為什麼不能找到一個從屬於本身的集合？

Why we cannot find a set A such that A belongs to A?

如何證明 A屬於A 是錯的？

我其實是想證明

forall x left( x
otin x
ight)

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利用正則公理：?x(x≠?→?y(y∈x ∧ x∩y=?))

假設x∈x

構造集合{x}

則x∈x∩{x}

則x∩{x}不空

與正則公理矛盾

故不存在x，使得x∈x

習題：

證明：不存在集合x,y使得x∈y且y∈x

大多數集合論都是有正則公理的，比如說ZF(ZFC)，NBG(裡面的是類的正則公理，而集合要證明不存在x x屬於x又是另外的公理了）

可以稍微地說下正則公理是怎麼來的。（以下是我的臆測，就當作是民數好了）

其實這個問題歸結起來就是「超集合」問題。

什麼是超集合問題呢？

就是問，是否存在一個無窮集合的序列：

……x3∈x2∈x1∈x0

例：

……x∈x∈x

……x∈y∈x∈y

數學家是不想承認這種無法構造的集合的。

於是就說這種集合序列不存在，

或是說對於所有這種集合的序列，有最大元xn。

正則公理揭示了從屬關係更本質的性質：集合是有層次的。

（我們知道，集合論里的集合是由空集和「括弧」一層一層構造出來的，多一層括弧就高「一個等級」）

但是這種公理在形式化語言中更難表達，用起來或許會更麻煩。所以一般採用另一個表述：

?x(x≠?→?y(y∈x ∧ x∩y=?))

可以不嚴謹地說明下

x∈y，就說明了x比y低一個層次。

y里必須就必須有比y更「低級」的東西，也就是存在x至少比y「少一層括弧」，於是就有x∩y=?了

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其實這是因為羅素悖論。

為了跟其他答主不一樣，我就說一下為啥要存在正則公理。

如果正則公理不存在，那麼我們對於任意集合，他們可以包含自己或者不包含自己。

那麼，我們可以建立一個集合 ，也就是說，A 是由不包含自身的集合組成的。

於是問題就顯而易見了，A 包含不包含自己：

• 如果 A 包含自己，則 A 是包含自己的集合，則 A 不應該包含自己
• 如果 A 不包含自己，則 A 不是包含自己的集合，則 A 應該包含自己

這就是羅素悖論。

於是數學家們只有兩種選擇：

1. 集合不能包含自己。
2. 集合必須包含自己。

顯然 （1） 更加簡潔，而且兩個公理體系同構。於是。。。

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