是否存在一個函數，在它定義域內連續，遞增，但處處不可導？

如題

謝邀，不可能，單調函數一定是幾乎處處可導的。這是因為它是有界變差的。這些都是實變函數的基本結果，在大部分實分析上都有。有趣的是你可以找到處處可導但是無處單調（也就是在任意區間上不單調）的函數。一個簡短的證明如下：http://www.ams.org/journals/proc/1976-056-01/S0002-9939-1976-0396870-2/

實際上這個論文證明了這類函數比那麼有單調區間的函數多得多。（這個論文很短，只有兩頁，有泛函基礎的同學可以在吃飯的時候看完）實際上，那種至少存在一個區間是單調的函數是第一綱的。而病態的函數才是大多數。

所以你得有一個印象：單調是很強的性質

不可能。想在dhchen大神的答案上做一點補充。

單調這個條件有多強？

我們可以把命題改為：

從實分析的角度上看，單調函數一定是有界變差函數，而有界變差函數幾乎處處可導，這證明了上述命題的正確性。（幾乎處處是實分析的概念，表示不可導點的勒貝格測度為0）

事實上，單調函數幾乎處處連續。