為什麼坐標空間的傅立葉變換是動量空間？如何理解？

01-05

如果看傅里葉變換的核，可以發現都是 $e^{ipq}$ 的形式，其中 $p$ 是 $q$ 的共軛量，因為傅里葉變換本來就是受啟發於傅里葉級數，而傅里葉級數就是一個以三角函數為基矢的級數。

所以邏輯上嚴格地講，並非量子態展開到一組基矢上，這組基矢恰好是傅里葉變換的核（私以為所有「恰好」，「剛好」都應該謹慎使用）。而是，我們要進行傅里葉變換，自然要用到傅里葉變換的核，而我們知道傅里葉變換的核都是 $e^{ipq}$ 的形式。

注意到，指數函數上面的指數應該是無量綱的數，所以，如果一個 $f(p)$ 中的 $p$ 是時間， $q$ 對應的量綱就是 $frac{1}{time}$ ，也就是頻率的量綱，對所有 $p$ 積分之後得到的是一個 $q$ 的函數。所以我們說一個時域的函數傅里葉變換之後就變成頻域的函數。

而如果 $f(p)$ 中的 $p$ 是坐標，那麼 $q$ 就應該是 $frac{1}{length}$ 的量綱，也就是與波數 $k$ 的量綱相同。而 $k = frac{p}{hbar}$ （這裡的 $p$ 是動量，哎我的notation果然一直都很糟糕）。 $hbar$ 是一個（有量綱的）常數。對所有 $x$ 積分之後得到一個 $k$ 或者 $p$ （動量）的函數。這樣，我們就可以說，坐標空間傅里葉變換之後是動量空間。

一般來說是作為基本假設的動量算符的基本形式的直接推論（或直接當假設也行），歷史來源應該來源於哈密頓力學中位置與動量的對易關係。

而理解嘛，可以這樣看，平面波的基本形式是

$e^{i(kx-omega t)}$