為什麼任何階數等於其定義空間維數的全反對稱張量在該空間中坐標系轉動下不變？

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為什麼任何階數等於其定義空間維數的全反對稱張量在該空間中坐標系轉動下不變？（問題來自於郎道場論20頁附註）
附加問題怎麼理解一個反對稱張量和其贗張量彼此對偶

正式回答之前給個提示：想一下矩陣行列式的定義。

下面是正式回答：

已知一個n維空間內的全反對稱張量： $epsilon^{ijkl.....}$ ，在空間轉動變換下變成了 $varepsilon^{i$ 。設空間轉動矩陣為A，則可得到等式（1）：

$varepsilon^{i$

好像什麼都看不出來啊。

沒關係，那是因為還缺點東西。

提問：n階行列式的定義式是什麼？

對於方陣A，A的行列式定義為：

$det|A|=frac{1}{n!}A_{i}^{m}Ax_{j}^{n}A_{k}^{l}.....varepsilon^{ijk....}varepsilon_{mnl...}$

而公式中的 $varepsilon$ ，就是n階全反對稱張量。

還不明白？

以四階行列式為例，可以得到這麼一個公式：

驗證這個等式的方法很簡單：在等式兩邊乘以 $epsilon^{mu ulambdasigma}$ 再求和試一下。

把上面這個公式應用到等式（1）上，再考慮到旋轉矩陣的行列式為1，你會立刻得到 $varepsilon^{i$ 。

這就是我們想要的結果。

我和@量子色動力學的想法相反。我認為正因為全反對稱張量是不變數，行列式才重要。

而全反對稱張量是不變數的證明很簡單，因為diffeomorphism對張量所有指標的作用是對稱的，所以它不改變指標的對稱性或反對稱性。因此你可以根據指標的對稱性或反對稱性把張量劃分為不同不變子空間。而全反對稱張量是一個只有一維的不變子空間。

另一方面，Jacobian matrix作為diffeomorphism的張量表示，做張量表示分解時的一維表示即Jacobian行列式。適用於所有矩陣。這才是為什麼行列式也是不變數。張量表示分解和上面的不變子空間分解又實際上是同一回事。

再換個角度說，坐標變換對全反對稱張量的作用頂多是scaling（因為是一維不變子空間）。我們把這個scaling factor稱為該坐標變換的Jacobian，你發現它正好是Jacobi matrix的行列式。因此Jacobian為1的坐標變換，包括轉動，自然不改變全反對稱張量。

這個n維全反對稱張量內積任意n個矢量都可以得到這n個矢量張成的體積元（若這些矢量線性相關則體積為0）。體積元顯然是轉動不變的。如果這n個矢量在一組基取值，得到的就是這個張量在這組基下的元素，也就是說每個元素都是轉動不變的。

因為行列式是n維向量空間上（模掉一個係數）唯一的交錯n形式，而旋轉是正交的，不改變行列式。

看梁燦彬老師的書，我沒記錯第七章有講這件事影片也有講，講的很清楚。