為什麼複數沒有定義叉乘點乘，向量沒有定義除法？

01-05

既然一個複數代表了一個向量，為什麼他們之間的運算會有這麼多不同呢。希望能有高觀點的解答

謝邀。

兩個向量的叉乘可以在3維和7維定義，分別來自虛四元數和虛八元數的乘法取虛部。複數很不幸是2維實向量空間。點乘在任意維數都可以按照通常方式定義。

實數域上的可除代數只出現在1，2，4維，分別對應到實數複數四元數，如果不要求是結合代數的話還有8維八元數。其他維數的實線性空間你都沒法定義在非零元上可逆的乘法。這是一個著名的定理，名字我一下子忘了。

三維向量叉乘可以視為1形式楔積的霍奇對偶。

霍奇對偶要有一個黎曼度量，復空間能不能推廣我暫且不會。

R4里1形式楔積一下，2形式（交錯余張量）有6個自由分量，並且對偶一下還是2形式（沒什麼自然的叉乘），維數更高的（除7外）也是這個想法。

一個問題：R7中用八元數定義的叉積能否也用霍奇對偶描述？

Clifford代數那套好是好，但市面上的好書太少。目測Lounesto那本尚且可供一玩。

其實。。。複數並不是向量，只是與二維向量同構而已。

而在數學的意義上，也並不需要拿複數當向量用。畢竟複數本來就是求根的產物，自然也就是用來表示「不存在的根」的值了，實際是一個數。複數積分比二維路徑積分限制更多的原因也在於此，畢竟得讓這種積分體現數的特點。

點積其實是有的，只不過是一個複數與另一個複數的共軛相乘而已。叉積的話，沒聽說過用得上的，但是你可以自己作一套規則出來，唯一問題就是，要如何弄出虛·虛軸出來

其實是可以的。在二維實向量空間定義兩維Clifford代數，那麼它可以除，和複數同構。這裡兩個基不再是e1,e2,而是1和e1^e2.

直觀講就是實部和虛部不對稱，要對應標量和面積元。

這麼好的東西為啥不流行，反而一堆叉乘點乘還沒除法?原因是吉布斯和heaveyside這幾人當年覺得除法沒用，用他們的符號打敗了哈密頓的記號。可以去查矢量和四元數的鬥爭史。

我覺得正確的說法應該是複數有乘法

而矢量沒有乘法只有點乘叉乘而點乘和叉乘不算是乘法

一個運算要成為真正意義上的乘法必須有這樣的性質就是如果a和b都不是0 那麼他們的乘積也必定不能為0

不難驗證點乘和叉乘都不具有這個性質對於點乘只要兩個矢量垂直結果就是0 對於叉乘只要平行結果也還是零

兩個不是0的量乘積不為0保證了除法的存在合理性也正是因為這個原因矢量沒有除法

矢量和複數其實並不是同種東西代數結構並不相同你應該把複數理解成是矩陣的子集

如果你想了解更具體的可以看看我在b站自己錄的視頻的第二集的開頭

http://www.bilibili.com/video/av16800188

只是規則而已，要看是否封閉。

叉乘的那個是外積 wedge. 這種運算看似向量運算對於沒有張量概念的中學物理也可以按向量理解但這種運算本質上是對偶向量或者叫形式之間的運算

根據Hodge定理恰好在三維空間兩個一形式的外積可以得到另一個形式看上去又像是三維空間的向量於是就把它們都當作向量處理了

不把張量搞清楚這個問題可以整死人