無窮大是怎樣的一個概念？

01-05

可以舉例子，也可以從數學或物理角度做出解釋。

拓撲中有一個叫作一點緊緻化的技術可以通過給局部緊緻的拓撲空間添加一個點使其變成緊緻空間（不嚴格的說就是讓無界不完備的集合變成有界閉集）從而嚴格定義出無窮大。

舉例來說可以在二維實數平面這個集合中添加一個叫作無窮大的點然後讓這個點映射為二維球面的北極或者南極此時無窮大對於二維實數平面來說就是一個實實在在摸得著看的見的一個數了二維平面成了一個緊集全體二維平面實數加上無窮大與二維球面剛好同胚。

將無窮大形象的表達出來，只需要一個單擺，單擺下面對應著坐標軸，過單擺的直線和坐標軸相交的點就是一個實數。那麼一個單擺的偏移角度嚴格獨一無二的對應著一個實數，例如1度，-2度，負角度代表著負半軸，等等，隨著角度增大，過單擺的直線和坐標軸相交的點越來越遠，單擺的偏移角度達到90度的時候，就是無窮大點。那麼我們把角度完全覆蓋到了實數上，一一對應，一個角度代表一個坐標，然後90度就是代表無窮大。90度是一個實實在在摸得著看的見的一個數。

現實世界中，任何無窮大都應該是不存在的。一個物理理論出現了不能用數學方法消掉的無窮大，就意味著這個理論在此處不成立，而這往往也暗示著新理論。

無窮大不是一個數，你可以理解為是一系列動態的數。

這系列數的特徵就是它一定大於你給定的某個數，大多少無所謂。所以可以認為大於所有給定的這個數都是無窮大。

而為什麼是動態的呢？因為無窮大的下界是人為指定的。所以無窮大的下界可以隨著規定的不同有所不同。

站在康托"集合論"的角度, 我們可以更加系統、透徹的認識無窮這一概念.

集合論是對無窮的深入思考, 將我們的認知從原始的、樸素的無限大的數, 提升到一個嶄新的階段.

在了解集合論之前, 我們先來回顧一下它的歷史.

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創立者，是數學史上最富有想像力，最有爭議的人物之一。他對數學的貢獻是集合論和超窮數理論。

年輕的康托爾在27歲的時候，就在數學上表現出優秀的數學天賦，他用有理數列構造實數 $mathbb{R}$ ，在數學發展歷史上，這是「前無古人」的創意。
無窮理論的研究，在當時一直是一個世界性的難題，由於研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果，許多大數學家唯恐陷進去而採取退避三舍的態度。從1874年開始，康托爾向神秘的「無窮」宣戰，他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看起來，1 厘米長的線段內的點與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都「一樣多」。後來幾年，康托爾對這類「無窮集合」問題發表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。
希爾伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度讚譽康托爾的集合論「是數學天才最優秀的作品」，「是人類純粹智力活動的最高成就之一」，「是這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。在1900年第二屆國際數學家大會上，希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性，並把康托爾的連續統假設列入20世紀初有待解決的23個重要數學問題之首。

無窮有時會顛覆人們的常識:

比如, 全體自然數與它們的平方數哪個多, 哪個少?

$1quad2quad3quad4quadcdots\downarrowquaddownarrowquaddownarrowquaddownarrowquadquad,\1quad4quad9quad16 ,,cdots$

就人們的常識而言,

自然數的平方數仍是自然數, 這樣自然數平方的集合 $N_1$ 應該是自然數集 $mathbb{N}$ 的一個真子集, 所以 $mathbb{N}$ 中的元素個數應該多於 $N_1$ 中元素的個數.
但從另一方面來說, 每一個自然數都應該存在一個平方數與之對應, 所以 $mathbb{N}$ 與 $N_1$ 中的元素個數應該相等.

這個問題曾使伽利略及其同時代的科學家甚為迷惑, 即使到了微積分建立的年代都是一個棘手的難題, 被後人稱為"伽利略悖論".

要理解這個問題, 我們必須認識到, 當我們將研究的對象拓展時, 一部分曾經適用的性質可能就需要拋棄. "一個集合的真子集元素個數小於集合本身的元素個數"這一性質是在有限集範圍內得出的, 之後我們會證明, 一個無限集必定存在與它元素個數一樣多的真子集.

這樣我們就明白了, 結論(2)是正確的, 不僅如此, 自然數集 $mathbb{N}$ 、整數集 $mathbb{Z}$ 、有理數集 $mathbb{Q}$ 都具有相同的元素個數, 即它們等勢. 但是不是所有的無限集都有相同的元素個數, 實數集 $mathbb{R}$ 的元素個數就遠遠多於自然數集 $mathbb{N}$ .如果說實數集是一片夜幕下的天空, 那麼有理數集只能算是其中的點點繁星.

正文開始:

康托指出: 對應於不同無限集的元素的個數(勢或基數), 有不同的"無窮".

定義設A和B是兩個集合,

如果A和B之間存在雙射, 則稱A與B是對等的, 等勢的, 或具有相同的基數. 記做 $Asim B$ 或 $|A|=|B|$ .
如果A與B的一個子集之間存在雙射, 則稱A的基數小於或等於B的基數, 記做 $|A|leqslant|B|$ ;再如果集合A與集合B之間不存在雙射, 則稱A的基數小於B的基數, 記做 $|A|<|B|$ .
如果無限集與自然數集 $mathbb{N}$ 等勢, 則稱這個集合是可數集. 定義其基數為 $|A|=aleph_0$ (讀作阿列夫零).
稱與自然數集 $mathbb{N}$ 不等勢的無限集為不可數集; 稱有限集和可數集為至多可數集.

顯然, 含有 $nin mathbb{N}$ 個元素的有限集合與自然數集合 ${1,2,cdots,n}$ 等勢, 具有相同基數n.

可驗證以下集合是可數集:

(1)正整數集 $mathbb{N_+}=mathbb{N}setminus{0}$ .

存在映射 $f:mathbb{N_+} omathbb{N}, nmapsto f(n)=n-1$ ,易證明f是一一映射. 所以 $mathbb{N_+}$ 是可數集.

(2)整數集 $mathbb{Z}$ .

按照如下順序排列,

$cdotsquad{-3}quad{-2}quad{-1}quad0quad 1quad 2quad 3quad,cdots\cdotsquad ;uparrowquad uparrowquad uparrowquad uparrowquad uparrowquad uparrowquad,uparrowquad,cdots\cdotsquad 5 quad 3 quad 1quad 0quad 2quad 4quad 6quad cdots$ ,

就得到映射 $f:mathbb{N} omathbb{Z}, nmapsto f(n)=frac{1}{4}[(-1)^n(2n+1)-1]$ .容易證明 $f:mathbb{N} omathbb{Z}$ 是雙射.因此 $mathbb{Z}$ 是可數集.

(3)有理數集 $mathbb{Q}={frac{p}{q};pinmathbb{Z},qinmathbb{N_+},(p,q)=1}$ .

略,Q可數.

由以上例子可見, 無限集合可以與其真子集等勢, 自然數集、整數集和有理數集都是可數集, 在等勢的意義下, 它們所含元素個數一樣多. 事實上, "一個集合是無限集當且僅當它等勢於它的一個真子集".

實數集 $mathbb{R}$ 是不可數集.

若令 $mathbb{R}$ 的基數是 $aleph$ ,則可以證明 $aleph=2^{aleph_0}>aleph$ ,即雖然可數集和實數集均為無限集, 但實數集的基數遠大於可數集. 有一個形象的比喻: 如果將實數集合視為夜幕下的天空, 那麼"代數數猶如鑲嵌在長空夜幕上的點點繁星, 而濃黑的萬里長空則是超越數的蒼穹". 其中 $mathbb{Q}$ 是代數數集合的一個真子集, 而超越數集與 $mathbb{R}$ 具有相同的基數.

康托爾在1878年提出了著名的連續統假設: 不存在一個集合A, 使得 $|mathbb{N}|=aleph_0<|A|<aleph=|mathbb{R}|$ .即存在比實數 $mathbb{R}$ 基數更大的不可數集合, 但不存在介於 $aleph_0$ 與 $aleph$ 之間的基數.但是已證明: 在已有的公理體系中, 既不能證明其成立, 也不能證其不成立.

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已經補充了前言和導引,將於接下來2天內進一步補充修改這個答案的正文, 謝謝!

羨長江之無窮

首先要說明的是無窮（infinite）和無窮大（infinity）是不同的概念。切記不要混淆。

無窮用於描述不能和某個自然數意義映射的集合。（zf集合論中每一個自然數都是一個集合）

而無窮大的理解方式比較多，可以像前面答主那樣從拓撲解釋。但是這樣觀點比較高。

比較初等的解釋方法是，我們定義一個集合R∪｛+∞，-∞｝，並且給這個集合一個順序關係，即+∞大於所有實數，-∞小於所有實數。這樣一個集合稱為廣義實數系，你會發現廣義實數系的任意子集都是會有上界的，這是一個很有用的性質，我們可以以此為基礎定義廣義實數系的拓撲結構，通俗一點說就是定義廣義實數系當中序列的極限，你會發現任意序列都會存在收斂的子列。

無窮大，不是孤獨的。

無窮大，是一個特性。

無窮大，形容一個集合的成員，的特性。

我們說一個數無窮大，可以換個說法，這個數的位數無窮多，再多，也不過是一個自然數不是？

無窮大或者無窮多，是怎麼產生的呢？

產生的原因就是看的角度的問題，低維看高維就容易產生，相反高維看低維，就容易把低維產生的無窮大看成常數。

無窮大是有邊界的。理解了無窮大的邊界，就差不多理解了無窮大了。

不管你多大，我就是比你大……

超限數應該算吧

講個故事（出自《聰明的小牧童》）

一天國王找到小牧童，問：「永恆有多少秒」

牧童回答道:「在遠方有一座鑽石山，這座山巨大無比，翻過去要100年，從這邊繞過去，要100年，每100年就會有一隻鳥來到這裡，用他的嘴啄山，等到整座山都被磨掉的時候，永恆的第一秒才過去。」

這是只要命的鳥兒啊_(′□`」 ∠)_

無限大，差不多吧

時間空間都是無窮大的不存在就是無窮大存在就是有限的

所以

宇宙如果無窮大宇宙是不存在是人的表層意識錯覺

宇宙不是無窮大宇宙是具體存在宇宙是被未知能量創造的

無窮大的數字不是物質的是意識精神的

就像時間一樣不存在的存在

宇宙是無窮大的嗎如果宇宙無窮大宇宙是人意識精神上的存在

宇宙不是無窮大宇宙就是被創造的

無窮大只是一個概念而已，定義是「比誰都大」而不是「大到不能再大」。

而且無窮大並不是一個數字，數字的特性在他身上已經失效了。按照「比誰都大」的概念來看，直白點說應該算是「凌駕於數字之上，無法逾越的高峰」吧。但是，再往上走，就得用完全不同的套路了，不能繼續套「數字」的概念。

例如，通過各種發散的公式，我們獲得了無窮大的概念。但是，要獲得更大的無窮大，傳統的算術就不管用了，得用到冪集的概念，去考慮元素的排列組合，而不只是單個的元素。如此排列到有無限層次的時候就又有了無窮大的無窮大，不管你再怎麼繼續取冪集，甚至再取無窮多次冪集，得到的集也不會變，這時冪集的概念也不管用了，要再往上，恩。。。我編不太下去了。。。但是也許無窮大這個概念已經失效了，無窮大的無窮大的無窮大和無窮大的無窮大是等價的，得要是無窮大的無窮大的無窮大的……總之一直無窮下去，隨便起個名字叫「真·無窮大」（無法通過反覆對勢較低的無窮大套用規則來獲取的新的無窮大）好了（不要吐槽，貌似數學裡用的正式的術語也是很中二的），才能和這個「無窮大的無窮大」區別開來。

貌似傳說中的真·最高境界就是，任何陳述都既真又假了，因為數學是基於確定的規則的，那麼不確定的規則可能就真的超越數學本身了，例如停機悖論什麼的。可是會不會再被超越呢？總之有一點是可以確定的，我們不可能靠將某個概念不斷「元化」來獲得新的概念，必須得提出全新的理念了。但是這一點的正確性也存疑，因為，我們都沒法很好的處理悖論了，又如何得知比悖論更概括的應該是什麼理論呢？

我覺得可以看成一個變數，它的絕對值大於任何正數。

一拳一個時空破碎

一拳一個蟲洞

一拳一個維度破滅