求歐拉方程（流體動力學）最基本得原理及介紹？

01-05

請高人講解歐拉方程（流體力學）方面最基本的原理及介紹，可詳細回答，也可推薦閱讀相關資料。
水平較低，微積分已經到了只掌握名稱的水平了，希望從最基礎的講起或推薦
維基百科的詞條已搜索過，真心看不懂。。。

守恆。守恆。守恆。

最基本的原理就是各種守恆，其他都是在這些原理上建立起來的理論。

流場變數守恆方程統一形式：

增長率 = 流入率 + 擴散率 + 體源項生成率+面源生成率

增長率 + 流出率 - 擴散率 = 體源項生成率+面源生成率

$frac{partial }{partial t} int_{Omega }^{} ar{U} dOmega + oint_{partial Omega }^{} [(ar{ar{F_{c} } } - ar{ar{F_{v} } })cdot ar{n} ]dS=int_{Omega }^{} ar{Q_{v} } dOmega +oint_{partial Omega }^{} (ar{ar{Q_{s} } } cdot ar{n} )dS$

研究對象：流體中常採用Euler法，所以選取空間中固定的控制體。

左邊第一項： 增長率 $frac{partial }{partial t} int_{Omega }^{} ar{U} dOmega$

這一項為流場變數的體積分隨時間的變化率，挺好理解。

左邊第二項：流出率 $oint_{partial Omega }^{} ar{ar{F_{c} } } cdot ar{n} dS= oint_{partial Omega }^{} ar{U} (ar{v} cdot ar{n} )dS$

這一項是由於流體微團流進流出而導致的變化。

左邊第三項：擴散率 $oint_{partial Omega }^{} ar{ar{F_{v} } } cdot ar{n} dS= oint_{partial Omega }^{}kappa ho [grad( ar{U} / ho ) cdot ar{n} ]dS$

這一項為由於「濃度」差而產生的擴散，上面是菲克擴散定律。

右邊兩項：體源和面源 $int_{Omega }^{} ar{Q_{v} } dOmega +oint_{partial Omega }^{} (ar{ar{Q_{s} } } cdot ar{n} )dS$

把 U換成 density momentum energy等等，就可以導出其他量的守恆方程。

想補充一些，又突然不想寫了。。。

說歐拉方程應該從NS方程上說起：

NS方程如上所說就是牛頓第二定律或者動量守恆定律在流體上的應用，在固體上F=ma很好理解，但是放到連續流體上道理也是相同的，只不過是在無線小的微元體上分析。

歐拉方程的得來是把實際流體理想化以後得到的。也就是說粘性項被忽略掉了。從這組方程中可以直接推導出速度勢phi是存在的，用Phi的好處是他是一個標量，言外之意就是只要求解一個標量那麼對應的矢量速度場即可求解出來。

題主如果想學習流體力學的話閱讀基本經典的英文教材其實是很不錯的。

如上大牛所言，可以把Navier-Stokes看成F=ma加上continuity equation。當流體不可壓縮（incompressible），i.e. $abla cdot mathbf{u} =0$ 時，continuity equation是trivial的，F=ma變成了Euler方程。從守恆率的角度上看，Navier-Stokes對應了質量守恆與動量守恆，因此是基本方程。

但是，如果只用以上的argument（加上角動量守恆），我們有4個scalar equations和10個未知量： $ho, mathbf{u}, {sigma_{ij}} in O(3)$ ， $sigma$ 是stress tensor。我們用constitutive law（經驗性的物理模型，對應Newtonian fluids）可以把 $sigma$ 用其他量表示出來，因此得到4個equations，4個unknowns的system，稱為Navier-Stokes Equations。

歐拉方程可以理解為納維爾斯托克斯方程的簡化形式。歐拉方程適用的地方很多，例如氣體動力學，空氣動力學的激波等等。一般情況下，想求解歐拉方程，一維就可以了，不難，但是介於歐拉方程有三項：質量守恆，動量守恆，能量守恆，所以解的時候需要運用到矩陣相關知識。更深一步，歐拉方程可以描述激波，就是在飛行器在空中速度過快（Mach數大於1）的情況下，會使周圍的壓力，空氣密度，溫度等等量產生不連續分布，即產生激波。在數學上，一組保守方程並在其定義域中含有非連續值，稱為黎曼問題，此處自行wikipedia， Riemann Problem. 這一類問題是氣體動力學的核心問題，由此發展衍生出了更多的東西，請題主自行在wikipedia上搜索。

我推薦一本名為《空氣動力學》或者《空氣動力學基礎》的書。

此書初版是六七十年代北航教授編著，由南航和西工大的老師審閱。

此書的特點是通俗易懂，完虐現在三個學校用的《空氣動力學》以及市面上的所有《空氣動力學》。國外的除外。分為上下冊。解決題主的問題，上次部分章節足矣。建議上冊全讀。我估計題主會有停不下來之感。

我是《空氣動力學》複試選擇教材時突然想起老師兩年前上課時推薦了這本教材，當時沒當回事。之後實在不想用學校的書，就去借了這一本。

我最擔心的就是題主能不能借到這本書，反正我在學校看見過七八套此書。紙都是黃色的了。

具體書名和作者我可能忘記了，你可以隨便找一本三航院校的《空氣動力學》課本，直接翻到最後一頁，是的，你沒有看錯，直接翻到最後一頁，看看參考書目。裡面一般都會有一個參考書目是「北京航空學院出版社」的《空氣動力學》，就是那本。依稀記得作者是徐華舫。

2016年1月20日21:19:28 update

之後了解到徐華舫老師是國內空氣動力學教學的老前輩，並且很有自己的教學風格。北航的風洞就是在他的領導下組建的。並且他與陸士嘉前輩是同事。順便提一下，陸士嘉前輩是Prandtl的學生，按輩分是錢學森的師姑。陸士嘉也是高曉松的姥姥。