如何理解概率為1的事情不一定發生，而概率為0的事情不一定不發生？

01-05

連續分布的隨機變數發生的概率處處為零。

比如X是正態分布隨機變數。

P(X=1)=0，可能會發生。

P(X!=1)=1，不一定發生。

原因是：

不肯能發生指這個事件集是空集。

概率為零指這個事件集的測度為零。（測度就是類似面積一樣的一個概念。）

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下半部分目的不在於拋出一個「幾何概型」來說明存在P=0而可能發生的事件。而是為了說明，在事件個數比可數無窮大還大的時候，不存在每一點概率都大於零的概率分布。另外，有些人雖然知道幾何概型每一點概率是零，但恐怕不少人並不知道為什麼幾何概型是每一點概率為零，是近似為零還是嚴格為零。

評論里@草叢提到樓主可能想問的是為何如此規定？為何不能使只要有可能發生的事件都有一個正的概率？要嚴格地解釋這個問題，就要從σ域開始講起，如果有興趣可以看看比較專業的概率論教材或者入門的測度論教材。（比如Jun Shao的Mathematical Statistics，這個簡潔而難；Terence Tao的An Introduction to Measure Theory，這個解釋很詳細；Kai Lai Chung的A course in Probability Theory）我嘗試用比較基礎的數學來解釋下。

概率測度的規定其實很簡單，滿足三個條件：

1.空集測度為零 $P(phi )=0$

2.對任何事件（也就是樣本空間對應的西格瑪域的子集）有 $0leqslant P(A) leqslant 1$ （一般是先規定小於正無窮，然後將其限制到 $([0,1],mathfrak{B}_{[0,1]})$ 這個測度空間上，那個B叫做Borel σ域）

3. 可加性：對獨立的兩事件A、B有 $P(A)+P(B)=P(Acup B)$ （這個式子可以擴展到可數無窮多個不相交的集合。）

這三個當然不足以保證我們的概率就像我們平時看到的一樣，比如拋骰子得到1的概率是1/6，任何其他概率的定義也是滿足這三條的，比如（1/12，1/12，1/12，1/4，1/4，1/4）也是滿足這三條的，還需要我們更深入定義分布，但已經足以解釋為什麼有些非空集的測度為零了。

我們來看看能不能構造出滿足以上三條且所有非零集概率都為正的概率函數來？（先不考慮是不是有意義，就看看能不能。）

假設對於整個樣本空間C中的每個事件A都有 $P(A_i)=a_i>0$ ，假如樣本空間中基本事件的數十可數無窮個，我們當然可以構造出滿足以上條件的概率，比如 $P(A_i)=frac{1}{2^i}$ ，那麼即使有可數無窮福多個事件，那麼可能保證以上三個條件不違反。但是當樣本空間中的個數到了不可數無窮個的時候，我們無法構造出一個這樣的概率來。一般性證明就不寫了，舉個例子吧，將一個點隨機放到[0,1]這個區間上，我們是不是可以構造出一個概率使得對這個區間內的每個實數都有 $P(i)=p_i>0$ ?注意到所有的 ${P(i):iin [0,1] }$ 這個集合不存在最小值。如果存在最小值a，那麼只要從[0,1]選出1/a+1 個以上的值，在滿足可加性的同時，不能保證落在這個集合上的概率小於1。接下來我們要考慮不存在最小值的情形了，在最小值不存在的情形下，光靠有限個pi之和是不行的了，事實上，可數無限個和也不行，那我們看看不可數無限個是不是有可能。

但是，問題來了我們還沒定義什麼是不可數無限個實數相加。有些同學可能會想到，我們不是有積分？積分不是對一段區間上的函數求和嗎？但是我們事實上，常見的黎曼積分並不是對不可數無窮多個函數值求和，我們常見的黎曼積分是把這一段分成n段，令n趨向於可數無窮大。（注意這和對每個點求和是不一樣的！）要定義不可數無窮大需要引入Lebesgue積分/對集合求和。有興趣可以看看知乎上這個答案無窮多個 0 相加等於 0 還是未定式？ - 余翔的回答

那我們想想有沒有不用這個高深的數學，用簡單的數學就能證明這個問題呢？

其實我們現在要證明的問題已經變成了「證明不可數無限個實數的和不可能是有限的？」這個命題在不嚴格定義這個和的情況下也是可以證的。假設存在一個集合X，X的元素個數是不可數無限多的，但是其和是有限的（即小於正無窮（阿列夫零））

我們構造一個集合 $E_n={x in R| x>frac{1}{n}}$ ,所有En的並集為 $E=(0,+infty)$ 。（不好意思啊，這個構造是有點技巧性地，不是那麼直接就能想到(-?-;)，另外這個所有集合的並就是正實數也不是那麼理所當然的，「有興趣的讀者」可以自己證明下。）那麼，對於任意一個n，X和En的交集的個數是有限個的。如果是無限個的話，交集的和就不是有限的了，那麼X元素的和也不是有限的了。又因為X和每個En的交集是有限個的，X和E的交集個數只能是可數無窮多個的，因為有限個可數無窮相加也是可數無窮。又因為E已經是正實數了，所以X只能有可數無窮多個元素。這個就間接證明了不可數個實數相加不可能是有限的。因此我們不能構造出這個的一個概率函數使得其在每一點都大於零。因此不能不讓概率函數在某些可能發生的事件上為零。

如果對這些還有興趣研究的話，題主還是去學下測度論吧，不然很難用通俗的語言講清楚。（上面這個簡單的問題都需要些構造技巧==、）

@草叢看看有什麼不對還需要補充的地方吧==、

專家太多，我這種民科只能會通俗科普。

我們想像這麼一個事，一條線段它的長度是1，而我們知道，線段可以認為是由無數個點組成的，而點是沒有長度和面積的。嗯，這些點實實在在的組成了長度為1或者你理解為質量為1的線段，但是任意一個實在的點的長度或質量卻是0。這跟概率論中，連續分布在單點概率為0的道理是一樣的。

如果點有長度，那長度是多少呢？因為是無窮個點恐怕只能是無窮分之一了，這顯然是不靠譜的。

其實不僅僅單點，只要是可列個點組成的集合，一般測度都是為0的。所謂可列就是可以和自然數集合建立一一映射。通俗點說你可以把它們按照順序排列起來。比如有理數就是這樣的集合。你可以1/1 1/2 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5 這樣數下去。這樣數軸上的有理數點就想綠豆一樣被一個個拆成了單點。雖然有理數是稠密的(任何兩個有理數之間還存在著其他有理數)，可是數學家們發現有理數還是不夠稠密，沒法鋪滿數軸，藍後恰好有了無理數啊，然後實數就把數軸鋪滿了。無理數可不是可列的，你沒法按照順序寫出來，你甚至可以認為它太稠密了以至於無法分解成一個個點，只能一段一段的取出線段來。

說到這，我們就來提出例子，我們來考慮x服從標準均勻分布，那麼事件x為有理數的概率為0，它的互補事件x為無理數的概率為1。可是x=0.5這種事件是可能發生的。

只要你能理解單點的概率為0，但是它有實實在在的可能發生，就好啦。

概率=（發生事情的所有情況的數目）/（所有情況的數目）

當所有情況的數目為無窮大時候，你所說的情況就會發生了。

為什麼我覺得違反了定義呢？1必然發生，0不發生，這是概率的定義啊

先去理解有理數集在實數域測度為零的證明

你打靶正中靶心的概率是0，但是有可能正中靶心的。

任選一個整數，是0的概率是0，不是1的概率是1，但是你可以選0，也可以選1嘛

在這個問題上，實名反對概率論。

因為它把人們通常理解的不可能事件，偷換了概念：概率論中是把空集叫做不可能事件。

而普通人的辭彙里，不可能事件是指不會實際發生的事件。

所以原命題陳述為：概率為0的事件不一定是空集，大家就沒有疑問了。

那些拿幾何模型、任選來舉例的，你們都歇歇吧。我就問你，你用什麼方法任選？

例如扔棋的那位，你用什麼方式扔，能保證命中（1，1）的概率為0？不妨把你的扔法描述一下，再計算一下按照你的扔法，命中（1，1）的概率還是不是0。

隨機？你的意思是，存在一個過程，每次調用可以輸出一個實數，且輸出的實數是連續分布在一個區間的？這不可能！實數的展開形式是無窮的，因此該過程根本就無法完成哪怕一次調用。假使這個過程輸出的是實數的某種定義，那麼你該明白，絕大部分實數是不存在定義的。

因此根本就不存在一個過程可以隨機選擇實數！

那麼說的隨機選擇一個實數，就只是概念上的，說說而已，無法實際發生。後面的實際選中了某個實數，是偷換了概念，換了一種方法來選擇，等於你分析概率的時候用一種方式，選擇的時候用了另一種方式。

在一個無限大的棋盤上你向下扔一個棋子扔到（1，1）的概率為0但顯然是有可能發生的。

幾何概型

概率涉及到的是計算的問題而發生不發生是集合論的問題。比如在一個小時內的某個時間點進教室是可以發生的，但計算出的概率是零。

通俗講，考慮下實數軸上隨機取一個點的問題。取到特定點的概率為0，但是這是個可以發生的事件，反之亦然。

稍微理論一點點，概率中P(X)=0，表示弱收斂，也就是依概率收斂，有別於數學分析中極限的定義，所以會導致P(X)=0但X事件依然可以發生。

再正規一些，自己看測度論一系列書籍…我沒學好，不亂說話…

Measure theory