數學分析中看似理所當然的定理為什麼還要去證明？

01-05

因為有很多看似理所當然的命題是錯的

big list - Examples of common false beliefs in mathematics

亞里士多德：質量越大，落得越快！

數學不是物理學、化學、生命科學。

數學不是實證科學。

數學與科學不同。狹義的科學主要包括物理學、化學、天文學、生物學等自然科學。科學的研究對象是真實世界，討論的一般都是具象的實體的性質。如果一套科學理論與真實世界不吻合，即使是這套理論本身是自洽的，那麼它也是錯的。從這個意義上講，通過實驗獲取確切的知識對科學來說是不可或缺的。如果將來發現某些實驗現象不能用現有理論解釋，則現有理論就要進行修正或推翻。

數學是人類構造的純粹抽象的產物。定義和邏輯是構成數學體系的兩大基石。數學家通常並不關心數學的概念與推導與現實世界有何聯繫。數學上的結論也未必能夠在真實世界中找到原型。不過隨著科技與社會的發展，一些原先被認為沒有實際意義的結果也會變得有意義。譬如物理學中「反物質」與二次方程負根的關係、數論與計算機圖形學的關係等等。

數學的定義與研究對象通常具有抽象性和一般性，一種數學概念可能包含無限多種不同的情形。例如有無數個自然數，有無數個質數，有無數種不同形狀的三角形。對一種數學概念所包含的一部分具體對象進行驗證所得到的認識，一定適合其他情況嗎？這是藉助有限的實例回答不了的問題。因此，一般地，數學命題的正確性不能通過不完全歸納加以論證，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括證明。

數學證明的實質是從一系列定義、公理、定理出發，通過演繹推理得出結論。

儘管實證科學最終由實驗來檢驗，但數學作為一種手段，在所有領域都是可以使用的。

問一下題主，一個函數在某點處導函數大於0，那它是否在這一點的某個小鄰域內遞增？

在我正在複習準備明天上午的數學分析考試時看到了這一題，莫名喜感，其實數分中很多東西是很顯然，但要證明，往往沒有那麼簡單，數學這個學科本來就是建立在一條條最基本公理的基礎之上，之後整個數學大廈都可以從公理推來，對一個定理，不能用看上去顯然成立就不用證明，本來就是一個講究邏輯的學科，在數分上時基本每個定理都要講它的證明過程，到數分下有一些定理證明就不講了，為什麼，因為憑目前所學的知識理解不了證明過程或者太困難，學習數分本來就是培養學生的邏輯思維，當然不能輕易放棄證明，以上是針對非數學專業所說，數學系的不了解不作評論

函數在任意區間上積分為零 if and only if 函數幾乎處處為零。

首先，顯然的東西不一定對

其次，在很多領域是沒有直觀的

防止自己在不知不覺中變成民科←_←

數學中任何一個命題如果不經證明就使用，那就是耍流氓。

你是在「做題」，應付「題」，而不是解決實際問題。絕大部分數學，最終是要應用於實際的。假如你在實際中遇到一個看似顯然的問題，如果沒有證明，你敢不敢放心地把結論用在關鍵的環節上？比如火箭發射控制程序，很可能你想當然的結論在模擬測試千萬次都通過了，但實際發射卻是出現了一種極特殊的情況失敗了。你的命題在沒有得到嚴格證明的時候你敢相信它？

就算不是那麼致命的應用，僅僅是一個繪圖軟體，你的命題/演算法在一種特殊/退化的圖形情況下不成立，顯示結果不正確甚至崩潰。你不證明它敢去使用？