數學公式與定理是否屬於哲學認識論（Epistemology）意義上的"新的知識"？

01-05

純數學本身是否就是一個分析命題的集合？
就如「單身漢是未婚的男人」（"A bachelor is an unmarried man"）這樣的分析命題，純數學的根基也是「1+1=2」「三角形有三個邊」此類對某種運算的最簡的人為定義。
在此基礎上發展出的一系列數學公式與推理（如「2^2 * 2^3 = 2^5」「三角形內角和等於180°」），【在我看來】，也全部都是包含在對數字和計算的定義中的，並不能提供給我們超過我們對其人為定義的任何新知識。
請問是否如此？

啊。喵。

有人以為題主的問題僅僅是一個關於數學的問題，所以很多數學專業的孩子們就直接高潮了，問題在於這個問題和數學沒什麼特定的聯繫，或許這算得上是一個關於形式主義的問題，或者關於某種邏輯主義的問題。

不嚴格地說，任何遭受到形式化的當代學科，以及未來可能的社會科學（畢竟當代社會科學的形式化程度還不夠），都會面臨相同的問題。因此這個問題並不值得數學專業的孩子們特別高潮。（事實上數學問題和科學問題在很多時候是平行的。另一個例子是：我們對於數學有實在論問題，我們對於科學也有實在論問題。）只要我們將一個學科進行了形式化，在學科內部進行推理的時候都僅僅是邏輯推理，因此如果我們接受這些形式化的學科內公理，那麼當我們在進行學科內推理的時候似乎我們僅僅是在做邏輯，做分析。公理和推理規則的有效性或許和經驗有聯繫，但是，在應用這些東西的時候缺和經驗沒有聯繫——這似乎是非常荒謬的事情。當然一個平行性的論證並沒有那麼粗糙，但是大體上的感覺希望你們能自己體會一下。

事實上這種極端的「分析主義」在歷史上並不是沒有過，康德之前有不少哲學家持有過這種觀點（甚至包括前批判時期的康德）：判斷（judgement）就是將概念（concept）結合（combine）在一起，而這种放的方式只有一種，就是包含（containment，注意這個地方並不是外延上的包含關係，下文有解釋）。更進一步，真判斷就是那些謂詞包含在主詞中的判斷，而假判斷就是謂詞不包含在主詞中（因此與主詞矛盾？）的判斷。因此所有判斷都是分析的——真判斷分析地真，假判斷分析地假。

於是我們要從分析性開始談論。

康德的概念結構

從技術的角度上來說，我們要首先明白康德在定義的分析性的時候是怎麼操作的，然後才能看弗雷格以及當代的分析哲學是如何延續（或者曲解）了康德的想法。

簡單來說，康德將分析的判斷定義為「謂詞包含在主詞中」。這有兩個問題：

不是主謂結構的命題怎麼辦？
「包含」是什麼意思？

對於第一個問題，有人認為邏輯排中律（ $phivee egphi$ ）並不是分析的，而是先天綜合判斷，這是一個很有趣的話題，但是我暫時不想觸碰。（光這一點就會牽扯到康德的直覺主義立場到底有多直覺主義，以及邏輯到底應該有多大這種問題。）我這裡想試圖針對第二個問題做一些澄清。

在康德的語境下，一個概念具有若干的標識（mark，或者 differentia，但是我傾向於前者，因為後者似乎無法用來指 species 所屬的那個 genus，並且按照某人的吐槽，並不是所有 species - genus 結構的概念劃分都能找到對應的 differentia），比如說「狗」具有「動物」這一標識——從這個意義上來說，「動物」這一標識被包含在了「狗」中。因此「狗是動物」是分析命題。

一些術語：

一個 species 是通過 genus 加上 differentia 共同決定的，後兩者同時都是前者的標識。我們也可以說 differentia 從一個 genus 中標識出（mark off）了某個 species。
一個 genus 被包含在了它所誘導出的 species concept 之中（be contained in）；而這若干個 species concept 則包含在了對應的 genus 之下（be contained under）。
一個概念的內容（content）則是它之中的那些概念；而外延（extension）則是落在其下的那些概念。注意了，這裡的外延不是滿足概念的個體，依然是概念！

一點合理的推論：

一個概念不能作為自身的標識，當我們在說「狗是狗」的時候，我們表達的東西和「狗是動物」不同。作為等同的「是」和作為歸屬的「是」是不同的。因此「標識」所對應的「是」關係具有禁自反性（irreflexivity）。（當然，這一條就算存疑也沒關係，無非就是從嚴格偏序變成不嚴格偏序罷了，另外需要把下面的 asymmetricity 修改成 antisymmectry）
標識的概念是傳遞的。如果「動物」是「狗」的標識，並且「生物」是「動物」的標識，那麼「生物」也應當是「狗」的標識。
作為前兩條的推論，一個概念不能同時是其標識的標識。即有禁對稱性（asymmetricity）。
通過標識所建立的內容可以視作是內涵集合（？），因此其建立的序結構和對應的外延（按照當代邏輯學中常用的理解方式）關係對應的序結構剛好是相反的：因為「動物」這一標識落在「狗」的概念之中，因此 {x : x 是動物} 包含了 {x : x 是狗}。

顯然如上結構是一個偏序結構，更進一步，還是一個樹狀結構。

可以認為，這種概念系統可以建立在某種傳統的亞里士多德式的 genus - species 劃分之上。一個 genus 被窮竭地分割為若干個不相交的 species。這個概念結構本身應當是很清楚的，要說問題的話，它最大的問題就是，其傳統模型依賴於某種 Great Chain of Being，但是這東西現在已經沒人信了。

在當代的語境下，顯然我們對於一個 genus 如何劃分成若干個 species 是有限制的。畢竟，給定一個集合，我們可以隨便給出一堆劃分方式。

比如說對於集合 {1,2,3}，到底是分成：

{1,2} 和 {3}；還是
{1} 和 {2,3}（這可能是一種自然的劃分方式，此處的種差（differentia）可以是素性（primeness））；還是
{1,3} 和 {2}（這可能是另一個自然的劃分方式，根據偶性（evenness），或者說能否被 2 整除）；還是
{1} 和 {2} 和 {3}
……

需要注意的是，我這個舉例並沒有嚴格遵照康德的思路，畢竟對於康德來說，即便是概念的外延（extension）也不是它適用的那些個體，而是其下包含的概念（比如「狗」在「動物」的外延中）。顯然直觀上來說其中有一些分類標準是自然的，另一些是不自然的。問題就在於自然性到底是個什麼鬼？（或者說，當代生物學採用的那套分類標準得到的樹狀圖譜是否意味著某個生物屬於哪個屬或者哪個目是完全分析的？）

康德的包含概念下算術命題的綜合性

比如說在考慮「5+7=12」的時候，如果我們將前者（5+7）看作是主詞，而後者（12）看作謂詞，那麼我們無法建立一個像上面所說的概念層級，無論我們認為是前者落入到後者之下還是後者落入到前者之下。一個簡單的闡釋如下，如果存在這樣一個層級，那麼這個次序結構都必定和「6+6=12」所產生的層級關係是相同的。根據不交性，其中一個方向顯然是不可能的。更進一步，如果「6+6」和「5+7」同時落在「12」之下，那麼它們要麼是相同的，要麼是不同且不交的。這更進一步會導致另一些問題。

當我們在謂詞邏輯中談論 5+7=12 的時候，我們要不然是說這是一個 f(a,b)=c 形式的東西，要不然是一個 R(a,b,c) 形式的東西，當然前者是後者的特例（但是這個地方並沒有那麼平凡，尤其是在哲學的意義上來說，後面有提到），我們實際上可以不要函數，只要關係。但是顯然，如果是一個三元關係的話，我們所處理的這三個東西並沒有辦法放在概念樹中，因為包含關係是一個二元關係。因此我們必須要將 5+7 視作一個整體，而要將 12 視作另一個整體。為了討論方便，不妨看看 1+1=2 這個例子。在這個簡單的例子中，我們要解釋這樣一些事情：

「1+1」和「1」是什麼關係？
「1+1」和「2」是什麼關係？
「1」和「2」是什麼關係？

從問題 3 開始考慮：

如果我們認為「1」和「2」之間的關係是互斥的並列，比如說兩者同時落在「自然數」這個概念之下，並且通過某種性質來作為 differentia 去區分，不妨分別稱為一性和二性（即「1」=「自然數」+一性；「2」=「自然數」+二性）那麼我們就要考慮「1+1」這個概念整體要放在哪裡。（當然也不一定是這樣的情況，我們可以假定自然數本身可以分為若干個子類，而「1」是其中一個子類，但是「2」落在另外某個子類之下，或者反過來：「1」的層次比「2」要更低一些。只要它們之間沒有相互包含關係就行了）顯然我們會說，「1+1」中含有「1」，於是我們就要考慮這個含有是一個什麼意義上的含有。也就是說這個含有到底是 in 還是 under。

「1+1」包含在「1」之中。「1+1」是大概念，「1」是小概念。好，暫時沒問題，但是用相同的說法，「2+1」中含有「2」和「1」。層級關係沒亂，但是不交的關係亂了：「1」同時有兩個上位概念，並且我們不覺得「2+1」和「1+1」之間能有什麼包含關係。
「1+1」包含在「1」之下。「1+1」是小概念，「1」是大概念，那好，「1+1」在「1」之下，沒問題，但是「2-1」同時在「2」和「1」之下？不交性被破壞了。
「1+1」等同於「1」。那麼「2+1」要同時等同於「1」和「2」？
「1+1」等同於「2」，而和「1」沒有任何關係。這看上去是最有希望的，也是某種弗雷格外延主義的形式（畢竟他認為 S(a+b)=a+Sb 是定義，而定義的替換，2 = S(1) = S(1+0) = 1+S0 = 1+1 導出的東西是分析的），問題是，這個等同完全沒有辦法解釋「1+1」和「1」之間的關係，因為「1」和「2」是完全互斥的，因此「1+1」這個概念複合體具有二性而沒有一性，這就使得這個概念複合體沒有辦法更進一步分解了，否則我們就要解釋「1+1」和從其分解出來的「1」是什麼關係。你覺得這種不可分解性很自然？你的意思是「(8235+284/(57-6872))*6123987」也是一個沒有辦法分解的概念？你特么逗我？內涵性在這個地方完全地被丟掉了。

「1」和「2」之間的關係是包含。

假設是「1」落在「2」之下，即「2」在「1」之中。然後考慮「3」。一種很自然的想法是把「3」排在「2」之上，「4」在「3」之上……但是這意味著我們在把握簡簡單單的「1」這個概念的時候，要同時把握它所有的標識——「2」、「3」、「4」、「5」、……這他媽怎麼可能？我們有限的心靈根本就沒有辦法把握一個裝有無窮多個標識的概念。而且傳遞性會導致某些不應該相等的表達式之間有相等關係。
假設「2」落在「1」之下，這個鏈條是無窮下降的，理解「1」倒是沒有問題了，但是你需要安置「1+1」的位置。「1+1」的位置就算沒問題，「2+1」的位置也立刻有問題了，只要「2+1」的位置在「2」之下，這就會使得「2+1 是 2」和「2+1 是 1」都構成分析命題，問題是「2+1 是 3」啊！我們要如何使得「2+1 是 3」為真而「2+1 是 2」為假呢？

因此，對於康德來說，數學概念，至少樸素的算術概念之間唯一可能的結構至多只能是一種交叉的網狀結構，而不可能是一種滿足概念劃分要求的樹狀的結構。這就意味著數學判斷，除了單純的等同判斷之外，不可能是分析的。（事實上，即便我們考慮的是一元運算而不是二元運算，如果我們認定算符 f 本身也有概念內容，那麼無論如何 f(a)=b 式的東西也不會是分析的。原因同上——別忘了上述討論中沒涉及到加號。）

至於 a=a 是不是分析的，這實際上有兩種解釋：

認為包含關係是等於和包含的混合；
認為分析性是包含和這類等同的混合，但是基本上都是把這個囊括進去了。

需要注意的是，按照康德在純批中的討論，如果認為分析判斷是澄清的，那麼顯然 a=a 這類命題並沒有起到澄清 a 的作用，因此甚至連分析的都未必算得上，因此這裡顯然是可以爭論的，至於怎麼爭論我也不是很感興趣。畢竟康德似乎一開始就沒有想對所有命題定義分析性。

一點三段論

可以認為，康德的分析性是一種對於當時的邏輯的應用。當然他更加關注的是三段論邏輯的一個片段：通過 A 和 E 命題組成的有效三段論。（關於三段論，參考：亞里士多德的三段論能否完全用謂詞演算推導出來？）也就是這幾種情況： 1-AAA，1-EAE，2-EAE，2-AEE，4-AEE。

1-AAA 說的是種屬關係的傳遞性。一個 species 是其 genus 的 genus 的 species。
1-EAE 和 2-EAE 說的是種屬關係的排斥性。一個 species 所在的 genus 如果和另一個東西（比如說另一個 genus）相斥，那麼自然這個 species 也是如此。（1 和 2 的區別是大前提中 P 和 M 的順序是 M_P 還是 P_M，但是 PEM 和 MEP 是一個意思。）
2-AEE，4-AEE 同樣也在說排斥性。如果一個 genus 和某個東西相斥，那麼它也和這個東西的所有 species 相斥。（2 和 4 的區別是小前提中 S 和 M 的順序是 S_M 還是 M_S，但是 SEM 和 MES 是一個意思。）

當然，這僅僅是一般的推理模式。如果額外考慮到對於一個 genus 的兩個 species，比如 S 和 S"， SES" 成立，那麼能推出來的東西就更多了。這裡不討論 I 和 O 的原因是 I 和 O 本身都是存在命題，因此涉及了本體論預設——這種東西是邏輯沒有辦法告訴我們的。或者說，這種東西是分析不出來的。因此自然那些依賴於某個項非空才有效的三段論就不必考慮了。而就算很多有效的格式不依賴於概念非空，但是由於前提中已經包含了這種存在性預設，因此這種前提從邏輯的角度是得不出的，在概念分析的時候也不必考慮。比如說 1-AII 說：

如果所有的 M 都是 P 並且存在 S 是 M，那麼存在 S 是 P。

這毫無疑問是有效的，結論的存在性來源於前提的存在性，但是在概念分析的時候，我們要如何通過概念分析分析出小前提呢？這是分析不出來的——甚至不能從所有 S 是 M 推出來。最簡單的例子就是「所有獨角獸都是獨角的動物」，但是你不能說「存在獨角獸，它是獨角的動物」。

我認為存在性從某種意義上來說是更本質的東西。

當代邏輯與當代算術

囿於康德時期的邏輯工具，他只能將概念分析做到這個地步，剩下的，不屬於概念本身的部分，必定都需要從概念之外來，而在他的哲學體系下，這些內容就需要來自於直觀。

問題在於，當代邏輯中，我們似乎可以用邏輯語言把這一切都說出來。邏輯拓展了，分析性是否也要拓展呢？比如Peano axioms是這樣定義算術的：

0 is a natural number. $0:mathbb{N}$
For every natural number n, S(n) is a natural number. $cfrac{n:mathbb{N}}{S(n):mathbb{N}}$
For all natural numbers m and n, m = n if and only if S(m) = S(n). $cfrac{m=n:mathbb{N}}{S(m)=S(n):mathbb{N}}$ $cfrac{S(m)=S(n):mathbb{N}}{m=n:mathbb{N}}$
For every natural number n, S(n) = 0 is false. $S(n) ot= 0:mathbb{N}$
If K is a set such that (1) 0 is in K, and (2) for every natural number n, n being in K implies that S(n) is in K, then K contains every natural number. $cfrac{egin{matrix}quad \quad \ 0:K end{matrix}quad egin{matrix} [n:K] \ vdots \S(n):K end{matrix}}{K=mathbb{N}:Set}$

更進一步，對於加法來說，我們只需要兩條公理：

For every natural number a, a+0 := a.
For every natural number a,b, a+S(b) := S(a+b).

這些話都可以用一階邏輯說，但是康德卻沒有辦法用三段論說這些話。因此現代邏輯學家們可能會說：康德覺得這不是分析的，但是顯然這僅僅是你的邏輯範式有問題，我們的範式沒問題，這些都是邏輯上能說的東西。

在認同這一點的基礎上，如果依然要保持某種康德式的不滿，勢必需要在另一個問題上動手腳——存在性。否則，我們容易陷入到某種羅素主義的輕視中，認為康德僅僅是缺乏恰當的工具，而喪失了同情理解康德的可能性，也一併忽略了康德在數學哲學方面的洞見。

但是在此之前，還是先看看弗雷格大概是如何把算術作成分析的。

弗雷格的分析性與算術

對於弗雷格來說，算術命題是分析的，這一點和康德截然不同，但是這種分析性本身不再是按照康德式的定義，而是用邏輯真和同義項替換來定義的。

對於康德來說，「單身漢是未婚的」是分析的是因為「單身漢」包含了標識「未婚」和「男性」。

對於弗雷格來說，這是因為「單身漢」和「未婚男性」是同義的，並且「未婚男性是未婚的」是一個邏輯重言式（具有 $forall x((Pxwedge Qx) o Px)$ 的形式），因此經過同義替換之後得到的「單身漢是未婚的」是分析的。

要把算術問題說清楚，首先要說清楚的是等號。在弗雷格著名的《涵義與指稱》一文中，他提出等於符號標出來的相等關係並不是名稱上的關係——顯然這能解釋為什麼 a=a，但是這不能解釋為什麼會有 a=b 的情況。同理，等號標出來的也不是內涵上的相等，顯然在考慮命題晨星是暮星的時候，我們並不是說這兩個詞的涵義是相同的。等號標註出來的東西是外延上的相等。正是因為這樣，我們才能有不平凡的等同關係，否則我們的等同關係就只能是平凡的。

麻煩的地方在於，在面對數學的時候，涵義很容易和指稱混淆在一起。對於經驗對象，確定指稱的方法僅僅是決定指稱的步驟的一半，剩下的事情取決於事實到底是否是如此這般。但是對於數學命題來說，取決於世界的那一半消失了。當我們說一個數學對象等於另一個數學對象的時候，這到底是在說什麼？顯然如果我們拒絕一種狂放的柏拉圖主義（即認為有一個理想的數學世界，就像是物理世界一樣，我們做完確定數學對象的指稱工作僅僅是完成了一半，剩下的事情由這個理想世界中的「事實」或者「規律」決定），那麼我們就需要謹慎地對待數學對象這樣地詞，我們不能認為數學對象地名稱真的像日常專名指向日常對象那樣指向數學對象，這就使得我們的等於關係可能會快速滑向另一個極端：相等不再是對象上的相等，或者不僅僅是對象上的相等（因為數學概念不指稱任何對象），而是涵義上的相等；又或者說，因為我們沒有辦法理解獨立存在的數學對象，如果硬是要說對象上的相等，那麼我們就只能說，對象上的相等就是涵義上的相等，因為再沒有別的東西了。事實上這在弗雷格的哲學框架下很容易滑過去。

於是，要說明一個算術等式是分析的，我們只需要說明等號左右兩邊的東西同義就行了。考慮具體的加法問題，比如說 3+2 = 5，考慮如下推演步驟：

注意到 2 := SS0，3 := SSS0，5 := SSSSS0，
3+2 = SSS0 + SS0 = S(SSS0+S0) = SS(SSS0+0) = SSSSS0 = 5，
因此， 3+2 = 5。

這裡面只用到了如下三種形式的東西：

n := S…S0;
a+0 := a
a+S(b) := S(a+b)

按照弗雷格式的主張來說，定義符「:=」左右兩邊的東西顯然是同義的，為什麼？因為定義符左邊的東西是未定義的，而定義符右邊的東西是已經定義的。根據前面的分析，既然等號本身是一種外延上的相等，那麼這無非就是說，在讀形如 a := b 的語句的時候，我們應該將其讀作：想要知道如何確定 a 的指稱，看 b 的指稱是如何確定的。

如果我們進一步加上「涵義就是確定指稱的唯一方式」，那麼我們自然就知道確定 a 的指稱的方式和確定 b 的指稱的方式是完全相同的。再加上涵義的組合性原則（這也是一個非常有趣的點，弗雷格不認為函項的涵義依然是函項，而認為這裡面是一種組合），我們就很容易通過同義替換得到很多奇怪的所謂涵義相同的東西。正如上面所做的那樣。我們因為知道 2 和 3 寫成 S…S0 是什麼樣的，因此我們直接將 2+3 替換成了對應的 S…S0+S…S0 的形式。而根據遞歸定義，我們並不知道 SSS0 + SS0 是什麼東西，我們只能將其轉化成一個我們可能知道的形式，即 S(SSS0+S0)，然後再對裡面的 SSS0+S0 用一次相同的操作得到 S(SSS0+0)，而其中的 SSS0+0 就是 SSS0，因此我們尋找完了我們所需要的所有實例，而只需要將這些等同的部件一一替換回去，就最終得到了我們需要的結果。看，都是同義替換。沒別的東西了。

問題在於，如果 a 和 b 都是單純的名字（沒有任何涵義的名字）也就算了，但是很多時候我們可能會是在用一個表達式來定義一個名字，比如說定義 1 := S(0) ，或者對一個運算進行遞歸定義，比如說定義 a+S(b) := S(a+b)。這個時候我們到底能不能說「:=」左右兩邊的東西含義相同？顯然指稱相同這一點上沒有分歧，但是涵義相同這一點呢？就實際情況而言，我們只需要約定它們指稱相同就能保證我們的數學正常工作了，它們的涵義相同不在約定的範圍之內，但是上面的推理告訴我們，「涵義相同」可以通過「涵義就是確定指稱的唯一方式」這一點推出來。這個結論如果過強了，是否意味著「涵義就是確定指稱的唯一方式」是錯的，但是就算這是錯的，具體又是怎麼個情況呢？

存在性如何從中作梗

按照一種樸素的康德式的做法，算術的分析性很容易從一開始就被毀掉。算術公理中包含了一個存在命題：0 是自然數。這個命題是單純從邏輯得不到的，因此算術不是分析的。遊戲結束。

問題在於，邏輯學家或者數學家在這個時候會用一些技術手段來規避這個問題，為了方便起見，舉一個集合論的例子來闡述這種技術手段是如何工作的。

在公理集合論中我們有一條公理：

存在一個集合 x，對於任意的集合 y，y 不屬於 x。

這句話保證了我們可以使用空集符號「 $emptyset$ 」。

問題在於，即便我們沒有這個公理，我們依舊可以使用空集符號。我們可以有一個不對空集存在與否作出任何本體論承諾版本的集合論。然而這個集合論的形式和我們平常的集合論是完全相同的，甚至在其中我們依舊可以正常使用空集符號，唯一的區別是這個空集符號不直接讀作空集。

比如說我們說了一個命題，這個命題中包含了空集符號，於是我們將其記作 $varphi(emptyset)$ 。

在正常的讀法中，我們將其讀作：空集滿足公式 $varphi(x)$
在不做本體論承諾的讀法中，我們將其讀作：如果存在一個集合 x，對於任意的 y，y 不屬於 x，那麼這個 x 滿足公式 $varphi(x)$ 。注意這個地方的樸素形式化（ $(exists xforall y (y otin x)) o varphi(x)$ ）實際上是非法的，因為條件句後件中的 x 不受到前件中量詞 $exists x$ 的約束，因此實際上我們需要將這個句子整理成如下情況：對於任意的 x，對於任意的 y，如果 y 不屬於 x，那麼 x 滿足公式 $varphi(x)$ 。

採取第二種理解的話，我們沒有對空集作出本體論承諾，但是卻依舊有著相同的定理和推理模式。因此如果我們僅僅是淺淺地攻擊一下 0 的存在性的話，那麼形式主義者們只需要類似地說 0 僅僅是一個符號罷了，我們並不對其作出任何本體論承諾就 OK 了，算術命題依舊是分析的。

這就迫使我們不能盯著這麼一小個地方進行攻擊，事實上，當康德在攻擊萊布尼茲的時候，重點並不是 0 的存在性，而是這樣一個地方：

當我們在用 2 := 1+1 定義 2 的時候，我們只承認這個地方左右兩邊概念的指稱是相同的，而拒絕承認左右兩邊的概念的涵義是相同的。按照康德的說法，「1+1」並不是一種作為「2」的方式，「1+1」是一種產生，或者說製造「2」的方式。然而這種說法本身似乎還是有點過於隱喻了。這個東西放到現代來看，就有了三個可以斷裂的地方，我們到底是要拒絕如下哪組命題的分析性呢？

2 := SS0，1 := S0
S0+0 := S0
S0+S0 := S(S0+0)

看上去每一組都很自然。誠然，如果是 2=1+1 的話，的確顯得有些唐突，但是如果拆成這三步的話，那麼每一步似乎都沒什麼問題。用 S…S0 寫阿拉伯數字僅僅是一種符號上的簡寫，這是完全的定義，而後兩者又是加號的定義，如果一個人拒絕後面兩個命題的話，那麼他就沒有理解加法是怎麼回事——這說起來似乎也很合理。我們甚至可以將分析性拓展為一種主謂結構之上的包含關係，即採納如下主張：

一個簡單句是分析的，如果它的涵義被完全的包含在了它的某些構成項目中。

他們喜歡的例子是：

People walk with those with whom they stroll.

這句話的狡詐的地方在於，即便實際上賓語是空的也沒關係，因為 with nobody they stroll 也是沒問題的（雖然我不確定語法上是否有問題，但是概念上是沒問題的）。而按照前面的主張，這句話的涵義被包括在了「walk with」之中。

於是按照我個人的觀點，在處理「1+1=2」的時候應該退一步想。S 這個算符本身就有問題。真正的問題在存在命題和函數符號上。

我們都知道，在一階邏輯裡面，一個 n 元函數可以用一個 n+1 元關係來刻畫，因此函數就是關係，關係是函數的一般形式。然而這種想法在這裡卻容易陷入過於簡化問題的危險境地之中。的確一個 n 元函數就是一個 n+1 元關係，但是函數作為函數是有限制條件的。

比如說 $mathbb{N} imes mathbb{N}$ 上的二元關係 R(x,y)，要將其變成一個一元函數 y=f(x)，需要如下限制：

對於任意自然數 x，有且僅有一個 y 使得 R(x,y)。

這是一個存在論斷，而且是一個很強的存在論斷——對於論語中的每個元素都要有對應的東西與之對應——這已經不是空集符號那種一個架空就能解決的問題了，如果你要架空式的理解，你要對於每個 x，都給一個架空的 f(x)。於是這個存在論斷本身是值得懷疑的——當然不是數學證明那種意義上的懷疑它是不是證錯了之類的。而是說，我們在思考一個運算元和一個對象的時候，我們考慮的是這個運算元作用在這個對象上，但是我們真的考慮了運算的結果么？

這裡需要注意一件事情，作為非邏輯符號本身，無論是 f 還是 c 還是 R，這些符號是否有所指（f 指向函數，c 指向個體，R 指向關係），都是值得懷疑的。問題在於，R 在使用的過程中不一定直接涉及到滿足性質的對象的存在性論述，比如說「（對於任意的 x,y：）xRy 蘊含 yRx」這種表達式並不意味著我們需要什麼東西存在。但是函數符不同，每次，只要它被使用了，它就在斷定作為運算結果的對象存在，這是一個需要額外謹慎對待的東西。（對於一個一元函數 f 來說，如果對於某個 f(t) 我們要採取不帶本體論承諾式的讀法，那麼 $varphi(f(t))$ 就要被讀作： $forall x(forall y(F(t,x)leftrightarrow F(t,y)) o varphi(x))$ ，其中 F 是 f 對應的二元關係。你看看這個地方弱化了多少。不按照羅素的摹狀詞式的翻譯（ $exists x(forall y (F(t,x)leftrightarrow F(t,y)) o varphi(x))$ ），是因為你拒絕本體論承諾啊。）

比如說我們換一種方式定義加法，兩個數的和的存在性就立刻被打破了：

For every natural number a, a+0 := a.
For every natural number a,b, a+SS(b) := SS(a+b).

根據這個定義，任何數+奇數是算不出來的。比如說：

2+3 = 2+SSS0 = SS(2+S0) = ？？？

當然了，我們知道加法的良定義性是可以通過數學歸納法公理證明出來的，但是這僅僅是把我們對於加法的疑慮轉移到了 S 上，或者，轉移到了自然數本身上。但是，S 的存在性本身就依賴於我們能夠理解可列無窮多個東西。

從單純的符號操作上來說，形式主義者們當然可以說，不斷地往 0 前面加 S 這個過程本身自動地就構成了我們所需要的東西——我們不需要符號之外的東西，自然數的本體論，由我們符號來保證！

嘛你們有這樣的想法自然是很好的問題是這種想法實在是太過理想了啊別的不說人類歷史上寫過的所有形如 S 的字元都沒有自然數的十萬億分之一那麼多啊……

這也就是形式主義最終失敗的地方。形式主義的形式本身是依賴於直觀的，而不是純粹的概念形式。我們需要一個概念之外的東西，或者說作為空間形式的形式，來保證我們的可列無窮符號串是可以想像的。假設某種生物擁有的直觀形式和人類不同，它們對於時間和空間都不是線性無限的而是有限的，那麼它們自然就沒有辦法理解自然數和一個有限群/環/域的區別。——對，皮亞諾公理按照我們不做本體論承諾的讀法依舊是正確的，但是它們會認為——是啊，那就不存在 0 這樣的東西，或者不存在 S 這樣的東西。因為在它們的思考範圍之內，非滿射的單射是不存在的。甚至囿於符號的有限性，它們都寫不出足夠長的符號串來進行推理。當然了這種奇怪的智能生物何以可能本身都是一個問題。但是無論如何，你不會說因為這個生物接受了自然數的五條公理的不帶本體論承諾式的讀法就理解了自然數，你會說：它們永遠都理解不了自然數，即便它們有能力理解這五條公理不帶本體論承諾的形式。雖然這種東西多大程度上稱得上是理解是值得懷疑的。

考慮自然數，這個地方當然可以有一種整體性的架空，即，在我們從一個概念走向下一個概念的時候，我們都不預設對應的概念的本體論地位，比如說從 0 到 S0 的過程中，從 S0 到 SS0 的過程中。

這種操作對於極度聰明的人來說是有可能的。但是按照馮諾依曼的吐槽，人腦沒有辦法處理特別多重的函數嵌套（量詞迭代本質上會在 skolemization 之後引入函數嵌套），因此，即便是單純的空想，這對於絕大多數人來說都是有難度的事情。這也就是為什麼數學家不單純做邏輯推理，還特別喜歡干概念打包這件事情——如果不把已經確立實在性的東西挑選出來（這當然依賴於存在性的合理性的證明啦），而憑空想問題的話，人類很難在推理的鏈條上沿著量詞迭代的方向走很遠。我們想 S…S0 之所以輕鬆，是因為我們根本就不是按照函數嵌套的模式來進行思考的，我們思考的是 S 串的長度，有多少個 S，這就是哪個自然數——但是這已經預設了我們對於自然數的理解。如果你不服氣，那請你思考如下函數。 $f(x) = x^2-3$ ，然後考慮 $f(ldots (f(0))ldots)$ 迭代個 100 次。你絕對對它一點想法都沒有，而只能依賴計算機去計算。

結論

我想大概的結論是這樣的：

在給定一個理論的一階形式化的時候，如果有涉及到任何常元符號，比如說個體常元，函數常元，關係常元，那麼這些東西的存在性本身是非邏輯的，因此它們的引入是綜合的，關於它們的定義，實際上是二重的：作為約束它們工作方式的那些限制本身可能是分析的，比如說我們通過3條公理約定一個R關係是等價關係：

for all x, xRx;
for all x,y, xRy implies yRx;
for all x,y,z, xRy and yRx implies, xRz.

我覺得這三條公理本身僅僅是對於R的刻畫，並且其中並沒有涉及到任何存在命題，都是全稱命題，因此即便被拿來用了，那對應的部分也是分析的。但是說有這麼個 R 能滿足這三條公理這一點，是綜合的。

另外，在使用函數的時候，函數的定義等式本身也是綜合的，這樣一來函數的定義不等式也應該是綜合的（？）。具體的話果然還是取決於到底是在說存在還是不存在吧。

涉及個體常元的命題有可能是綜合的，比如說全稱帶入，我會認為從 $forall x (x=x)$ 到 x=x 是沒問題的，但是如果是到 a=a 的話，那就有問題了：你當然可以對 a 採取沒有本體論承諾的讀法，那麼這本質上就相當於是 x=x（這裡的 x 並不是一個真的個體，而僅僅是一個用來標記出形式的空位，用來表示等號左右兩處空位必須填入相同的東西）。但是如果你認為這裡的 a 是一個個體常元。這並不是因為邏輯給了你這樣的權利，而是因為我們會混淆名稱和實體。在證明完全性的時候，我們是怎麼去找對象的？我們把 term 本身作為對象，按照 BNF 生成的那些 term 就是我們構造的模型裡面的對象（當然在有等詞符號的情況下我們需要模掉一個等於關係）。如果我們沒有等詞，我們只有一個個體常元符號 a 和一個一元函數 f，那麼此處 term 的構成的對象就是：a，fa，ffa，……看上去和自然數一樣，當然如果我們有多個一元運算元甚至別的多元運算元的話。這個就會比較複雜了。但是這些東西能想像，終究是因為我們覺得我們能把這些符號寫下來，或者說我們能想像這些符號的（無窮無盡的）使用方式。

（另一方面，如果作為代數的邏輯的存在本身也是綜合的（比如說將命題集視作一個 generating set，將邏輯連接詞看作是 operators，這個集合上藉由這些操作的自由生成的那些東西就是所有的合式公式），那麼這或許會導致一個全局性的崩塌（所有的，作為「合式公式代數」中的元素的命題都是綜合地構造出來的——雖然這好像也沒錯，但是感覺這會把邏輯整個都拖下水誒），然而我還沒有思考好這個崩塌要怎麼處理。這或許意味著用代數的觀點看邏輯會導致某些不好的結果。然而我已經想不動了。）

從建構主義的觀點看，部分推理推理或許應該是綜合的，比如說利用了排中律的推理？因此從「並非對於任意的並非……」得到「存在……」是綜合的。更進一步，關於直覺主義邏輯和經典邏輯相差的那一部分：這一部分應該是先天綜合的。但是我給不出論證。

另一個不成熟的想法：數學的綜合性可能對應的是證明的構造，而分析性的部分則是判斷給定的證明是不是一個合格的證明。這種想法對應的是尋找解比驗證解要容易的事實。這樣想就更貼認識論一些，而不那麼本體論了。但是具體的論證實在是不好做。實在要給例子的話，考慮 lambda 演算裡面的計算。我們有如下的 encoding： $S := lambda wyx.y(wyx)$ ， $0:=lambda sz.z$ 。於是 S0 = 入yx.y((入sz.z)yx) = 入yx.y((入z.z)x) = 入yx.yx = 1

顯然這裡的計算從每一步上來看都是平凡的，唯一能說的就是 $eta$ 轉化這個東西本身是有內涵上的損失的：我們將一個內涵上更「豐富」的東西轉化成了另一個內涵上比較貧乏的東西然後進入了穩態。這種代入本身就是我們計算的負荷所在。（相比之下， $alpha$ 轉化是可逆的因此是分析的。【喂你也太隨意了）

但是如你所見，如果我們同時用 lambda 演算來 encoding 邏輯運算元的話……那麼邏輯似乎也要變成綜合的了……因此這裡的對應關係顯然沒有那麼平凡。

謝邀 @new game 等人。

利益相關。數學系的各位不要太激動，題主是個高中生，我看行文里也沒什麼出格的話，也許是太過於敏感了。

題主，你混淆了一些東西。哪怕我們假設數學的真理就是弗雷格主義，這樣，所有的數學從本質上來說都可以還原到邏輯，這樣所有的數學命題都是分析命題且是先天命題。但這與人類的知識無關，這只是客觀世界的一種實在而已。

如果要討論知識，一定要涉及到知識的主體，就是人。

那麼問題來了，在什麼情況下，滿足你所說的，人關於數學的知識不存在「新的」和「舊的」之分呢？

在認識論里，有一個很有爭議性的問題，叫：Epistemic Closure。去SEP里可以找到。這裡討論的東西，簡單來說，就是關於以下命題的事：

SP：If person S knows p, and p entails q, then S knows q.

如果SP是真的，那麼當我們知道數學的基本公理時，那麼又已知所有的真的數學命題都是單純從邏輯上推理而出，那麼由於承認SP，就可以得知我們知道所有的真的數學命題。

但，SP不是真的。

完事收工。

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謝邀……

誠惶誠恐……

現在用的手機，先簡略回答一下：

如果按照康德式的定義，數學命題是綜合命題（先天綜合命題），因此數學知識當然是一種知識……

如果按照弗雷格式的定義，那麼對分析命題進行推理就不再無法得出知識……

而更進一步的，分析與綜合之間的強區分本身就是個很麻煩的問題……

如果就JTB乃至之後的其他一些對於"知識"的定義的話，則取決於我們在多大程度上是一個柏拉圖主義者，並且我們又在什麼意義上使用"真"這個詞……

如果我們的真理觀是某種冗餘論或者融貫論的話，我們應該能夠合理地認為數學知識是一種知識，即使我們認為數學是分析的，並且我們不是柏拉圖主義者……完畢……

所以……我的答案是……數學當然能生產新知識……即使是在認識論的意義上……

你的「完整定義」在邏輯學裡對應的是內涵。

你把知識定義成了真或可證的集合，這種集合當然不帶時間性了。

你的誤區在於把知識當作一類事實來理解了，而知識論里知識是一個屬人的概念，即知識論研究的只是人的認識相關，當然要考慮時間性。

不得不吐槽的這問題跟數學關係不大，有些朋友太激動了。

在我看來這是哲學家或者哲學愛好者隨意使用自然語言帶來的問題。

假設現在是1860年，題主會說：「四色定理成立，這是舊知識」嗎？當然不會，因為四色定理還沒證出來，題主只會說「四色定理成立是舊知識，或四色定理不成立是舊知識」。到了1977年，題主則去掉了那個或，說「四色定理成立是舊知識」。

那麼這裡就很奇怪了，一個在1860年就是舊知識的東西，為什麼在後來會出現新的變化呢？——題主這裡的「新舊」顯然和大家平常用的新舊有所不同，其實他也加了一串定語來限制它：「哲學認識論意義上的新」。既然都選擇重新定義「新」了，那為什麼不做得更徹底一點，用一對新概念來解釋這個東西：「☆χǐη☆」「☆1日☆」。總之別用正常人使用的，帶有時間性的「新舊」，不要污染珍貴的自然語言。

所以說數學家不生產☆χǐη☆知識，但他們生產新知識。

☆χǐη☆這個概念很重要，能幫助我們認識到數學家的本來面目：他們是一群成天忙於發現☆1日☆知識的人。

用☆χǐη☆有什麼好處？——用了這個概念，搞數學的就不會搭理這個問題，並且誤解題主提出的「認識論意義上的新」了嘛，對於澄清問題好處大大的。

謝邀，不太想答，隨便寫一點線索。

題主所問的「新」，有一個專業術語knowledge closure更加準確一點。以下的「知識」都做認識論中的知識理解，而不是視作現實中某個學術共同體的基本共識。

S1 否認數學是知識，例如formalism和fictionalism (on mathematics)；順便提一句，Field在他的書里為數學的conservative提供了兩個基於模型論的證明/論證，這裡的conservative非常接近於我們的knowledge closure，但也不完全一樣。

S2 承認數學是知識，但否認分析綜合之分，例如Quine；

S3 承認數學是知識，承認分析綜合之分，但認為數學是綜合知識，例如Kant；

S4 承認分析綜合之分，並承認數學命題是分析的，例如logicism和neo-logicism;

當然，以上所有說法都基於這樣一些預設，而它們理應受到具體的考量

P1 把數學視作一個整體；

P2 使用的是規範性意義的數學的概念

如果你非要這麼理解，把一套定義公理基礎上的所有定理都認為是「舊的知識」，似乎也不是不可以。

不過，由於數學命題的邏輯鏈條可以非常長，很多所謂的「舊的知識」，看起來是非常不顯然的，甚至是下一個千年也沒人能證明的。

而定義本身，只不過是為了說話的方便引入的辭彙而已，它的重要僅僅在於，幫助我們把這些「舊的知識」用簡短的話寫出來。

事實上，我不需要定義三角形ABC，我可以只說不共線三個點A,B,C.

那麼如果我把三角形的定義刪掉，用點線描述幾何，你是否覺得知識變少了？

謝邀：利益相關：數學博士。我不太懂哲學這東西，康德自身對數學的認識如下：他在不同階段對數學的解讀是不一樣的。

Kantamp;amp;#x27;s Philosophy of Mathematics

這個網頁中解釋了康德自己在不同的階段對數學的認識。應該足夠回答你的問題了。

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下面純粹是吐槽：大家隨便看看就好。為什麼學「哲學」的都有這種動不動就要「操死」別的學科的傾向，你真友善。首先，問這個問題的人顯然不具備現代數學的知識，不明白「定義」這東西可不是「簡單」二字可以概括的。數學的發展中需要人們去定義出一群概念和定義，這些概念和定義可不是簡單的「推理」。給我解釋一下：

請問它所有的根是否 $s=1/2$ 這條垂直線上。對這個東西的認知為什麼就不是新的知識呢？這個黎曼猜想也可以回答很多認為定理就包含在「定義」裡面的詭辯，按照閣下的意思，我們不知道黎曼猜想成立與否，所以我們對於「根」、「複平面」，「黎曼函數」的定義「不完整了」。按照這個邏輯，我們哪有定義是完整的，所有的定義都可以包含在某個還不能判斷的命題中。這種複雜的「定義」有個毛用。

哲學不是詭辯術，邏輯自洽的東西不一樣有什麼價值。比如，上帝的存在也可以搞出一套邏輯自洽的東西。你們把數學批判一遍，說它是毫無「新知識」並不能改變「數學事實上的偉大作用」，也無法提高自己的數學知識。如果哪個「認識論」的體系論斷數學知識是沒有新知識的，那麼該被批判的是這種「認識論」。

先亮觀點：作為一個凡人，當你有了一套邏輯系統和公理之後，你有的只是證明那些定理的工具，但你還是沒有關於這個定理的知識。

下面正文：

我比較同意運算元的回答，事實上我也經常想這個問題，我之前也是覺得當你確定了你用的邏輯系統，公理以及定義們之後，你所推出來的公式與定理們確實可以不算是『新的知識』，即使是再難的定理。

設想在黎曼猜想被證出來變成『黎曼定理』的十萬年之後，人類可能會變得十分聰明以至於會覺得『黎曼定理』如1+1=2一般trivial，那個時候人們大概早就忘了現在這個世界的樣子，會覺得這個『定理』並沒有給人類提供什麼新的認識，我想像中這種情況是有可能發生的。

但話說回來，那樣的人類在我看來和現今人們概念中的上帝大概是沒什麼區別的，在上帝看來trivial的問題在我們凡人眼裡看來可能還是有很大意義的。

事實上我個人感覺維特根斯坦常常是開了這種上帝視角在說話的。比如在邏輯哲學論里他認為『類的理論在數學中完全是多餘的』，以及，很重要的，『6.1 邏輯命題是重言式』，『6.11 因此，邏輯命題什麼也沒說。（它們是分析命題）』，『6.2 數學是一種邏輯方法。數學命題是等式，因此都是偽命題。』以及『6.21 數學命題不表達思想』。

可是話再說回來，為什麼我們不是上帝卻還會覺得一些定理，比如，1+1=2是一個trivial的事實呢？我之前覺得，是因為這好證明，因為1被定義為{0}，2被定義為{0，1}，而對於一個ordinal x，x+1被定義為x∪{x}，這樣只需要一步推理我們就有了1+1=2。後來我覺得好像這並不是原因，因果關係好像反了，是我們直覺上覺得你把a東西和another東西放在一起，你就有了a 新東西，一直重複這樣的過程，我們可以構造很多新東西而且這些東西會有一些有趣的關係，為了研究清楚這些東西的關係，我們才這樣定義了自然數和加法。試想，如果我們現在把ZFC里所有在一百步之內推不出1+1=2的定理和公理們當做一個新的公理體系t的公理，那麼1+1=2這個定理在t裡面好像就不這麼明顯了，這個時候如果我們是一個從t出發的證明機器的話，那麼我們就不會覺得1+1=2trivial，但作為人類，即使在第一個數學家誕生以前，人們仍然會覺得1+1=2trivial。假如我們現在還沒發明出證明這個概念，我們仍然會覺得1+1=2trivial。為什麼？那個使我們覺得1+1=2trivial的直覺是關於什麼的直覺呢？

古典的柏拉圖主義者可能會說，因為1+1=2resemble了一種form，這個form的ontology是高於這個世界的，而且這個form十分明顯，現實世界中有許多物體能以種種形式體現這個form的一部分，所以我們覺得他trivial（但同時這麼明顯的form當然也很重要）。現代的結構主義者可能會說，那個直覺是關於一種結構的直覺，這個結構的ontology是什麼我們也在爭論。但無論怎樣，想到這裡至少我會覺得數學家不止是拿到一套邏輯系統和公理們之後就開始像機器一樣開始推理的人，他們是在研究那些個他們覺得有趣的form（或者結構），只不過藉助了這些邏輯和公理而已，他們研究的東西，如果存在的話，在彼岸。

說到這裡我就會想到我們這裡一位代數拓撲老教授Sylvain Cappell說過的類似的話：『All mathematicians live in two different worlds. They live in a crystalline world of perfect platonic forms. An ice palace. But they also live in the common world where things are transient, ambiguous, subject to vicissitudes. Mathematicians go backward and forward from one world to another. They can be adults in the crystalline world, infants in the real one.』

所以大概數學定理是不是新的知識取決於那個ice palace存不存在吧，如果不存在的話那麼純數就只有能應用的那一部分有意義，新的定理給我們的可能會是空的知識；如果存在的話，當我們證了一個新定理的時候，我們確實發現了這個ice palace裡面的新知識，就像鳥類學家在森林裡發現了一種新鳥一樣，只不過森林在這個世界但是ice palace不在這個世界。那麼我問你，另一個世界的鳥類學家在另一個世界構造了種種工具使得他們長得在某一方面長得像我們的望遠鏡，然後在我們的森林裡發現了一種新鳥算不算有了新的知識呢？

我個人是覺得，除非你是上帝，否則這一定是新的知識。

最後話再說回來，如果那個鳥類學家有能力在另一個世界構造出來一個像我們的望遠鏡的東西的話，那麼那個鳥類學家說不定還就是我們的上帝。

『6.432 世界上的事物是怎樣的，對於更高者完全無關緊要。上帝不在世上現身。』

--維特根斯坦

數學是人們在實踐中標記物的抽象符號，主要解決關於量的問題。

維特根斯坦早期認為不是

@dhchen其實不用那麼生氣，因為這是套用一個學科的語言討論另一個學科時容易出現的誤解罷了。雖然我個人也很不喜歡聽哲學家討論數學，但哲學角度還是可以提供新觀點的。何況在曾經數學家和哲學家的身份也沒有那麼割裂。況且即使他們的討論對數學不一定很有營養，對於哲學本身或許是有營養的。正如物理學家可能不喜歡弦論，不喜歡數學家討論物理問題里各種存在性唯一性，但這些問題對數學還是大有好處的。

回到題主的問題。我覺得問題本身在於，哲學史上對知識的認識和定義太複雜了。加上哲學不像數學，有一套統一的語言（即使單單是康德，早年康德和晚年康德也未必會用統一的語言討論哲學問題）。所以題目評論區說得好，題主的問題完全取決於從哪一個哲學定義來看待知識。

一隻猴子，只要不停的在打字機前打字，總有一天能打出哈姆雷特。哦，還能打出題主問的問題。請問，猴子是不是擁有了和莎士比亞或者題主等同的知識？

或者從1開始數，總能找到一個自然數，把它的二進位轉成一個word文件，那個文件就是本哈姆雷特，或者就是題主的問題，甚至是一個包含全世界所有書籍內容的文件。請問是不是只要會數數，就掌握了全世界所有的知識？

答案顯然是否定的。

真正的知識是，能寫下一本哈姆雷特，保存成word，轉成二進位一看，原來是這個數。

從1開始數，找到一個自然數，可以代表你想要的東西。這在計算機科學中叫搜索。知識則可以極大的簡化搜索的過程。

另外，我學的那些粗淺的哲學說獲取知識靠演繹和歸納，數學作為演繹的代表，搞出來的東西怎麼就不是知識了。

（樓下發現題主自問自答，原來題目是題主自我理解。我粗淺的哲學知識果然沒學錯啊）

例：

已知三角形兩個角的大小，求第三個角的大小。

可以把無數個滿足條件的三角形都畫下來，然後一個個量。

或者有點知識，只畫了一個量了一下。

又或者，有更多的知識，不用畫，拿180減一減就搞定了。

稍稍不友善一下是因為看到@dhchen在吐槽，不好意思是他的粉。

題主多學點數學吧。信息學，人工智慧領域有很多藉助數學知識，對認知建模，並且取得成績的地方。

另外在這裡衷心的表示對數學大拿們的感謝。讀你們一點書，媽蛋一整本都不用讀完，就可以讓我醍醐灌頂，讓我在工作中，少走很多彎路，少吃很多苦。

按照提主的邏輯，我可以認為：語言是一系列詞語和語法構成的體系，任何能用語言表示的都沒有提供給我們超過這些詞語和語法的任何新知識，都不是新知識。

不才，在此僅拋個磚

我個人認為：數學對某一運算的最簡的基本定義就已經表明或暗示了所有能由此運算推論出的公式與定理（如對加減法和乘除法的定義已經立刻表明了勾股定理公式，這一公式本身是不能夠作為一個新的知識的）。

其實這個問題是我在老師上課講到康德的認識論時想到的。當時老師舉的例子是：說「三角形有三條邊」，這是三角形的定義，其本身不能為我們帶來新的知識；而「三角形的內角和為180°」，卻為我們帶來了新的知識。

在我看來，「三角形內角和等於180°」，這作為三角形的一個性質，與三角形的所有其他性質（如三角形面積等於1/2*a*b*sin(C)）一起，構成了三角形的完整定義。與之相對應的是，對三角形的最簡定義「三角形有三條邊」在實際上已經暗示了所有能由此推出的數學公式，所以這一最簡定義（原諒我一直使用這個自造詞，因為我不知道有哪個詞語是用以精準地表達我腦中的這一概念的）本身就與三角形的完整定義（包括了其性質）等價，因而由此推出的三角形的性質也就不能作為新的知識存在了。

當你定義了三角形之後，並不是馬上就存在「三角形的內角和是180°」了。你還要定義三角形的角，角度，內角，和，還有180°。然而這不正是數學發展的過程嗎？

只有跳出問題來回答才會清楚。

一切知識都是人的認知結果，並按照人能懂的方式去描述，邏輯是人的認知與物質世界規律的紐帶，無論是數學還是物理學化學生物學等等，都必須用邏輯去詮釋認知。

沒有新舊分別，只有發現不斷地去發現，發現有時間上的先後，其中有必然性也有偶然性。

真相本身是完整的，分科不過是從不同角度去詮釋真相，只是不同角度的表述形式，而不是真相本身，所以任何一個應用成果總是各科的合集才能完成。

這不需要去比出誰高誰低，誰隊誰錯誰先誰後。

哲學的特殊是因為與分類的各科不在同一個層面上，而是人類語言在各科上的提煉普適，有取大舍小的模糊性，從認知物質精度的角度去看，不具備可操作性，只有指導性。

建議題注學習一下一些基本的數學知識，比如泛函分析。學習了之後，對數學更了解了，你會對你提出的問題和別人的答案有個更好的認識。

這取決於怎麼定義知識，要是從分析命題不提供任何新知識這種狹隘的角度出發來定義那數學確實什麼都沒說。但沒有數學家會同意數學能夠化約到某個邏輯觀點，大概他們會更喜歡現象學的觀點

我沒有看懂題主的問題描述。

我覺得，任何事物是不能造成自證的，只能是它證或證它。可想而知，任何事物，都是靠著其他事物的存在才存在的，所以，追根溯源本是個偽命題，因為到最後都是自證，根本也不能證明。

舉個栗子。1-2-3

1可以證明2，2可以證明3，3可以證明1，其實你還是用1來證明1，有意義嗎？？？。所以，任何可以證明的東西都是自證而已。

哲學上說，邏輯推理不產生新知識。

但不能說，因為數學大量使用邏輯推理，所以數學歸根結底都是來源於對公理和基本定義的邏輯演繹，因而不產生新知識。

因為當邏輯推理達到一定維度和高度時，量變產生質變，其意義早已超出了邏輯推理本身，而產生一種思維方式，達到哲學的思維高度。

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數學本質上是發現，而不是發明。

一切數學工具的發明，定義的拓展，都是為了在本體系內發現更普遍的規律。