picard序列解常微分方程本質上是不是泰勒展開？

我覺得picard序列就是構造了一列函數列，這些函數在初值處的直到n階導數都和方程解的導數相等，這個函數列的極限就等於方程的解了。不知道理解的對不對呢？

另外，想要一個和課本不同的picard定理的證明，感覺課本的思路難以接受...

謝邀，不是，和Taylor展開沒有關係。picard迭代只是低階的「壓縮映像原理」的應用，所謂Talyor展開也只是迭代過程中產生的副產品。本質上就是相當於一邊證明壓縮映像原理，一邊用它解決常微分方程。總之，對於初學者這是非常不友好的。如果你要比較好的理解這個方法：你只需要學習一個泛函分析的度量空間概念，然後用一下裡面的最基礎的不動點原理即可，這才是正確的打開姿勢。下面的證明方式才是最好的一種, 下面這個證明的優秀在於它通過映入一個技術性的範數避免了「延拓」而直接在任意有限區間上完成了證明。通常的思路是先證明一個非常小的 上結果成立，然後往後延拓。

你可以參考我的專欄文章

（I）Banach空間和不動點定理 2 : 不動點定理和鐘擺問題

或者直接看這個證明的出處"Linear and nonlinear functional analysis with applications"