物理學中，加速度能突變嗎？

01-05

題主高中學渣一枚，想到速度既然不能突變(光速除外)，加速度呢
PS.突變定義為在某個t0處加速度關於時間不可導
PPS.至於構造二階不可導勢場是不是違背了基本的環路定理呀

9.13更新:題目存在疏漏，原文暫且保留，感謝馬晨對問題中關於突變和二階不可導勢場的詳細闡釋
回答鏈接馬晨：物理學中，加速度能突變嗎？

不聯繫實際的話，加速度突變，或者更廣義地說不光滑的變化是不被物理學排斥的，因為這樣的模型往往是有用的。像是小球碰撞（加速度突變），無限深方阱（勢場突變），直到量子場論的點相互作用（相互作用只在時空中一點上發生），甚至統計物理中的相變（熱力學函數的某階導數突變），都是突變模型的例子。甚至有些時候，我們要專門把連續變化的量處理成突變的，例如Jackson書上對帶電粒子散射的處理。

但從我了解的方面來講，所有這些突變模型，都只是實際情況的近似。小球碰撞中是形變時間很短的近似；無限深方勢阱是有限但很深的方勢阱的近似；量子場論遇到了發散困難，這意味著它可能只是一個低能近似理論；相變是在粒子數無窮大的極限下產生突變，而真實情況是粒子數很大而有限，這時不發生突變。所以從我的理解來看，任何實驗可測的物理量，都不應該發生突變。

簡單來說，突變或許是不真實的，但卻是有用的。

PS：加速度在某時不可導，不一定發生突變，突變這個條件至少是強於不連續的。

PPS：環路定理不是什麼基本定理，只是保守場的規律之一，不是所有場都要滿足的。二階不可導勢場沒什麼奇怪的，方勢阱方勢壘這樣的東西甚至不連續，照樣用途很廣；有點電荷存在的靜電場，在電荷的那一點，電場強度一階不可導，電勢二階不可導，但是這個場是最常見、最基本的場；這個靜電場的例子也說明了，二階不可導的勢場與環路定理沒有矛盾。

實驗不能證偽這個問題。

任何物理量的測量都有誤差，你無法從實驗角度獲得絕對精準的s(t)或v(t)或a(t)函數。

你認為這些函數可以取任意幾乎處處連續函數、任意連續函數，或者必須無窮可微，並不能通過實驗區分。

給定一個幾乎處處連續函數，總可以寫出一個無窮可微函數與之充分接近。

甚至，只考慮有限個點，你可以讓任何函數跟多項式充分接近。

就日常生活和中學乃至一般大學的應用來看，認為位置連續就行，其它的無所謂。

但很多問題為了方便，只考慮無窮可微函數，似乎也沒有太大問題。

物理上的所有東西不都是無窮階可導的嗎？突變什麼的，太邪惡了！

認真一點：如果你意識到加速度這個概念在量子力學就失去了意義，同時力這個概念實際上也是一種近似（宏觀低速），你就應該知道你不加外界條件討論這個命題是沒有意義的。

手推木塊的力是突變的嗎？不是，它的特徵時間是肌肉發力的時間。但是如果你考慮的是以十秒為單位的物理現象，它就是突變的。

用鎚子敲釘子的力是突變的嗎？不是，它的特徵時間是鎚子和釘子產生形變數的時間。但是如果你考慮的是以秒為單位的物理現象，它就是突變的。

再往微觀高速來想，兩個質子的碰撞中力是突變的嗎？先不管是不是突變的，這時候力的定義都已經模糊不清了。

所以你必須先給定一個時間解析度，才能討論這樣的問題。

PS：我開頭那句話只是調侃一下：物理學家總是認為物理學的函數「具有很好的性質」，並不是認真的。

不可以，位移是無窮階可導的。

三階導叫 jerk，四階叫 snap，然後是 crackle, pop, lock, drop, shot 和 put。。。後幾個永遠用不到。。。

補充一下，我這個回答沒有解釋為什麼位移要無窮階可導。我的知識水平沒有辦法精確解釋，只能從力的突變的角度說個大概其。

如果只討論力的相互作用能否突變，我認為是不能的。日常生活所有的力的作用全都是電磁作用，比如你打我一拳，是你皮膚表面的分子里電子和原子核產生的電磁場在排斥我衣服表面分子里產生的電磁場。場本身是一種瀰漫在空間中、連續且無窮階可導的，所以任何情況下電磁力的作用都是漸變不可突變的。同理引力場也是如此。另外兩種力我沒學過，不過應該差異不大。

牛頓的經典時空觀是允許力突變的，但是會因此產生很多 bug，比如碰撞無法計算。所以為了解決這個情況引入了衝量。衝量可以跳過對物體結構碰撞的分析直接求出結果。

根據牛頓第二定律 ${f F}=mf a$ ，要想使物體加速度突變 $Δf a$ ，只要瞬間給物體增加或撤去一些外力 $Δf F$ 即可。這是大家中學物理中都默認的假設。

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但是，上述僅僅是一種相當理想的情況。畢竟，真實世界中並沒有絕對剛體，沒有超距作用，能量總是連續傳遞的，物質的形變總需要時間，儘管這個時間十分微小。所謂的「瞬時」，本質上也是連續的過程可以忽略不計，並且不會帶來很大的誤差罷了。

事實上，根據牛頓第二定律，物體的合外力

${f F}=m{f a}=m frac{ m df v} {{ m d} t} oxed{=frac{{ m d} (m{f v})} {{ m d} t}=frac { m d f p}{{ m d} t}}$ 。

既然速度 $f v$ 不能突變，那麼力 $f F$ 又怎能突變呢？

由此可見，力並不是一個很本質的力學概念，所謂的力，其實就是物體的動量 $f p$ 對時間 $t$ 的一階導數。

若是按照這個觀點的話，大名鼎鼎的牛頓第二定律或許應該表述成如下形式：

$oxed{frac{ m d}{{ m d} t}(m{f v})=mfrac{{ m d}^2 f x}{{ m d}t^2}.}$

用文字解釋，就是：質量與速度乘積（即動量的定義）對時間的一階導數，等於質量乘位移對時間的二階導數。

加個前提，楊氏模量不為無窮

經典力學中，力的定義是動量對時間的導數，所以不會突變

既然貼了高中物理的標籤，那就不需要考慮現實情況和高等數學中的表述。因為F=ma，F可以突變，a當然可以突變了。

只想說，任何一個函數你隨便求導，但是對位移求那麼多次導數有什麼意義？速度，加速度，加加速度，加加加速度，加加加加速度？有卵用？那些說什麼求導的，有沒有關心你說的有啥意義？不知道是想找存在感還是學的走火入魔。

加速度當然可以突變，不妨在做題的時候看看vt圖像的轉折點，那不都是加速度突變么？

如果是現實生活，想一想在坐車的時候，司機喜歡踹油門，當你和車速度相同的那一瞬間，你這個過程是一個啥感覺呢？

咦，這麼多回答了還沒有人提光帆呀？

光帆（太陽帆）的原理是反射光子來加速喔。

由於光子是一個一個的，可以認為光帆在光子反彈的瞬間速度突變了。當然，測量又是一個不同的問題。此外，動量在機械內部的傳遞又是一個不同的問題。。。

但是在實踐意義上，可以認為光帆是一個速度隨著光子突變的系統。特別是光子稀疏（離恆星遙遠）時，這個問題或許有實際意義。

太陽帆（也稱為光帆，特別是它使用來自於太陽以外的光源時）是使用巨大的薄膜鏡片，以太陽的輻射壓做為太空船推進力的一種計劃。輻射壓不僅非常小，而且與太陽距離的平方成反比，但不同於火箭的是，太陽帆不需要燃料。推進力雖然很小，但是只要太陽繼續照耀著，太陽帆就能繼續運作。

詳見維基： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%AA%E9%98%B3%E5%B8%86

經典力學告訴我們不可以

量子力學告訴我們可以

如果問到底可不可以

我們只能說不知道

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補充一下，我指的是萊布尼茲的絕對的連續思想和普朗克的量子化的離散思想，是力學背後的理念而不是僅僅力學本身。

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補充兩下，很多人拿理想模型說事，我覺得這並不能說明問題。比如碰撞，並沒有絕對的剛體，兩個物體接觸瞬間沒有彈力，而是在很短的時間內繼續運動而使彈力逐漸增大。

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補充三下，題主的突變，就是問的細節，簡化模型並不能說明被簡化的細節不存在。

真累，回答個問題還得頂著被罵民科的風險。

當然可以了。你手握一個雞蛋，雞蛋加速度是0，你突然鬆手，雞蛋加速度是10m/s^2

一個帶電粒子進入不同強度的恆定電場就可以了啊。

實際上這個模型在TEM里就會有。

有人好像用級數做分析。大佬。想得很細。實際上大多數物理模型不需要考慮相對論情況。當然你要搞這個，努力考上勃學欽點的前三本再說了。

可以。

高中階段可以

不能。即使在經典力學裡面也不能。不過和什麼位移無窮可導沒關係，而且這說法聞所未聞……

帶電粒子在加速運動的時候會產生一個正比於加加速度（da/dt）的力，如果加速度突變，那麼這個力，或者是相對應的質量就爆炸叻。

這個力可以通過電動力學推出，是電動課堂上會提到的東西，詳情請參見Abraham-Lorentz force。這個效應曾被（錯誤地）用來解釋電子自能。滿足相對論和量子力學的版本也有，可以參見維基頁面。

速度，加速度，加加速度，。。。。。都可以突變的。這裡面設計無窮階導數的問題。用圖像語言來說，x代表位移，t代表時間，k是常數，想像 $x=kt$ ，就是恆定速度， $x=kt^2$ 就是恆定加速度， $x=kt^3$ 就是恆定加加速度，。。。。。。如此下去，任何速度，加速度，。。。。都是可以突變的。不過感覺你「突變」的定義有些模糊，你該仔細說明突變的含義。我是按照我理解的來說的，你的突變的含義是 $v+l$ , $a+o$ ,等等。