度量空間 (metric space) 與測度空間 (measure space) 的關係？

01-05

有沒有包含被包含，或公共部分，或一定條件下可以相互誘導得出？

其實沒什麼關係, 只是名字比較像.

粗略地說, 度量空間是能在上面定義收斂, 連續概念的空間, 比度量空間更一般的空間是拓撲空間, 在拓撲空間上也能定義收斂和連續概念. 而測度空間是能在上面定義(Lebsegue)積分的空間.

定義. (度量空間) $(X,d)$ 是一個集合, 其中的元素叫作點, 連同一個距離函數或度量 $d:X imes X o [0+infty)$ , 它把 $X$ 中的每一對點 $x,y$ 指派到一個非負的實數 $d(x,y)$ , 而且度量必須滿足下述四條公理:

對於任意的 $xin X$ , 有 $d(x,x)=0$ .
(正性) 對於不同的 $x,yin X$ , 有 $d(x,y)>0$ .
(對稱性) 對於 $x,yin X$ , 有 $d(x,y)=d(y,x)$ .
(三角不等式) 對於 $x,y,zin X$ , 有 $d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)$ .

在很多情況下, 度量 $d$ 是明確的, 從而我們把 $(X,d)$ 簡寫為 $X$

例. (實直線) 設 $mathbf{R}$ 是實數集, 並設 $d:mathbf{R} imes mathbf{R} o[0,+infty)$ 是度量 $d(x,y):=|x-y|$ , 那麼 $(mathbf{R},d)$ 是度量空間, 我們把 $d$ 叫做 $mathbf{R}$ 上的標準度量.

例. (Euclidean 空間) 設 $ngeq 1$ 是正數, 並設 $mathbf{R}^n$ 是 $n$ 元有序實數組的空間:

$mathbf{R}^n:={(x_1,cdots,x_n):x_1,cdots,x_ninmathbf{R}}.$

定義Euclidean度量(也叫作 $d_{l^2}$ 度量) $d_{l^2}:mathbf{R}^n imes mathbf{R}^n o[0,+infty)$ 為

$d_{l^2}((x_1,cdots,x_n),(y_1,cdots,y_n)):=sqrt{(x_1-y_1)^2+cdots+(x_n-y_n)^2}=igg(sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2igg)^{1/2}$

定義. ( $sigma$ -代數) 設 $X$ 是集合, 一個在 $X$ 上的 $sigma$ -代數是 $X$ 的子集族 $mathcal{B}$ 滿足下述性質:

(空集) $emptysetinmathcal{B}$
(補集) 如果 $Einmathcal{B}$ , 那麼它的補集 $E^c:=Xsetminus E$ 也在 $mathcal{B}$ 中.
(可數並) 如果可數個集合 $E_1,E_2,cdotsinmathcal{B}$ , 那麼它們的並集 $cup_{n=1}^infty E_ninmathcal{B}$ .

我們把集合 $X$ 和在其上的 $sigma$ -代數 $mathcal{B}$ 組成的序偶 $(X,mathcal{B})$ 叫做可測空間(measureable space).

例. 給定任意集合 $X$ , 平凡代數 ${emptyset,X}$ 和離散代數 $2^X:={E:Esubset X}$ 都是 $X$ 上的 $sigma$ -代數.

例. (Lebesgue 代數) 設 $mathcal{L}[mathbf{R}^d]$ 是 $mathbf{R}^d$ 的所有Lebesgue可測子集構成的集合, 那麼 $mathcal{L}[mathbf{R}^d]$ 是 $mathbf{R}^d$ 上的 $sigma$ -代數.

定義. (可數可加的測度) 設 $(X,mathcal{B})$ 是可測空間, 在 $mathcal{B}$ 上的可數可加的測度 $mu$ ,或簡稱為測度, 是一個映射 $mu:mathcal{B} o[0,+infty)$ 滿足下面公理：

(空集) $mu(emptyset)=0$ .
(可數可加性) $E_1,E_2,cdots,inmathcal{B}$ 是可數個互不相交的可測集序列, 那麼 $(mu(cup_{n=1}^infty E_n)=sum_{n=1}^{infty}mu(E_n))$ .

三元組 $(X,mathcal{B},mu)$ , 這裡 $(X,mathcal{B})$ 是可測空間以及 $mu:mathcal{B} o[0,+infty)$ 是可數可加的測度, 叫做測度空間.(measure space).

注意測度空間與可測空間的區別, 可測空間是能在上面定義測度, 測度空間是已經在上面定義了測度.

我的理解是一個度量空間 $left(X,d ight)$ 本身是一個拓撲空間 $left(X,mathcal{T} ight)$ ，其通過函數 $d:X imes X omathbb{R}_{+}$ 定義了距離，從而誘導出最「自然」的開集和拓撲，即所謂「wiggle room around the edges」。而有了 $X$ 的拓撲 $mathcal{T}$ ，我們就可以生成 Borel $sigma$ -代數：

$mathcal{B}_{X}:=sigmaleft(mathcal{T} ight)=igcap_{mathcal{F}inmathcal{I}left(mathcal{T} ight)}mathcal{F}$ , where $mathcal{I}left(mathcal{T} ight):=left{ mathcal{F}:mathcal{T}subsetmathcal{F} ext{ and }mathcal{F} ext{ is a }sigma ext{-algebra on }X ight}$

即 $mathcal{B}_{X}$ 是包含了 $X$ 拓撲的最小 $sigma$ -代數。

當 $mathcal{F}$ 為一個 $sigma$ -代數時， $left(X,mathcal{F} ight)$ 被稱為一個可測空間，如果函數 $mu:mathcal{F} oleft[0,infty ight]$ 具有可列可加性，則 $mu$ 被稱為 $left(X,mathcal{F} ight)$ 上的測度。此時 $left(X,mathcal{F},mu ight)$ 就被稱為測度空間。特別地，當 $X=mathbb{R}$ ， $mathcal{F}=mathcal{B}_{mathbb{R}}$ 時，可以證明存在唯一的 Borel 測度 $mu$ 使得：

$muleft(a,b ight]=b-a$

對於任意的 $a<binmathbb{R}$ 成立，而這其實就是實線上的勒貝格測度（Lebesgue measure）。

沒什麼關係。

（如果在度量空間里加個原點，然後把元素到原點的距離稱為元素的「大小」的話）

度量空間主要描述的是元素本身的「大小」。

測度空間主要描述的是若干元素組成的子集的「大小」。

從概念上而言，兩者沒有互相蘊含的關係。

度量空間 $(X,d),d:X imes X ightarrow (-infty,+infty)$ 滿足度量空間三條公理的一個函數。

$d(x,y)=d(y,x) forall x,yin X.$

$d(x,x) geq 0, d(x,x)=0 Leftrightarrow x=0.$

$d(x,y) leq d(x,z)+d(z,y) forall x,y,zin X.$

測度空間一般是指下列的三元組:

$(X,Sigma ,mu)$

其中

$Sigma subseteq 2^X$ 是 $X$ 上的一個所謂 $sigma$ -代數 (sigma algebra)， $mu$ 是 $Sigma$ 上的一個測度。一般而言可以在「沒有定義開集」的情況下構造測度空間，這樣一來測度空間上面就沒有了拓撲結構。而度量空間可以定義形如 $B_x(r)={ y:d(x,y)leq r }$ 為其上面的開集，因此度量空間自然地就成為了一個特殊的拓撲空間。

另外，我們當然可以在度量空間上構造 $sigma$ -代數以及測度 $mu$ 。例如：計量測度(counting measure) 等等。

所以度量空間與測度空間之間並沒有邏輯上的蘊含關係。

我想說一下測度與度量的區別。

測度是針對集合去測的，集合作為一個整體，研究的對象是集合

而度量是針對集合裡面的元素，與元素之間去測度量的，研究的對象是集合里的元素

我記得用metric是可以誘導出一個measure的，而即使沒有metric也可以定義測度...

這兩者沒有半毛錢關係.

不過值得注意的一點是,測度空間上有一個天然的拓撲,它以所有滿測集並上空集為開集