說，在一個確定的，根本不存在「打破狀態限制」一說的系統里，狀態數是固定的，所以熵應該是守恆的。

5、「只要宇宙微觀上的隨機過程永不停歇，那麼總有一些隨機過程會打破原來對狀態的限制，狀態數的增加會永遠無休止的進行下去，永遠永遠不會回頭。」

　　這句話也是有一樣的問題。慢慢地我們會發現，雙方分歧的關鍵，就在於隨機過程究竟會不會或者說能不能打破系統原來對狀態的限制。換個角度來問這個問題就能看明白，即這個限制究竟是誰施加的，又是如何打破的？仔細思考後，我們發現其實系統本身並沒有施加任何限制，而是我們人類自己在頭腦中主觀的按照我們可以識別(整齊的幾何圖形)和我們不能識別(散亂的圖形)來判定有序無序，並將此作為標準來判斷原系統的狀態是否被打破。

　　很明顯，這個標準是我們自作主張地、幻想式地強行加在系統之上的，系統可從來沒有對自己有此要求。當系統內部的襪子運行到我們無法識別的狀態時，即襪子打破了我們腦海中的識別模式而不是系統的什麼限制時，我們自以為是地認為襪子突破了系統原有的限制，其實這只不過是我們的模式被突破了，房間對此根本是無所謂的，因為襪子一直在房間空間內，房子是一直允許這種運動的。一個封閉固定的房間，從來沒有對襪子該怎麼擺有任何限制。

　　可知，施加限制的是我們的主觀意識，被打破的依然是我們的意識，和房間其實沒有任何關係。狀態數的增加不是因為襪子變亂了，而只能是房子變大了所導致的，房子不變，熵自然不變。

　　那如果房間確實規定了襪子只能擺放在某些整齊的位置上呢，那我們不妨假設襪子被釘在了某些有限的位置，那麼一個帶釘子的房間和不帶釘子的房間，顯然已經不再是同一個系統了。

　　由此可知，答主 @聶鑫的錯誤起源於第一點，把狀態少的a同時也搞成整齊的樣子，把「整齊」和「狀態數少」這兩個概念混在了一起，所以推導出了錯誤的結論。

【補充】答主 @聶鑫的回答還是很贊的，確實把熵的定義說的很清楚，圖文並茂。我不贊成的僅僅是他的「封閉系統熵永遠不減小」這個說法，我認為熵守恆。

下面再放個大招

這也就是為什麼我一直認為永動機存在的原因。

　　首先，熵增在宏觀系統里似乎非常普遍，但是我認為我們現在在宏觀世界裡的對「混亂」的定義是錯誤的，即以符合某些人類可以識別的幾何模式，比如圓直線，這就是有序；對散亂的不符合我們認知的，就視為混亂。這種定義是主觀的，我認為可能也是錯誤的。

　　其次，即使宏觀里熵增定律沒問題，也不能推導出永動機不存在。因為我們這個世界分為微觀、宏觀和宇觀三個層次，三者試用的物理定律並不一樣，或者說還沒統一。所以宏觀下認為的熵增，在微觀下未必成立，比如熱二定律，實際上熱二是一個宏觀定律，因為溫度本身就是一個宏觀物理量，微觀里是沒有溫度這個概念的；在宇觀里，重力系統本身就是一個熵減系統，星雲變恆星，恆星進一步變黑洞，黑洞又有輻射，似乎是一個循環，熵恆定不變。

　　目前第一和第二類永動機都是宏觀永動機，而第四類永動機就是微觀永動機，也許有人又要引用那句駁斥麥克斯韋妖存在的話了，即「逐個鑒定/獲取粒子速度快慢的信息，需要消耗能量」。可惜這句話嚴重錯誤，錯了3點：

1、是否需要逐個鑒定，才能獲取準確的信息；

2、是否需要鑒定，才能分離粒子；

3、鑒定是否需要消耗能量。

　　第一和第二點，參考工地里翻砂的工人，他們為了拌好水泥，需要把沙子里的大石頭分揀出來，所以工地里往往有一個斜著支撐的鐵絲網，單人床大小，工人一鏟子把沙鏟過去，沙子和大石頭自然分離。注意，這裡工人鏟沙的能量只用於讓砂石運動，並不是用來獲取/鑒定信息的。

　　第三點，這個是最誤導人的，因為這句話里暗含了一個假設前提，即「能量是可以被消耗的」，因為這個前提，所以才會說出「需要消耗能量」這句話，而又由這句話推導出來熵會不斷增加，所以有效的能量被不斷消耗，所以可以利用的能量就越來越少。即先隱含假設能量能被消耗，然後說「獲取信息需要消耗能量」，然後最後證明有效能量會不斷減少。這就是標準的循環論證，打破它很簡單，就是換一個詞進去，即不用消耗，而是借用，即借用了能量後還可以還回去。

　　「逐個鑒定/獲取信息需要藉助有效能量，但因為只是藉助，所以將來還能還回去，因此有效能量永遠那麼多，所以永動機可能存在」，是不是發現同樣也可以成立？

　　所以，我個人認為第四類永動機即微觀永動機是有極大可能存在的。

完整原文在永動機有可能成為現實嗎？ - 袁維的回答，後續更新都在這個鏈接里。

熵不是用來衡量物質混亂度的，

熵用來衡量人類對物質的認知深度。

所謂的混亂，是因為你的認知沒有達到物質的那個層面，無法發現其規律，

無法發現其規律，不代表沒有規律。

熵為什麼只會自發增長不會自發減少？

因為人通過不斷觀察新物質拓展認知邊界，剛看到新物質還沒有研究其規律時，人的熵是最大化的，因為看見但不了解的東西太多了，這些全部是熵增的。

只有其中一小部分物質我們能深入研究探索到規律，這部分就是熵減的。

說白了，因為只要是人在觀察的物質就會記憶導致觀察者自身熵減，因為運動是相互的，觀察者會誤以為是物質對象在熵減，

不斷觀察發現不了解的新物質，就是熵增。在某個物體上，熵不是逐漸增加的，而是一出現就熵最大化，以後不會變或者只會熵減。

兩種不同顏色液體混合，你看到了熵增，實際上是看到了不了解的新液體。

宇宙無窮，人在不斷發現新東西，卻很少能研究出他們的差異規律，研究的速度趕不上發現的速度，這就是為什麼大部分物質都在熵增，只有很少在熵減的原因。

嘗試跟女生講講邏輯，立馬就明白啥是混亂了

一直很討厭混亂度這個說法，太主觀，太人類了，混亂是人腦處理不了下的一種感受，當用這個詞來描述自然時，不只是主觀，還強姦自然本身。因為自然界可沒有什麼混亂感可言，相反，自由度描述更貼切一些。而且更可量化一些。無論是在多粒子多狀態的狀況下，還是在粒子有限到可以一一描述的情況下都可以使用。

剛好看了一篇論文，提到熵發展的歷史中有兩個old misconceptions: 其中一個就是將熵和空間混亂度相聯繫。論文 (Entropy 2013, 15, 1152-1170; doi:10.3390/e15041152)

ps: 回答 @袁維 CT 一個問題就是在現有的體系下，只要能量守恆，熵就不會守恆；具體的推導參考《非平衡熱力學》，清華大學出版社李如生；或者任何一本 non-equilibrium thermodynamics 英文的教材。

關鍵詞：信息熵

你向純水裡加入純酒精，當酒精剛加入水時，酒精更集中，酒精與水的混合物相對而言比較有序，因為有一部分是純酒精，有一部分是純水。當你攪拌時間無限久時，就沒有任何一部分是純酒精或者純水了，整體都是混合物，任何一個地方的濃度都相等，這時候可以粗略的理解為酒精與水完全混合了，也就是酒精與水的混合物與之前剛放進酒精相比更加混亂了，因為每一處都不存在純酒精或者純水，這時候，這杯水的混亂程度，即熵值達到最大。再舉個例子，一個正方形商場內，人數一定，人們隨意走動，當人們在某一瞬間剛好都全部分散開，每一個人和最近的人都距離都保持一樣時，這時這個商場的熵值最大，當所有人都聚集在一起時，熵值最小。因為所有人都分散開時，商場混亂程度最大，每一個角落的人都平均分布了，人聚在一起時混亂程度最小，因為除了聚集人的地方，其他地方沒有人。

前面很多的答案寫都很好，我說說自己關於混亂度的理解吧。

混亂度是什麼？描述混亂的度量。

怎麼描述混亂？先得說明什麼是混亂。混亂不太好定義，那我們可以通過定義秩序。那麼秩序的補集就是混亂了。

好了，什麼是秩序？大家肯定會脫口而出：整齊劃一的就是秩序！那麼如何量化的描述秩序呢？我覺得可以用描述系統狀態的自由度數量來定義秩序。需要自由度越少的系統狀態就越有秩序。可以理解，一排整齊劃一的隊列，要描述排練秩序要隊列長度，每個人之間的間隔就能表述出來。而對於火車站廣場的人群，要描述每個人的位置，那可能需要2*人的數量的自由度了。

所以混亂度可以定義為描述系統狀態所需要的自由度。

這就是熵的微觀定義了。

混亂度知道一點的，用高中化學老師的話說就是你們是在班裡上課，還是在課間，還是在體育課自由活動。

頂，這確實難以說明

H定理？

所謂混亂度，大概就是某個場景在自發的狀態下出現的概率大小，概率越小，混亂度越小。

假如一個人隨意向空中扔一副牌，掉落後整整齊齊的疊在一起的概率是極小的，這種情況的混亂度便是很小了。

也可以去看一本書《熵—一種新的世界觀》，個人被統計物理虐完了，覺得題主假如不能從物理中理解，就從講故事中去哲學般地理解吧，假如應付考試沒有必要物理上推導清晰的，有時候非自謙裡面的理解也行。

混亂度:系統微觀狀態數，熵的統計意義:S=k·lnΩ。熵是混亂度的度量，依據的就是熵的統計意義。系統對應的微觀狀態數愈多，它的混亂度愈大，熵就愈大。

混亂度其實就是字面的意思，混亂的程度。

假設你有10雙襪子，它們都很好的整齊的擺放在抽屜里，那就是混亂度0（或者叫做很整齊）；然後你穿了其中一雙，出門了，回到家脫了襪子，隨便一丟，混亂度+1；然後接著的9雙，繼續穿，繼續亂丟，這時混亂度+10（這時或者叫做狗窩）。

這時混亂到極點了（相對而言），因為再沒有襪子給你亂丟了，而如果想繼續增加混亂度的話，可以買新的10雙襪子，接著亂丟；而如果，實在看不下去了，想要整理一下，則要辛苦一下去整理房間了（做攻）。

這個簡單又直白的現象，存在於世間萬物，比如說熱。一杯熱茶放久了，就會冷掉，可以看成熱就是那10雙襪子，它們會跑到亂七八糟的地方去；如果想加熱，就要做攻。

熵本來是用在熱力學的單位，後來發覺也可以用在混亂度，因為道理是相通的，就這樣。

其實全世界敢說能把熵這個概念完全吃透的人也沒有多少

簡單的解釋是當你觀察一個系統時根據你在乎的屬性系統可能處於不同的state 在每個state中有很多很多的microstate 這些microstate從你選擇觀測的屬性的意義上講是等價的

熵是microstate的數量的自然對數

熵增的原理可以用概率學來解釋

比如說你有兩個骰子我們把觀測到兩個骰子數值之和定為「在乎的屬性」這樣就有2到12 共11個state 每個state中的microstate的數量是不同的 2就只有 1 1 這一個microstate 而6則有很多個

我們說熵增原理可以認為是投擲兩個骰子足夠多次當排除其他因素時兩骰子數值之和這個「我們在乎的屬性」總會趨向於6而不是1

統計熱力學忘的差不多了如果有不對的地方歡迎指正討論

排名第一的答案貌似解釋的很詳細了我沒仔細看希望這個簡略的答案也能有幫助

你說你們奇怪不奇怪，就喜歡問問題讓人來描述，頭像穿得倒是酷酷的但我說你們挺蠢得跑知乎自個兒給自個兒洗個腦哇塞你們寫的東西怎麼這麼整齊呀簡直是交響樂級別的古板，真難聽。