美式 Call Option 和歐式 Call Option 的價值會相等嗎？

01-05

就我的理解，美式期權的價格應該是大於歐式期權的。
在John Hull的第七版書，第九章課後題目第十八題目。
為了證明美式Call/Put Option滿足如下關係
$S_{0}-Kleq C_{A}-P_{A}leq S_{0}-Ke^{-rT}$
其中的下標A代表American Style.

課後答案給出了這樣一種方法:
在答案中，Hull教授說 $c=C$ , 小寫c代表歐式call 期權，大寫C代表美式Call期權，他們為什麼會相等？
==================================================================
是不是因為美式Call Option，當標的物為無分紅股票的時候不應該被提前行使？
我瞎猜的啊

@李望給出了一個數學形式的表達，這裡我來給出一個稍微有點解釋性的答案。

假設現在的時刻為t，到期日為T，交割價格為K。我們的目的是站在t時刻遠觀未來來給期權定價。

對於歐式期權，自然不必說，交割日為T，我們只需要考慮T時候的payoff情況，找到期望並且貼現（discount）到t時刻，就是期權的定價了。

對於美式期權，多了一個問題就是交割日期tau是不確定的，於是你貼現因子不確定，payoff也隨之更加的不確定。我們首要目標是要確定tau性質。這樣就要在t時刻規定一個rule，確定未來當滿足什麼條件的時候我們就立刻交割美式期權，通常最簡單的rule就是股價高於某一個上限Su的時候，我們就立馬交割，收到payoff = Su-K，這個simple rule也被證明是optimized rule，而且這個Su可以被解出來。而tau呢就是一個停時（stopping time）， tau = inf{t:S(t) &>= Su}。解出了最優的Su知道payoff並且了解tau 的性質，就可以給美式期權定價了。

以上是背景，對於沒有dividend的美式期權的call，這個Su解出來是正無窮，也就是說永遠都不optimal to exercise the option, 或者你認為一直堅持到股價達到正無窮才執行是最優策略。也就是說，我們肯定要等到到期日T才執行，這於歐式期權沒有區別了。

這個問題有一個trick，但是確也更好理解，注意到我們剛才說制定最優的rule來執行美式期權時候，我們只考慮了股價達到了某一個水平Su，卻沒有限制這一時候發生在哪，那麼如果你有一個永久美式期權，你將永遠不執行。今天股價100塊錢，再未來永續的時間內股票是可能達到1000，甚至10000的，我在那個時候執行會更好。

那麼如果有dividend呢？dividend其實對股價是一個負面作用（因為賺的earnings都發出去了），你會看到股價的損失速度就是exp(-d*t) （這裡d就是股息率，連續股利的假設條件下），有了股息之後，股價S(t)除了自己的隨機遊走，還有個穩定的速度在下跌，那麼這個時候Su就可以得到一個有限的解了，我們也能在t時刻制定出這樣的一個rule，當股價高於Su時，就立刻執行美式期權。所以當有股利的存在時，我們是有可能提前執行這個期權的（到達Su時），美式看漲期權價格也會高於歐式期權（起碼我可以hold到期末，相當於一個歐式期權）。

具體參閱Stochastic Calculus for Finance II, 362頁定理8.5.2，推論8.5.3和後面一段直觀解釋。

謝邀，考試季就會很多這種邀請，醉了。

正題，「當 stock 不 pay dividend 的時候， American call 的價格才等於 European Call」。所以並不是任何時候都相等的。當dividend足夠大的時候，就有exercise boundary，當然boundary的大小跟dividend有多少有關。這時，美式比歐式貴。

我說最簡單的一種理解方法。

如果你有一個American Call ( $C(t,T)$ ) with Strike price $K$ .

你有一個portfolio， $C(t,T)$ 和 $K$ 那麼多的現金。

$V(t,T)=C(t,T) + K$

假設股票價格已經大於 $K$ ，你可以選擇行權或者不行權，那麼就有兩種情況。

1. 行權，並持有股票到期權到期日。你的 portfolio價值為

$V(T,T)=$ $S(T)$ ＋ dividend

2. 不行權，並持有到期。你的portfolio價值取決於股票價格是否大於行權價。

（1） $S(T)<K$ , $V(T,T)=C(T,T) + Ke^{rT}=Ke^{rT}>S(T)$

（2） $S(T) geq K$ , $V(T,T)=C(T,T) + Ke^{rT}=S(T)-K+Ke^{rT}=S(T)+K(e^{rT}-1) >S(T)$ .

所以，當 dividend＝0，不行權在任何情況下都得到大於行權的價值。

因為 early exercise 沒有任何意義，所以沒有任何價值，所以美式＝歐式。

最簡單的證明：

因為American call的value是關於S的non-negative convex的函數，而S在risk neutral下是個martingale，所以American call的discounted strike value是個submartingale，也就是說它的未來期望價格會增長。所以如果沒有dividend，那就never optimal to strike，所以等同於歐式。

細緻的證明大致如下：

Set P(S_t) as strike value at time t. Then

V_t = sup E[ D(t,T) P(S_T)] &>= E[ D(t,T) P(S_T)] &>= P( E[D(t,T)S_T] ) = P(S_t)

Last inequality is due to the Jensen inequality for convex functions and last equality is due to the martingale property.

而有dividend提前strike是因為你想去擁有股票獲得dividend。此時你的optimal boundary就不再是infinity了。

這也回答了一個問題：學好stochastic calculus有什麼用？你站在更高級的台階上，看的事物自然也就清晰，有些看起來麻煩的東西你一眼就能看透。

我們知道歐式期權在t時刻的價值，等於標的資產在t時刻的價值S，減去行權價K以無風險利率在時間（T-t）的貼現值。而美式期權在t時刻的價值，等於標的資產在t時刻的價值S，直接剪去行權價K。那麼在美式期權可以提前行權的前提下對比二者在t時刻的價值的話。問題就變成了美式期權要不要提前行權的問題。我們從兩者的價值來看，在t時刻沒有分紅的前提下，美式期權是不會提前行權的。所以這時候美式期權等於歐式期權。但出現分紅後，我們的貼現率就變成了r-q，就是說當q&>r時，美式期權在t時刻將會被提前行權，這樣的情況下美式期權就大於歐式期權了。

簡單直觀的解釋。

在不派發紅利的條件下，歐式看漲期權的價值 = 美式看漲期權的價值。原因如下：

美式看漲期權價值 &>= 歐式看漲期權價值。因為美式期權執行更自由。
歐式期權的價值 = 歐式期權的內涵價值(intrinsic value) + 歐式期權的時間價值。所謂內涵價值，就是立刻行權所得的價值。
歐式看漲期權內涵價值 = 美式看漲期權立刻行權所得的收入。
歐式看漲期權的時間價值 &>=0。（這是對的，但是歐式看跌期權的時間價值可能小於零。）

綜上，在不派發紅利的條件下，歐式看漲期權的價值 = 美式看漲期權的價值。也就是說，在這種情況下，提前行使美式期權不是最佳選擇，因為這樣只能拿到內涵價值，丟失了時間價值。

時間價值為什麼是非負的？因為：S - K &<= C。左邊是內涵價值，右邊是歐式看漲期權的價值（價格）。

用一個圖解釋：

可以證明在任一個時間 $tin [0,T]$ ,我們有 $C_tgeq S_t-Ke^{-r(T-t)} geq S_t-K$ ,

第一個不等式由 $C_T=max(S_T-K,0)geq S_T-K$ 結合無套利原理得到，第二個不等式由指數函數性質 $e^{-x}leq 1(xgeq 0)$ 得到。

於是我們有以下的圖

曲線為看漲期權的價格，因此在t時刻不行權的潛在價值為 $C_t$ 超過行權獲得的價值 $S_t-K$ ，因此在不考慮紅利的情況下American Call不會被提前執行。故其有和European Call一模一樣的性質，它們的價值會始終相等。

這點和American Put是不一樣的，對於American Put，我們有類似的不等式 $P_tgeq K-S_te^{-r(T-t)}$ ,但不再有 $K-S_te^{(-r(T-t))}geq K-S_t$ ，這個不等式的方向恰好是相反的，因此是有可能行權的。見下圖（曲線為Put的價值）

$P_t>=p_t$ 這兩者的區別在於，因為e本身的性質使得， $C_tgeq S_t-K$ 恆成立，所以不行權的價值會更大， $P_tgeq K-S_t$ 的價值卻不恆成立，即可能出現 $P_t<K-S_t$ ,因此American Put可能會被提前行權。故一般地， $P_tgeq p_t$ 。

All else being equal, the only difference between an American call option (C) and an European call (c) is that American call option can be exercised at any time before maturity.

However, it has been demonstrated in the book that an American call option should NOT be exercised before maturity. Therefore we can consider c = C.

僅憑個人記憶理解。

因為當美式期權不記紅利時，uscall option =Eurocall option

那個交易所交易的期權當中一般上市公司和etf的期權多為美式期權（有可能發股利）股指期權多為歐式期權

從定價理論來說無分紅的美式期權不會提前行權就算有分紅的也要滿足一定條件才可能提前行權條件以後補坑吧

基於市場上有人會做套利有沒有可能漲到那個程度歡迎補坑討論

另外由於call ex 的時候是取intrinct value 假如call px包含intrinct + time value 能不能考慮賣掉call 取 intrinct 用spot + put做time value 我再想想

由於市場上很少有同一underlying下同時有歐式和美式期權沒有觀察過 pricing過程中美式期權一般由於各種原因一般較歐式益價

很多其實用蒙卡定價的 vanilla真心沒多大用處

想做quant有空還是多看看vol model提高編程比較好呃

American call option 不 early exercise 的時候是就跟European是一樣的當early exercise 不如hold的話那premium 應該相等

我個人也覺得是行權時間的問題，E和A的內涵價值相同。。關鍵就是行權時間美試可以提前行權

個人的理解是，美call不會被提前行權，因為call提前行權得到的價值只有內在價值，不如提前平倉得到的價值，即包括內在價值與時間價值的總和，這說明美call理論收益與歐call相同。之所以會出現實際中美call價格略高於歐call的情況，與分紅、流動性風險相關。

一些拙見

標的有cash flow時，美式call大於歐式call。無cf時，相等。

put由於有違約風險，因此美式大於歐式。

美式大，因為美式蘊含歐式。

American call option 可以任何時候履行（失效日前），可以用anytime（a）記憶。

European call option 只可以在失效日履行，可以用expire（e）記憶。

如果這兩個option除了type不同別的都相同（包括base on the same stuff, same strike price, etc), 那American call option 的價格是大於等於European call option的。簡單理解就是，American call option 賦予了所有European call option 的權力，並且比後者多一個權力，就是任何時候都可以exercise。權力越大則價值越高。故而可得出以上結論。

補充：

It"s not rational to exercise an American call option early if the present value of future dividends is less than the interest lost on the strike price.

Obviously, it"s not rational to exercise an American call option based on an nondividend stock.

For options which are not rational to excessive early, an American option can be priced with the formula for a European option.