關於理解自然常數e的困惑?

01-05

拜讀了張英鋒回答"數學裡的e為什麼叫自然底數?是不是自然界里有什麼東西恰好是e"問題的回答. 然後有對自然常數e的理解有些困惑. 希望大家能夠給予更多的討論.
通過張英鋒的回答和Better explain 系列中關於e的解釋, 我大致能夠理解e是從利息增長的角度產生的, 這個可以通過歐拉對e的定義: e=Lim(1+1/n)^n (原諒沒有打出∞).
e可以認為是事物按照一定增長的極限.
但是我想, 如果只是求一個增長的極限, 我們沒有必要給它一個專門的名字, 也不會讓歐拉以自己的名字的首字母為其命名,(當然有另外一種說法是子母e 來自於exponential 的德語)

我想歐拉一定是在研究某一個問題或者一大類問題中,頻繁的遇到這個極限,不得已,需要用一個符號來代替這個極限,而且歐拉應該認為這個極限很重要, 才會用自己的名字命名.
那麼問題來了, 我想知道在什麼情況下,歐拉用到了這個極限.
另外, 文中也提到了對數中e的作用, 但是只是提到了一點點,就是說2和10是以我們人的習慣使用的底數, 稱之為常用底數,而e是不以人的意志而變化的自然底數. 但文中到此為止,沒有提到為什麼e不以人的意志變化. 是在哪裡體現出e的這種性質?
我想知道在對數中,為什麼e就能最簡潔的表達計算過程?而不是其他的數, 在知乎上,我甚至看到另一個人的問題, 就是如果e不是2.7182......,而是其他一個值,那我們的宇宙應該是一個什麼的宇宙, 我們的自然規律會有那些變化. 我覺得這個問題真的是非常有深度, 如果能夠描述另一個e的宇宙, 那說明我們對這個自然常數已經理解的足夠深入了.
最後, 我還有一個問題,那就是e在微分方程中的意義, 我同樣baidu,google了很久,但是都沒有找到合適的答案.
我對微分方程不太熟悉,是最近才想了解一點兒. 但是我有一點兒不太明白,就是它的通解中總有e^x 出現, 無論什麼形式. 我記得以前曾經在某個地方看到一個解釋(現在記不清了),那就是說e代表了變化的極限, 而微分方程是描述變化規則. 所以其中一定會有e^x的某種形式. 希望對這個問題思考過的朋友能夠分享一下你的想法.

第一個問題，「我想知道在什麼情況下，歐拉用到了這個極限」？

關於樓主的第一個問題，我覺得你忽視了那個「複利計算」的小故事的重要意義。那個「複利計算」的小例子，不僅解釋了e的極限表達式的由來，而且指出了——世間萬物——任何以恆定速率R連續增長或者衰減的事物，在經過時間t之後，其數量恆為 $e^{Rt}$ 。

等等，wait a minute，按照恆定速率變化，那不是線性變化規律嗎？ $x=x_{0} +kt$ ...錯，注意是連！續！變！化！—— 舉個例子，比如1美元，每年利息為R=0.5，按照線性變化規律，你的錢數是1.0， 1.5， 2.0， 2.5， ...但你知道銀行利息是按照複利計算的，因此每年你的錢數應該是：

開始： 1.0元

第1年：1.0+1.0*0.5=1.5

第2年：1.5+1.5*0.5=2.25

第3年： 2.25+2.25*0.5=3.375

...

如果你計算更多的點，並把上面這些點點在坐標上，你看到了什麼？。。。近似一條指數線！對，之所以不是指數線，是因為我們計算點的時候在時間上不！連！續！如果你把間隔縮小...繼續縮小...直到連續...你就看到了一條完美的指數曲線 $e^{0.5t}$ ！

因此，用離散的計算方法，你得不到指數曲線。但是，自然界的事物可不是按照離散的方式變化的，我們知道，從細胞的分裂，到兔子種群的擴大，再到生物質在野外的自然腐化降解。。。它們的變化都是連續的，因此，其數量變化規律統統是指數變化規律！

花一分鐘想想這個規律的普遍性：任！何！事！物！

因此，任何研究自然變化規律的人，在做出「按照恆定速率、連續變化」這兩個假定後去做計算，很難想像他不會碰到這個e！所以，我不能準確回答歐拉到底是研究的什麼東東碰到了這個e，我只知道，他遲早會遇到這個e。知道了自然界的指數變化規律，那麼其逆運算，以e為底的對數運算這麼普遍也就不足為怪了。

當然，自然界紛繁複雜，外在條件是不斷變化，比如細菌的數量，由於晝夜溫差的變化，其變化率肯定不是恆定的。不過，即使變化速率R是某個外部條件的函數，整體數量的變化規律仍然是這個以自然對數為底的指數函數。因此，世間萬事萬物，差不多都和這個自然指數規律有牽連。

e是螺旋線的詮釋，最近看了篇文章，希望對你有用。

不要說我笨或者***，我是剛剛才知道有這回事，一直以來我以為e≈2.7182818284590… 是亂來的，但又覺得這未免太無聊了，現在才發現，原來它的來頭大著呢。

首先，我們來看看他的計算方法。為了凸顯其地位之崇高，我用一些隆重點的方法表示一下：

lim(1+1/n)^n=e ,n→+∞

事實上e就是通過這個極限而發現的。我們都知道，e是個無限不循環小數，而且它還是個超越數（即不能滿足任何整係數代數方程的實數）。

e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最「自然」的，所以叫「自然對數」。

渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕盪開的漣漪，數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……

螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：

φkρ=αe

其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和複合的形式定義為「自然律」。因此，「自然律」的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限循環數。

「自然律」的美

「自然律」是e 及由e經過一定變換和複合的形式。

人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究(1+1/x)^x 、X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等於e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等於e=2.71828……）得來的共同形式，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。

現代宇宙學表明，宇宙起源於「大爆炸」，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀後半葉的兩個偉大發現之一的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由複雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態，一種無為的死寂狀態。這過程看起來像什麼？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動力因，那麼，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織，或者乾脆把整個宇宙看成是一個巨大的發條，歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。

生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨於極大不同，它使生命物質能避免趨向與環境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免於趨近最大的熵的死亡狀態，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部熵。

「自然律」一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓於同一形式的特點，「自然律」才在美學上有重要價值。

如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是「自然律」無序死寂的熵增狀態，那麼廣闊無垠、生機盎然的草原是「自然律」有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。

e=2.71828……是「自然律」的一種量的表達。「自然律」的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）迴旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有一定的關係，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，後來瑞士數學家雅各·伯努利曾詳細研究過它，發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。

英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麼我們的感覺、我們的「精神的」眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的「內在」世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應關係嗎？

我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣複雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺旋狀的。

古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的「渦流尾跡效應」。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是「內在」與「外在」和諧的自然基礎。

有人說數學美是「一」的光輝，它具有儘可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規律的表現，是「多」與「一」的統一，那麼「自然律」也同樣閃爍著「一」的光輝。誰能說清e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功？人們讚揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內在精神世界同外在物質世界的統一，那麼「自然律」也同樣有這種統一。人類的認識是按否定之否定規律發展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發展規律，是什麼給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！

有人說美在於事物的節奏，「自然律」也具有這種節奏；有人說美是動態的平衡、變化中的永恆，那麼「自然律」也同樣是動態的平衡、變化中的永恆；有人說美在於事物的力動結構，那麼「自然律」也同樣具有這種結構——如表的遊絲、機械中的彈簧等等。

「自然律」是形式因與動力因的統一，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的共同表達。有限的生命植根於無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，一切都合而為一。這就是「自然律」揭示的全部美學奧秘嗎？不！「自然律」永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象徵著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引並且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。

（原載《科學之春》雜誌1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）

你知否：

e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數學系學生會用e比喻堅定不移的愛情！

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N

在中學數學書中這樣提出：以e為底的對數叫做自然對數。那麼e到底有什麼實際意義呢？

　　1844年，法國數學家劉維爾最先推測e是超越數，一直到了1873年才由法國數學家愛米特證明e是超越數。

　　1727年，歐拉最先用e作為數學符號使用，後來經過一個時期人們又確定用e作為自然對數的底來紀念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個小寫字母，是有意的還是偶然巧合？現已無法考證！

　　e在自然科學中的應用並不亞於π值。像原子物理和地質學中考察放射性物質的衰變規律或考察地球年齡時便要用到e。

　　在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時也會用到e，在計算儲蓄最優利息及生物繁殖問題時，也要用到e。

　　同π一樣，e也會在意想不到的地方出現，例如：「將一個數分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎麼分？」要解決這個問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份儘可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小於39。e就是這樣神奇的。

　　1792年，15歲的高斯發現了素數定理：「從1到任何自然數N之間所含素數的百分比，近似等於N的自然對數的倒數；N越大，這個規律越準確。」這個定理到1896年才由法國數學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數學家布散所證明。以e為底還有很多優越性。如以e為底編製對數表最好；微積分公式也具有最簡的形式。

摘自網易博客-關於自然常數e的來源與應用（超初級，也超恐怖）

從英文版的wiki上看到關於e的解釋 e (mathematical constant), 大致能夠理解為什麼選擇用e,而不是其他值來做自然常數了. 建議大家去看英文的原文, 這裡我只是對我感興趣的部分進行描述:

關於在計算中(尤其是微積分計算),使用e,是因為我們在對指數函數或者對數函數執行微分或者積分計算, 例如

對於y = a^x 求導數(微分),

我們可以看到, 最後的結果是y=a^x的導數和x沒有關係, 只和a值的選取有關係,因此我們可以通過選擇合適的a值,來使得對y=a^x的求導計算根據方便點兒, 最方便的辦法就是使a^x後面的極限消失,也就是 lim((a^h-1)/h) =1 ,這時,我們就發現, 當a=e的時候, 後面的極限就為1,那麼y=a^x 的導數就是a^x , (這裡的a=e)

計算過程如下:

.y=a^x,

　　△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

　　△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

　　如果直接令△x→0，是不能導出導函數的，必須設一個輔助的函數β＝a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道：△x=loga(1+β)。

　　所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　顯然，當△x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x後得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

　　可以知道，當a=e時有y=e^x y"=e^x。

從另外一個方面,那就是對對數函數的求導過程,

我們也可以看到, 如果要得到最簡形式,那麼a同樣也要為e,才能得到loga(x)的導數為1/x,

過程如下:

4.y=logax

　　△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

　　△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

　　因為當△x→0時，△x/x趨向於0而x/△x趨向於∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有

　　lim△x→0△y/△x＝logae/x。

　　可以知道，當a=e時有y=lnx y"=1/x。

　　這時可以進行y=x^n y"=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y"=e^nlnx??(nlnx)"=x^n??n/x=nx^(n-1)。

我們通過這兩方面的計算過程發現, 如果想要讓上面對指數函數和對數函數微分計算要得到最簡方式,那麼a的值一定是e.

我感覺到這裡我大部分的疑問都解開了, 但是我總覺得還不完整, 希望大家能把自己對這個問題的想法分享出來. 謝謝

關於e在微分方程中出現的理解:

e是關於復增長的一個標準單位, 類似與1在正數系中的作用.或者pi相對於圓的作用所以它可以用來描述其他的復增長. 舉個例子 y"=ky, 這是一個最簡單的微分方程. 我們改一下它,就變成了dy/dx=ky; =&> dy/y=kdx =&> 我們就可以注意到左邊變成了dy/y . 我們可以認為這個比值是關於y值的瞬間增長率,(注意, 這裡就出現了增長率的概念) 對其進行積分, 求原函數就是ln(y), 而右邊對kdx 進行積分得到 kx+c (c可以為任意值,和初始條件有關, 為簡單起見,假設c=0)

得到 ln(y)=kx =&> y=e^(kx) ,這樣就出現了e^x的某種形式, 還是來自與e的關於增長的屬性, 我覺得不是猜出來的. 而是歐拉或者其他數學大家覺得這種增長的規律存在於自然規律中.而且lim(1+1/n)^n無法用一個具體的數來表示(它是一個超越數,所以就用一個符號e來表示 lim(1+1/n)^n, 如果每個地方都要寫出這個極限表達式來, 豈不是很麻煩.

越是從宏觀看整個數學體系，越是能明晰某些問題。

我認為數學是幾近純粹的人造科學，數學似乎像是人類由低緯度世界向高緯度世界探索的筆記一樣（大量的數學公式可推導至高維空間），數學體系的產生源自於現實卻又脫離於現實。很多數學上的推導，時隔多年甚至上百年，竟能在現實中找到其應用，這未免有些不可思議。

對於e，很多人都知道它是利息增長的極限，投射到現實中可以理解為：若一年的利息為100%，本金為1，按年發利息，則本利和為2，若每一個瞬間都發利息，即(1+1/n)^n對n求極限，得到的就是大家所熟知的e。

然而事實上利息難道不是人為的造物？若沒記錯的話，利息源自於古希臘，是人類經濟活動的產物。從某種角度而言，利息很好地描繪了時間成本（這裡僅指出時間成本，而不指出危機成本，可能的利潤增長等成本），而時間成本原本在商品交易中是被忽略的。可以說利息的發明使得三維的實體商品交易發展到了四維的「跨時空商品交易」，交易的不再只是如今的商品，而是包括未來在內的整個時間段的商品。

而e這樣一個神奇的造物也因此而潛藏在數學體系中的「利息」里。與其說是因為大量計算中運用到了以e為底的log運算，不如說是當時的數學體系就已經奠定了如今的這些運算、公式、定理和推導。只是在一步步的演化中，我們發現了e而已。這正是其讓人產生敬畏之處，數學的體系竟如此完備與完美，儘管出過幾次數學危機，但也都未撼動過這棟大廈的地基。這一手伏筆埋得可真深，e早已存在。

但它又從未存在，正是因為數學是人造科學，僅研究本質的話，在自然界只能找到自然數的映像，這也正是直覺主義的觀點。

無論是e，還是pai，世界上存在每個瞬間都給利息的銀行嗎？世界上存在真正完美的圓嗎？都是不存在的。

與其感嘆「怎麼e這個數這麼巧」，不如感嘆「前人所造的數學大廈著實完美至極」，完美得不像是人類的造物，我相信數學所描繪的是另一個世界，是人類從低緯度空間向高緯度空間窺視時所展望到的一角。

e的本質重要性就在於大量自然的和社會的現象都可以用方程 $y$ 描述。

假設 $y=a_0+a_1x+a_2x^2+dots$ 是原方程的解，代入利用相等次數的項的係數相等就得到

$y=sum_{n=0}^inftyfrac{a_0(kx)^n}{n!}$

考慮最簡單的情況，令 $a_0=k=1$ ,就得到解 $y=sum_{n=0}^inftyfrac{x^n}{n!}$ ,這個解在x=1處的值就是e.

另外，如果用歐拉折線法，也可以得到 $y=lim_{n oinfty}left(1+frac{x}{n} ight)^n$

e是怎麼來的?

2017-05-16 今日方知 笑看數學

e是怎麼來的?

【輕鬆一刻】

馬子曾經曰過:如果有100%的利潤，資本家們會挺而走險；如果有200%的利潤，資本家們會藐視法律；如果有300%的利潤，那麼資本家們便會踐踏世間的一切!!!

【利滾利的複利】

複利是指在每經過一個計息期後，都要將所生利息加入本金，以計算下期的利息。這樣，在每一個計息期，上一個計息期的利息都將成為生息的本金，即以利生利，也就是俗稱的「利滾利」。假設本金為a,一個周期t內利息為r,則起始a0=a,一個周期後a1=a+ar=a(1+r)....,n個周期後:

顯然是等比數列,所以n個周期後:

【瘋狂壓榨的資本家】

一次,一個窮困潦倒無法度日的工人向資本家借了1000元,約定過一年後償還,利息100%,於是一年後資本家收到2000.

過了一年後,因強行勉強還債而再次陷入困境的工人無可奈何有向資本家借了1000元,這次資本家調高了借錢代價:半年結一次利息,然後利滾利.於是年末資本家收到了1000*(1+1/2)^2= 2 250,資本家一看錢果然多了,大喜過望....

再過一年,工人又來借錢,資本家果斷再次調高:每季度結一次利息....

於是年末收到1000*(1+1/4)^4 = 2 441.40625,繼續增多啊...

再次上調:每個月結息一次.1000*(1+1/12)^12 = 2 613.0352902247

再次上調:每天結息一次:1000*(1+1/366)^366 = 2 714.5776051606

再次上調:每小時.....每分....每秒...每.....

......................

看著每次收回來的錢不斷增多,喪心病狂的資本家想了一個腦洞大開的主意:每時每刻(無窮小時刻)都結息一次,那豈不是掙得更多?從增長趨勢來看,會不會增加無窮多倍呢,從而實現數錢數到手抽筋的宏圖美夢......

也就是

這玩意能有多大?

萬惡的資本家能達到那貪婪的想法嗎???

數學上可以證明這個極限≈2.71828....

放心吧,不會到無窮的

給你做一個最淺顯的解釋，「e」有多大用處，看看積分表有多少個「ln」(自然對數，底是「e」)你就知道了。

這樣告訴你吧，一半的積分公式都要用「e」，為什麼都要用到它？舉個最常見的例子∫(1/x)dx=lnx+C，這是什麼概念，延伸一下也就是說只要被積公式裡面出現分式的大多數都要用到它。

如果這樣說你還看不出跟它跟自然之間聯繫的話，那需要再跟你說一下積分有什麼用。二維平面里求各種簡單或複雜圖像面積，多個函數構成的圖形的面積都必須用積分來計算。還有三維空間求各種幾何體的體積，表面積也還是要用積分來算。世界各種物體既不是標準的球或柱，也不是標準矩形，或多邊形，世界是由各種曲線，曲面（函數）構成的。這時積分就發揮他的作用了，而積分中的自然常量「e」的地位有多重要，我想你也應該明白了。

贊同鄭鵬來自wiki的定義。

e本身只是一個數（2.71...)的代指，如同π(3.14...)。之所以重要，以至於單獨被命名，是因為它們擁有著某些特殊的性質。

而為什麼e是這個數？是因為e從來都是被定義為滿足如下條件的一個數：

對於指數 $a^{x}$ ，其導數為 $lim_{h ightarrow 0}{frac{a^{x+h}-a^{x}}{h-0}}=a^{x}lim_{h ightarrow 0}{frac{a^{h}-1}{h}}$ ，可以發現這個指數函數的導數是其本身乘以另外一個係數，更奇妙的是當右邊的係數 $lim_{h ightarrow 0}{frac{a^{h}-1}{h}}=1$ 時，這個指數函數 $a^{x}$ 的導數就是其本身，一旦這個條件成立，這個指數函數的無限階導數都是其本身，而e就是滿足這一條件的唯一值，這一獨特性質也註定了e的不平凡，因為你找不到第二個滿足這樣函數，也找不到第二個滿足這樣函數的常數。

由 $lim_{h ightarrow 0}{frac{e^{h}-1}{h}}=1$ 才推出了常見的e的表達式ｅ $=lim_{h ightarrow 0}{(1+h)^{frac{1}{h}}}$ ＝ $lim_{h ightarrow infty}{(1+frac{1}{h})^{h}}$ ，而當我們上來便被給出如歐拉這樣的e的表達式時，整個人絕對是懵的。

然後，才是e的與自然增長規律、增長極限高度巧合之類的其他重要特性，被稱為自然常數。

不過真正讓e大放異彩的，應該算是神一般的歐拉公式， $e^{i heta}=cos heta+isin heta$ ， $heta=pi時，e^{ipi}+1=0$

$y=e^x$ 的n階導數都是他自己哦

實際中用到e的地方也很多，比如

$k=k_{0}exp(-{frac{a}{RT} })$

學的太少想的太多。

你為什麼不了e？顯然你沒有學過很多數學方面的內容。任何一個合格的數學系學生都會自然地認為e應該被稱為自然常數。

沒有乾貨的空想是沒有意義的。想真正地了解e，就去看數學分析，複分析。你若不懂這些知識，看那篇把e講的天花亂墜的文章也沒有多大用。

科普畢竟只是科普。

科普摻入乾貨就沒人想看了，是不？

試答，本人機械類專業，數學愛好者，脫離數學專業十年。

e這個符號的產生，誠不知歐神是在研究什麼問題時遇到的。為什麼諸多結果形式中出現e，愚以為如同其他答主的舉例一樣，是在研究一系列自然問題中（包括複利計算，種群數量，衰變，波形），做出最基本的假定後（即變化率的變化恆定），必然會遇到的一個數。怎麼個必然法，我也說不出…意會一下，這個數就如同1一樣，具有自然性和基礎性。很難想像查個數查不到1。只不過e看起來比1複雜，那是因為它確實是在研究複雜變數和分析中出現的。如同研究複數就會遇到i一樣。當這個數具有如此普遍性後，把它記為常數e可以簡化形式和書寫，也是很自然的事了，有人提出，大家同意，廣泛使用。e神奇么，個人覺得還好。

另外，e如果變化了會不會影響宇宙的基礎。說不出個正理，就亂說說。首先，個人認為，哲學，數學，物理三者。哲學最具有基礎性，但太抽象，太廣泛，很難研究。物理規律倒是方便假設，比如引力常數變了會怎樣，光速變了會怎樣。那麼類比一下我覺得e變了這個說法很彆扭，因為e這個數的得出還是有很強構造性，你看，有了自然數，有了乘法，有了極限，才出現了e。e不是像物理里的光速引力常數那樣不可再追究下去的常數，也不像1這麼基礎，它變了，必然是其他基礎先變了。

不專業，無資料，隨口答，請輕噴。

最後

1+e^(pi?i)=0

關於微分方程的問題。數學書上給出了n階方程有n維解的證明。然後，為什麼那些通解全是e的指數函數呢，據我們老師說，是猜出來的，數學上又可以證明解的唯一性，那麼就是他了，看上去很扯，但好像就是這樣

介紹你看本書《不可思議的e》科學出版社好玩的數學系列

這裡是民科和玄學家的天下鑒定完畢。

對於題主的第一個問題「在什麼情況下,歐拉用到了這個極限」，我認為題主的意思是想知道e的起源，如果是這樣的話感覺@鄭鵬的回答中提到的是從對數函數的求導中冒出來的還是非常靠譜的，這是我本科數學分析看了幾遍之後的認識，當然真實歷史我也沒了解也沒求證所以我也是民科。手動笑哭。。。

下面是反轉，原來鄭鵬自己就是提問者。。。笑哭笑哭笑哭。。。

更新：承認錯誤，是我不懂什麼叫複利！

數學中的抽象符號是可以表達現實某過程的，這種形象的理解是可以幫助我們記住它。

先想想，自然過程中連續增長（注意是連續增長）是如何表達的？

1+1，一個人拉一個人的手，那麼是兩個人，這是增長，是加法「+」符號表達的，但它不是連續增長...

3-2，三個蘋果我吃掉了兩個，這也是用符號表達的，它也不是連續的。

細菌的繁殖，能量的釋放，水的流動，等等這自然界的現象不是跳變進行的，而是一點一點連續進行的。

那麼這一點一點怎麼表達？？估計你已經想到了，就是極限！

比如基礎是1，「增」就是(1+無窮小)，可以用（1+1/n）表達。這個表達就是增加一點點的意思。然後這只是「增」，還不是「長」。我們的成長不是加一點點就可以完成的，那樣多慢啊，比如1+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小。。。，不還是1附近嗎!我們的成長是在原來的基礎上增長的，就像我們身體的增長，11歲是在10歲的基礎上長高，12歲是在11歲的基礎上長高。於是「長」的表達就是：

1（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）......

由於此處不考慮時間的概念，所以n-&>∞時

e就是連續增長的過程的表達。

但你可能會問：為什麼增長這個看似無限的過程，怎麼會以一個有限值e作為終點?

問題還是在於連續，一個梨子+一個梨子這不叫連續增長，如果要保證增長的連續性，必須保證增量為無窮小量，即1/n。這在e的定義中已經充分體現了。然後再計算極限值就得到了e，或者說定義了e。如果人類碰巧無法計算這個極限值，那麼就悲劇了。。。

因此，1連續增長的結果是e（無時間的考慮），一個事物如果想表達連續地相加或者相減，藉助e是一個好的辦法。

驚為天人之作《同構的世界：自然數學的哲學原理》。解答了你所有e的疑問。根據演化的思想，自然界是沒有負數的，0與1和所有的整數都是變化和短暫存在的。e是一個層次效率最高的元素，則就用他來做基礎，加上i這個意識的表達（思維的過程，只有思維，才能實現負數），就得到了用e演化思想解釋歐拉公式的e^（i*pi）=-1。然後是e的虛指數構成了正交的向量空間，信號的相互作用，包含了信息和能量的信號，信息部分的相關性（正交則相互作用為0）。

另外，世界真相我們不清楚，我們只是在用各種體系同構這個世界。