一個長方形內，有一個永不停歇的點以任意角度從任意位置開始運動，碰到長方形的邊之後進行鏡面反射？

01-05

那麼是否能夠證明這個長方形內任意一點都曾經被永不停歇的點覆蓋過？如果能，請證明。
請明確有哪些情況是需要排除的，比如該長方形是個正方形，永不停歇的點從正方形一個邊的中心點開始運動，方向為臨邊中心點，那這個點經過的路徑只能為一個菱形。
補充信息：是我的提問不嚴密了。最初想到這個問題是打撞球，流行一句話「勁兒大出奇蹟」。這句話很容易理解，後來根據這句話，我想到，如果整個球台只有一個球，以任意角度將球擊出，球永不停歇，那麼球最終是否一定會進入某個袋中。再深化一點，假如把球台化成無數個面積無限小的「元」，去掉球袋，撞球在球台上的時候所佔面積為一個「元」，那麼這個永不停歇的球是否會經過球台上的每一個「元」？

瀉藥～

我其實沒搞明白題主到底是想問存在性還是想問啥……我以為是存在性，但是看描述又像是要問可能性有多大的感覺……

事實上，可數次反射得到的軌跡的集合是個二維零測集，而可數無窮個零測集加起來還是0，所以結論是不可能，頂多覆蓋一個稠密集

充滿正方形的曲線是有，它叫Peano曲線，要討論它，可以學一下分形幾何（數學中很有意思的一個分支），我不太了解，就不多說了

問題可以轉換為在用1*1的格子組成的2維平面，平面上是否存在一條直線，該直線與橫向或豎向的交點，能夠取遍[0，1]。

答案是否定的。

先只考慮豎向的交點，直線可以寫成y = k * x + b (x取整數)，則交點集合與自然數是等勢的。

而實數[0，1]的個數顯然比自然數的個數要多。

期待高手來解答。

這個問題在數學上並不困難，現有的回答中有很多都給出了不錯的解釋。因為題主補充了問題信息，我稍微總結一下。

在沒有撞球的情況的數學模型下：回答當然是不可能。理解這個回答不需要任何高等數學的方法，了解初等幾何，有理數無理數，等差數列即可。可參考一個長方形內，有一個永不停歇的點以任意角度從任意位置開始運動，碰到長方形的邊之後進行鏡面反射？ - 匿名用戶的回答。值得指出的是，因為是鏡面反射，這個永不停歇的點的軌跡是非常容易描述的，如同匿名用戶所指出的，本質上是一條在由長方形（我們無須假設正方形）所組成的四分之一平面內的射線，我們很容易可以找到長方形中無法被覆蓋的點。比如說，我們考慮長方形的長邊，射線在長邊上面的分布構成一個等差數列（假設長邊邊長為單位1）的小數部分或該小數部分對1的余（與整數部分的奇偶有關）：如果公差為有理數，則此射線在長邊上只有有限個點；公差為無理數，則在長邊上稠密（要證明這點並不容易但仍然初等，需要用到有理數的稠密性質和公差為無理數的等差數列性質以及考慮整數部分的奇偶性）但無法覆蓋（根據平移我們可以假設初始項是0，公差為無理數時顯然所有有理數都在此點的軌跡之外）。仍然根據平移，在一條邊上稠密我們可以知道在整個長方形中稠密。另外，在一個長方形內，有一個永不停歇的點以任意角度從任意位置開始運動，碰到長方形的邊之後進行鏡面反射？ - npbool 的回答中，對角線的說法並不準確，須知點的軌跡不是這條射線，而是其在每個小長方形中的部分或者其關於某條邊的鏡面反射。

當然，作為一個測度為0的集合，高等數學的觀點可以很容易的告訴我們：不管這個點如何反射，它永遠無法覆蓋這個長方形。關於曲線如何覆蓋空間，可以看看以下這個回答：有哪些反直覺的數學現象？ - 匿名用戶的回答。

現在來談談打撞球的實際模型。我們假設撞球桌上有一個比球稍大的洞，問題是：假設擊球者力氣足夠大，球是否一定會掉入洞內？

答案是肯定的。此處我們需要用到高等數學的想法：任取一實數，這個數為有理數的概率是0，即有理數集測度為0。

我們只需要證明點的軌跡在長方形內稠密即可（稠密是一個數學術語，實際的意思是什麼請知友自己想像一下）。平移之後，我們仍然可以假設起點為原點。擊球角度決定了射線的斜率，而等差數列的公差等於寬（已經固定不變）除以斜率。由前面的討論我們可以知道：只有出手角度形成的斜率與寬的比為有理數時（這是一個測度為0的集合），點的軌跡不稠密。其它情況下點的軌跡是稠密的。即，假設擊球者力氣足夠大，球掉入洞內的概率是1。

不需考慮二維。即使時間無限，運行軌跡和對角線只有可數個交點，連對角線都無法覆蓋，所以不行。

等分布序列的一個簡單推論

不妨設邊長為有理數

如果光線角度的正切值是無理數，那麼光線的路徑在區域里稠密

當然，如果是正切是有理數，那就只會經過區域里的某些線段

這是最簡單的遍歷，stein的fourier analysis里提到了這個結論，在應用那一章

這個問題可以轉換成裝備帶奇點的平坦度量的緊流形上的測地線的性質，我們知道每個同倫類裡面能量最小的都是測地線，所以有閉的測地線，另一方面，70年代有人證明了從一個點出發的幾乎所有方向的測地線都是遍歷的。

背景有很多，最早估計是na小數部分在0,1稠密，均勻分布，weyl引理？另外用空間結構有一種方法知道了稠密就可以做均勻分布。

另外，這個billiard和物理，數論，幾何都有關。

正方形對應的緊流形是T2,沒有帶奇點。你這個均勻分布是標準的用weyl引理就可以做。

...我只是討論撞球哈...

打輕點...能讓子球輕輕碰庫就可以,

這樣就算沒進,因為靠近洞口,所以效益也是接近進了的,

如果擋在洞口,那不僅可以給自己留球,還可以給對手填堵,效益是大與進了的,

所以如果不是做白球的話越輕越好~

ps:如果力量太大,球速過高,球100%會順著台邊飛起來的...

龐加萊定理說任何封閉系統在足夠長的時間後都會回到無限接近初始狀態的狀態，我的理解是題主的問題不夠嚴謹，因為點是沒有範圍的，是可以無限再分的，『』鋪滿『』這個詞用在點的身上不太合適。如果問題對象變成閉合2維圖形區域中，任何初始狀態運動的有面積的一個圓，那麼還是可以討論的。考慮龐加萊原理的特殊情況，比方從中心垂直一個邊運動，那麼這個圓將會在正方形的內部做永不停息的往複運動，那麼就不會鋪滿整個區域。而如果是一般情況，因為無限遠時間後一定會回到初始狀態，那麼你可以理解成，這一遍能鋪滿，那麼回到初始狀態後的第二個周期也能鋪滿，如果這一遍鋪不滿，那麼下一個，下下個周期，永遠鋪不滿。實際上，圓是不可能填充正方形的邊角的，不是么？就像屌絲，有人會逆襲，有人不會，這輩子不會，下輩子也不會，這是毅種循環。

這個可以等價為環面（把長方形對邊粘貼起來）上的測地流

居然有人提到跟我想的一樣的問題！我覺得上面的問題提的太簡單了，我把它鋪開一下，熱烈歡迎拍磚和各種解決辦法。

先說下實際問題。我在打斯諾克（撞球）的時候，也想過這個問題，在斯諾克球台（標準球台的內沿競賽面積為3569mmx1778mm，供參考）面上任意點放置一母球，用球杆朝任意方向擊打母球，這裡只假設母球可以永遠運動下去，那麼母球最終會不會進袋？需要多久時間進袋（假設它的運動規律可以用數學函數描述）？跟球台的具體尺寸比或具體尺寸有關係嗎以及有什麼關係，能否用數學公式描述？跟開球的具體區域以及方向有關係嗎以及有什麼關係，能否用數學公式描述？母球跟庫邊的接觸點在隨t（時間）增加時呈現什麼樣的規律，以及這種規律跟擊球的方向以及母球最開始的置球點有什麼關係，能否用數學公式描述？等等。實際情況是：球台是凹凸不平的；球滾動檯面是有台昵摩擦；母球撞到球桌庫邊也會損失部分能量；母球行進時會有空氣阻力，而且空氣阻力是不均勻的是變化的，隨速度大小不同；實際母球撞庫邊時入撞角跟出撞角（跟光照射到平面鏡時的入射角和反射角類似）是不同的；實際情況是母球不沿垂直方向撞庫邊後母球會產生一定自旋轉（而且入撞角不同自旋多少也不同）；實際情況是擊球上不能達到理論上的母球最中心點，也就是說可能產生左右上下自旋（相對於正中心而言），如果母球緊貼庫邊那麼擊球時一定會產生向前加速滾動的效果；還有母球的行進速度，是否為均速，加速，減速，以及是否加或減速和左右旋轉的組合導致碰庫的效果（出撞角大小不同）是不同的；還有球台台昵實際上是不絕對均勻的，台昵全部朝一個方向卧倒，再者台昵的濕度也是不均勻的；實際庫邊是不均勻的不平的；實際母球可能會跳起來；實際球檯面上會有雜質；實際擊打母球時母球會跳起來；實際母球經過的地方改變了原來的摩擦係數，所以球檯面是變化的；實際空氣濕度也對它有影響；實際等等實際情況非常複雜。

我認為從實際情況上直接判斷上述母球會不會落袋沒有意義，根本不可能永動下去，而且影響因素太多，最多亂猜。但是從數學上分析一下還是很有意思的。把它轉化成數學問題就是（跟樓主提的基本一樣，但還有後續問題）在一個平面矩形中（設長和寬分別為x,y），任意放置一個點，此點沿任意方向直線永動，碰到矩形的邊時會按入碰角=出碰角的情況處理，此點會不會終會碰到矩形的所有部分？

另外，是否會碰到矩形的所有部分跟矩形的長寬比或長寬尺寸有關係嗎？如果有，充要條件是什麼？

另外，如果會碰到矩形的所有部分，那麼在剛好第一次碰完矩形所有部分的時候，有多少是重複碰到的？只碰過1次的比例是多少？有沒有2次，3次，4次，，，n次，它們的數量比例呈什麼分布（我不知道能不能算出來？），這些跟初始放置的點位置以及方向有什麼關係？這些又跟矩形長寬比或長寬尺寸有沒有關係？

另外，假設以上點永動，那麼會不會從某個時間起呈現一定的周期性（運動跟前面的周期所有方面一模一樣）？能否表示出來？

在上述基礎上變更複雜一點，假設上文中的永動點以一定的速度(v)作直線運動，到剛好第一次碰完矩形所有部分時用時(t)多少？（我不知道能不能算出來）第二次（剛好第一次碰完矩形所有部分開始計）碰完矩形所有部分用時多少？

以上如果可以，能否給出完整的數學證明方法，可能不止一種方法。我不太懂數學，談一點我自己的思路，拋磚引玉。矩形是軸對稱的，即1變1/2，1/2變1/4，1/4變1/8，用極限的思想？另外能否只考慮角度的變化規律？

以上有可能問題都沒提好，希望指正。我後續會適時修改，歡迎討論。

數學上不清楚，統計物理上是直接當基本假設來用的，叫做各態遍歷假說。其源於這樣的一個觀點，在題目所述情況下，無外場時盒中每一點在空間上是等價的(顯然這裡忽略了邊界的問題)，粒子出現在每一點的概率相同，時間足夠長的話粒子將遍歷所有點。