一個概率/博弈問題？

01-05

為了決定誰下樓拿外賣，我和宿友想到了這個方法。
兩個人各出1~5根手指，其和決定誰下去拿，偶數他下去，奇數我下去。
但是經過分析覺得這個數學模型有一些問題。
如果假設出各種手指都是等概率的，那麼我勝的概率為13/25略高一些。
但是如果往深一點想，我如果出單數，這樣如果對面依舊是等概率的話，我的勝率就可以提升到3/5。

但是如果對面想到這一點，就會對應地出偶數。然後就是無盡的博弈層數了......
我想問的是，是否博弈可以使這樣一個本不公平的事件達到動態平衡，勝率55開？
可以從數學角度來詳細分析一下這樣一個模型嗎？

1~5的限制是沒有意義的。這個博弈最終的支付只跟雙方出的數字的奇偶性有關，跟具體數字無關。所以雙方其實都只有兩個純策略：出奇數，或是出偶數。

然後這就是個很簡單的博弈，這個博弈顯然不存在純策略均衡。不過它存在混合策略均衡。

假設兩個參與人是X和Y。當兩數之和為奇數時，X獲勝，反之，則Y獲勝。然後我們假設X以a的概率選擇奇數，則它選擇偶數的概率為1-a，而Y相應的概率分別為b和1-b。

兩個人同時做出選擇，所以我們可以認為這是獨立事件。

則X取勝的概率為a*(1-b)+(1-a)b=a+b-2ab。

X是在給定b下選擇a來最大化自身的取勝概率，所以上式對a求一階偏導，得到一階最優化條件，1-2b=0，b=0.5

相應地，通過求Y的最大化條件可以得到a=0.5。

這就是這個博弈的混合策略納什均衡。此時，雙方都以百分之五十的概率出奇數，百分之五十的概率出偶數。

此時任何人獲勝的概率都是50%。

兩個人各只有兩種有效選擇：出奇數和出偶數……所以很好分析，納什均衡是各自以50%概率選擇奇數和偶數，最後雙方勝率都是50%。

注意這不是「博弈可以使這樣一個本不公平的事件達到動態平衡，勝率55開」，而是這個問題本身恰好是公平的，所以勝率本來就應該是55開。你們一開始覺得勝率不是55開是因為你們自己策略有問題……而博弈的過程，可以使你們從不優的策略逐漸改進到最優策略，從而使55開成為現實。

每人可以有5個選擇，如果等幾率的話，結果是奇數是12/25，反之偶數的概率，如果題主出奇數，那麼結果是奇數的概率2/5。很奇怪有木有?其實被繞進去啦。

在博弈論中把雙方都當做理性人(很聰明)，那麼幾率的問題直接可以轉化為出奇數還是偶數，因為1~5不過是個幌子，用混合策略，使對方選奇偶的收益一樣。算出來選奇數的幾率是50%(感覺像沒算一樣。。。)同理對面出奇數的概率也是50%，這樣已經就是55開了。

題主認為當他出奇數的時候，對面出1~5等幾率，所以贏得希望更大，可是其實對方出1,3,5的性質是一樣的，準確的說對方出2,4的幾率和等於1,3,5的幾率和(經過細緻的考慮的話)，這樣的結果，也是一個55開。

這本身就是一個公平的遊戲，不需要改進就已經兩邊獲勝機會一樣大(如果你室友沒被繞進去的話)

對這個問題來說，我覺得，一旦雙方都意識到了博弈的存在，雙方就都不會隨機地出數字了，所以就不能用均勻分布來分析勝率了。而此時問題其實就變成了「兩人所出的數字奇偶性相同我贏，奇偶性不同他贏」，這就跟「石頭剪子布」一樣了，只能憑運氣。

不謝邀，沒人邀。

你所說的「一個本不公平的事件」只是在表面上「不公平」，而對應到效用函數中其實是公平的。

你和你的室友的處境完全一樣，博弈結果矩陣如下（我們假設不下去拿外賣的人，因為可以不勞動就吃飯，因此獲得正的效用1，下去拿外賣的人的效用0）

舍友

奇數

偶數

題主

奇數

(1,0)

(0,1)

偶數

(0,1)

(1,0)

上圖反應的最重要的一點其實是，你出幾根手指這個選擇本身並沒有出現在你的效用函數（就是1或者0），你出1，或者3，或者5都是一樣的，他們進入你的效用函數的時候都只體現一個屬性，那就是奇數，同理2、4對應偶數。簡化的結果是你和你舍友的選擇都只有兩個，分別為奇數和偶數。也就是在你和你室友都是理性人（都能想通這一點）的假設前提下，你們出1-5根手指，和出1-2根手指是沒有區別的。

博弈策略的選擇上來看，這個博弈的納什均衡是一個混合策略，以50%/50%的概率出奇數/偶數。計算方法上面已經有詳細說明，不再贅述。給出一個直觀解釋。

納什均衡的直觀理解是，給定對方的策略，雙方均沒有偏離目前策略的動力。

很有意思的一個地方在於，事實上，對於你來說，真的給定你室友的策略，那麼你沒有動力偏離你現有策略，但是其實也沒有動力堅持現有策略。就算你100%可能性出奇數，在給定室友是50%/50%的策略下，你的期望收益都是一樣的。但如果你100%出奇數，那麼你室友會改變策略為100%出偶數，這又會引起你的改變…如此循環改變，不能達到均衡。而上述50%/50%混合策略下雙方均沒有動力偏離，達到了納什均衡的要求。

混合策略的意義在重複性博弈中會更加明顯。在這種一次性博弈中，博弈雙方相互之間不知道對手的策略，只能假設對手是理性人的情況下，假設對手是50%/50%的策略，則己方策略（只要對手不知道且對手假設你也是理性人）其實不重要。而在重複的博弈中，如果對方發現你有傾向（如更喜歡出1），則對方可以立刻調整自己策略達到提高自己勝率的作用。

「他上兩把出了石頭和剪刀，這把就可能出布，我就該出剪刀。可能他猜到了，就會出石頭，我就該出布。他可能也想到了，會出剪刀，我就該出石頭。於是他也可能想到了……」

另外，外賣小哥等得好苦。

其實這本是一個公平的遊戲，別自己被繞過去了，當選1.3.5的意義是一樣的時候，其實它們只能當一個選項，同理，2.4隻能算一個選項，

除非你們是抽籤，每張紙寫一個數字，這樣才能叫每個數字的概率一樣

雖說按照一般論是對半

奇數加奇數是偶數

奇數加偶數是奇數

偶數加奇數是奇數

偶數加偶數是偶數

不過