在振動中，系統的模態究竟是什麼？

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最近在學振動理論，從多自由度系統的振動分析開始出現了一個叫做「模態"的概念，但是書上只是講了一些它是系統的屬性等，卻沒有講清楚到底什麼是模態

要說模態的話先讓我扯會兒蛋……

想起我記憶中唯一一次興緻大發要學做菜，第一次我就想嘗試煎一條魚（家鄉特色），所以就從網上查了食譜。魚一條，鹽少許，蔥姜蒜少量，料酒一勺……經過一個半小時的努力之後，物品合成失敗，菜既不好看又不好吃，我就很納悶，明明都是一樣的調料，憑什麼網上做出來的和我做的就不一樣？然而在一旁的我媽早已看穿了一切……我媽說：「一般都放半勺鹽，你怕會淡，就加兩勺，鍋里的水一蒸發，魚身上都快結鹽粒了；你不喜歡吃薑，就放了一點薑末，最後一點姜的味道都沒有，魚腥味還保留一大半。」我這才恍然大悟，原來是調料放的量不一樣。

多年之後，在我學習振動力學的時候，我陷入了同樣的思考：同是一個二自由度的振動系統，為什麼振動起來差別那麼大呢？對了，一定和「調料」的量有關。「調料」就是模態，對於二自由度的系統，只有兩個「調料」，模態一和模態二。

扯完這一大堆，現在回歸正題。

首先，什麼是模態？

對於一個多自由度系統，其振動規律很複雜，但在一群鍥而不捨的老大爺們的研究下，發現任何一個振型都是幾個簡單振型各自乘個係數然後加到一塊兒的，這些個簡單振型就是模態。

什麼樣的簡單模型算是模態？

這個很簡單，在一個複雜的振動狀態下，各質點的振動幾乎無規律可循。而在每個模態里，每個質點都遵循著和諧的簡諧運動。如魏子天同學發的兩輛小車的圖（在此表示感謝，因為本人懶，沒有找圖），這是一個二自由度的簡單的振動系統，如果我們假設小車質量相同，彈簧勁度係數相同，那它的模態是哪些呢？不用算，猜就可以了。就兩個模態嘛，一個是兩個小車一起同步左右運動，中間彈簧不受力；另一個是中間彈簧的中點保持不動，兩個小車向兩個方向做若即若離來回振動（呃……）。是不是這樣呢？他確實是這樣的。有了這兩個模態，你可以把它們振幅假設為一，這樣所有關於這兩個小車複雜的振動你都可以給這兩個模態一人一個係數相乘，然後加一塊得出來。

模態有什麼性質？

一句話就夠了，模態之間是正交的。正交不是什麼體位，說白了可以理解為「垂直」、「相互獨立」之類的。這又是什麼意思？想像一下如果做魚不放姜，只放蔥蒜，那無論你用什麼比例什麼量，都沒有辦法把姜味配出來。振動系統也是，比如我有個五個自由度的振型，算了四個模態就懶得算了，那我這四個模態無論怎麼疊加都無法表示出第五個模態。這時候你可以稍微有點空間概念了，這玩意兒不就是線性代數里學過的線性無關嗎？想像不出來的話也可以想一下，x軸和y軸上的向量無論如何表示不出z軸的向量。

說了這麼多，再有一句，要有空間意識。模態其實就是模態空間，幾個模態就是幾維空間（就在數值上講而已，別思維太發散），一個連續體就是無窮維，但是一群搞工程的往往不在意這種無窮的美，會把後邊的維度捨去，不過為了工程需要也是可以理解的。

最後，最不重要也是最重要的，這門課怎麼考試？單自由度千奇百怪我管不著，多自由度的話過程幾乎都一樣，你能找到質量矩陣和剛度矩陣，按部就班地做，最後代個邊界條件，不是滿分也八九不離十了。無窮維自由度其實是最簡單的，桿、柱、軸的振動方程其實一樣，梁的方程略複雜，需要用心記，考試的時候先把書上例題的步驟默寫上去（沒看錯，一字不差，默寫），最後只是邊界條件不同而已，你把邊界條件帶進去就妥了。

突然想起當年的我準備振動力學考試，早上三點才睡著，結果考試遲到了一小時，雖然老師開恩讓我進去而且發揮不錯拿了個優，不過還是嚇死我了（別打臉……）

感謝@Albert Liu的邀。人生第一次被人在知乎上邀請，好雞凍啊。模態和固有頻率一樣，都是物體or系統的屬性。一般來說，第n階固有頻率對應（或者說激發）第n階模態。

讓我們先從單自由度系統的振動分析說起好了。

對於滑塊（單質量）-彈簧系統，滑塊的運動方程x=asinωt。這裡的a是指振幅。這個應該都知道。那麼對於多自由度系統來說，

對於這個系統，其運動方程為

如果，等號右邊也就是外激勵項為0，那麼這個方程可以抽象表示為

那麼我們可以得到系統自由振動的解析表達式

每個特徵值ω 都對應一個特徵向量。這個
ω 就是固有頻率，而它所對應的特徵向量Φ就是模態。假設n個自由度的系統，那麼理論上，就會有n個固有頻率，也會有n階對應的模態。而且，模態的維度也是n。

模態的維度對應系統的自由度。

那麼，我們可以這麼理解：模態反應在該階固有頻率下每個自由度振幅的比例關係。

比如三個自由度的系統，第一階模態為

這就表明，在第一階固有頻率下，所激發系統自由度振幅關係比例為1:2:-1。

再多說一點，在自由振動的情況下(比如，你把尺子壓在桌子上，給個壓力然後放手，尺子就會噔噔噔彈)。系統的運動是所有固有頻率和模態運動方程的疊加。但，系統的運動，主要激發的是前面幾階，也就是說，頻率越低，所擁有的被激發的能量就越大。這一點可以從頻譜分析中看出來。第一階往往比後面幾階大很多。

就醬。（原諒我網上瘋狂的截屏吧，哇卡卡卡~但那個解析式是我手打的哦~）

模態的理解很簡單。

也就是一個系統的振動雖然非常複雜，各種耦合，但是其實只是是一些獨立的諧振子的疊加罷了。

這些諧振子按照個子不同的頻率做簡諧運動，簡單的不能再簡單。但是混合在一起表現的就非常複雜，讓我們好像覺得這是個複雜系統。

所以分析這個系統最好的方法，就是把這些諧振子找出來。這叫做解耦，把本來耦合的系統分解成獨立的。而這些諧振子，我們叫他們模態。

比如一根兩端固定的梁，他要怎麼振動我們完全不知道，它有無窮個質點，也就有無窮個自由度，我們只知道這些自由度是怎麼互相牽連罷了（彈性力學方程）。但是解耦後我們發現其實只是這幾個簡單的振動形式疊加而已（所以模態也叫作振形）：

這些振形隨時間按照自己的固有頻率振動，簡單的不能簡單啦，除了形狀比較奇怪以外（比如如果你做什麼變速箱殼的模態分析，會有看起來非常扭曲的那種振形），和高中學的小塊彈簧簡諧振動沒區別，我們就能輕鬆的解決他啦。

至於使用方法嘛，請看振動力學的模態疊加法。這個方法在有限元中被也用來解決非衝擊的的動力學問題，省時間省內存。

順帶一提，模態空間有很多很有意思的性質，比如猶豫剛度矩陣的正定對稱性，模態都是正交的，不僅可以分解我們這個振動，它們還構成了某個n維空間的基底，n等於這個系統的自由度。所以它們可以把載荷譜也分解了，複雜的載荷也就變成一個個單獨作用於個個模態的載荷，叫做載荷譜，問題到這裡就徹底解決了。

一個系統一般包含了質量、阻尼和剛度三要素，簡單說一下，以下的胡咧咧是建立在線性理論上，非線性振動不在討論之列：

「振動方程」的建立，即描述了系統的質量、阻尼和剛度在空間的分布情況，有限自由度系統的振動方程是常微分方程（變參量為時間t），而無限自由度系統的振動方程是偏微分方程（變參量為時間t和空間坐標xyz）；
模態是一個統稱，就是通過求解「振動方程」而來，包括固有頻率、模態阻尼、模態剛度、模態質量、固有振型等，有些人喜歡把「模態」特指「固有振型」，無可厚非；
有限自由度的振型是一個「比值」，而連續體（無限自由度）的振型是某個連續函數，振型是不能用「大小」來衡量，只能說是「相對幅值」；
一個系統有多少個自由度就有多少階模態，就是說桿、梁等連續體有無數階模態，而每階模態包含一個固有頻率（矩陣特徵值），並且對應一種模態振型（矩陣特徵向量，基礎解系），各階振型彼此正交（數學解釋即為兩兩振型向量積為零，物理意義即為在空間上不發生能量傳遞）；
針對欠阻尼系統，阻尼對固有頻率的影響很小，甚至可以忽略，但是在某些情況下的研究就不能隨便忽略了，例如MEMS中高大上的熱彈性阻尼（thermoelastic damping）；
阻尼的機制很複雜，不同的阻尼機制會涉及不同的振動方程，因此導出「實模態」和「復模態」的說法；
輸入（激勵）、系統、輸出（響應）三者的「知二求一」關係需要搞清楚，分為「振動分析」、「試驗模態分析」和「環境分析」；
模態參數怎麼獲取？計算實驗和模擬實驗。

先寫這麼多，最好看看《機械振動》和《試驗模態分析》相關書籍去慢慢體會吧。

樓上各位大神們各種引經據典的說了一大堆關於模態的概念。但其實，個人不太喜歡在介紹一個概念時就推出什麼自由度、特徵方程這些。正如我們小學時學習算術時，老師和你說，你一共有5塊糖，被小明吃掉2塊後，還剩幾塊？於是我們明白了減法的實際意義，也就是物理意義。

模態的定義，本身就是基於一種物理竟義而進行的，否則我們就叫它特徵向量了。先看這兩個字，翻譯自modal，既有音譯，又有意譯，真的算是高能翻譯詞之一了（另一個個人非常喜歡的就是對「函數」的翻譯），顧名思義，它是一種模式，一種狀態。而其實呢，它的意義本身也正在於此，所體現的是一種狀態，這種狀態是什麼呢？

它是結構在振動過程中所遵循的某種特定的固有形狀模式。這就象流水一樣，它總會向最利於重力下降的方向流一樣，這個固有模式也如此，在某一種特定條件下，它總會更傾向於某一種固有的振動狀態。而在沒有特定條件下，就如你僅僅是一個平坦的斜面上觀察水流一樣，它總是很自然就沿斜面光溜溜的流下去了，不會發生分岔。振動也一樣，如果沒有特定條件，一個結構的振動，總會以最容易發生的一個狀態模式振動，也就是我們說的一階模態。

事實上，模態是人為的將振動宏觀現象進行分解後得到的產物，是我們探究自然世界得到的一種數學模型。

以上是個人理解。

我說點個人感性理解吧。n自由度系統，把他看做n維向量空間，找到一組基，既可以表示任意一個向量。找到這組基的過程就是模態分解的過程，模態可以認為是這組基中單個向量的性質。不對的話歡迎指正~

一個振動系統, 它的模態是什麼意思? 作為一個例子, 我們可以從一個矩形薄板來看。

從實驗角度看, 用激振器對板激勵, 在某些特定的頻率下, 板的振幅響應很大, 並且形狀呈現一定的"花紋", 有峰谷交替, 有"節線", 即振幅為零的點的連線。這個頻率和振動形狀似乎是固化於結構本身, 和激振的作用位置和激振力大小, 等等, 並沒有關係。這就是固有頻率和固有振型的意思。

從振動微分方程的解來看, 或者從有限元的解來看, 正好可以得到這個固有頻率和振型。而它們又正好是數學中的特徵解, 特徵值, 特徵向量。(當然, 這是必須的。否則這個振動微分方程就不會被接受了)。

模態的本質，即將振動問題進行空間線性量化，不同模態之間並無能量耦合，特徵值對應某階固有頻率，特徵向量對應某階陣型，懂線性代數和傅立葉變換的話應不難理解。

取決於討論的是離散系統還是聯繫系統,強力建議看書

: )

感覺樓上都回答的好複雜，模態其實就是振型，就是振動的形態，一般系統有n個自由度就會有n階固有頻率，也就有n種振動形態。

簡單舉個例子：一個三自由度系統一般會有三個固有頻率,n1&

例如一個三個自由度的物體的振動可以用（1,0,0），（0,1,0）和（0,0,1）這三個向量的線性組合來刻畫，假如有n個自由度的話，就要用n個這樣的向量的線性組合來刻畫了，這樣會很複雜。

如果有一個新的坐標系或者一組新的基，只需要一部分的向量的現象組合就能大概準確描述振動就好了。

去發現這個自由度，或者是這種振動的趨勢就是模態分析過程，也是系統識別。對結構的設計具有比較重要的意義。

這個新的坐標就是模態坐標系，前面有答案已經提到了，振動方程的特徵向量就是振型（各個自由度振動大小的比值，基）。

用模態法求解頻響和瞬態問題，速度很快。

樓上的回答大多很長，樓主明顯想要一個簡單粗暴的結果。

模態就是被研究系統可能的振動形式，它滿足以下條件:

全部模態構成 $mathbb{R}^{N}$ 空間的一組正交基(至於具體是標準正交還是 $old{M}$ 正交，取決于歸一化格式)。其中， $N$ 為系統的自由度數目。

不知這個回答可滿足要求。

記錄下，最近在看振動篩的理論，在琢磨，進行模態分析中，是否應該有約束。

多體各階固有振動頻率和對應各階頻率下的個體振動型態，目前我的理解，正在學習中……期待更深入的認識……

以上解答太繁瑣，不直觀。

我就用三個例子說明一下：

例子一：一個用彈簧懸掛的小球，振動起來後，就是一個上下振動的運動形式，這個運動狀態就是模態，很明顯這個系統就只有這一階模態。

例子二：在上面的小球下面再用彈簧掛一個小球，振動就有兩種形式，一是兩個球一起同方向運動，這就是一階模態。第二種形式就是兩個球運動方向相反，這是二階模態。

例子三：在上面的兩個小球下面再用彈簧掛一個球，就變成了三自由度系統，它有三個模態：一是三個小球同方向運動，二是最上面的小球與下面的兩個球運動方向相反，三是上面的兩個與最下面的球方向相反。

那麼系統真正的振動形式就是各種模態的疊加。

以上是我的粗鄙理解，請各位專家批評指正。

上面的答主都太有奉獻精神，一個研究生面試兩三句話的問題寫一大篇，我辦不到。

模態簡單說就是系統振動時的運動形式。一個模態對應一個能量平衡狀態。系統振動可以表示成各個模態運動的疊加。

模態一般僅對線彈性系統而言。現在非線性系統在發展模態的概念，但是還不成系統。