怎樣證明√2小數點後的偶數的個數有無窮多個？

01-05

如√2＝1.41421……中，4 4 2……就是符合要求的位數
（我的同學在寫題目時用到了這個結論，但他沒有證明，我也覺得這個結論是正確的。我去問了老師之後，老師也不知道，老師說他覺得每個數碼出現的概率相同（不過我覺得他在瞎說），求教大神）

至今是證明不出來的，只能猜想很大幾率是正確的。。。

要證明一個不是明確構造為正規數的數的正規性非常困難。例如根號2、圓周率π（它的二進位表達已被證明為正規數）、2的自然對數ln2和e是否正規仍不知道。（但基於實驗證據，猜想它們很可能是正規數。）證明仍遙不可及：就連哪些數字在這些常數的10進表示法無窮次出現仍不知道。大衛·貝利(David H. Bailey)和理查德·克蘭德爾(Richard E. Crandall)在2001年猜想每個無理代數是正規的，雖沒有找到反例，卻還沒有一個這樣的數被證明在每個底都是正規的。。。。

√2≈

基於實驗數據，√2很可能是正規數。。。。2333....(逃

如果是用二進位表達的話，結論很顯然是無窮多個。

因為，不管用幾進位，無理數都是無限不循環小數。對於數位只有 0 和 1 的無限不循環小數，必然出現無數（可數）個零，否則從某位開始全是一的話，那就成了循環小數了。而且，這一結論對所有二進位下的無理數都成立。

不過，二進位下的結論對十進位有沒有幫助？什麼幫助？我還在思考。

另外，有朋友提到了正規數，這其實充分不必要條件了，證明題主的結論並不一定需要證明是正規數。就好像我要證明你見過豬肉，並不需要證明你吃過豬肉。

你老師提出的大約是以10為底的正規數。

這有一些二進位正規數的例子：例如2的平方根、圓周率π（它的二進位表達已被證明為正規數）

雖然題目所要求的結論比正規數弱得多，但我想這仍然很難有一個較為初等的證明。

回去想想

先，由於它是無理數，小數點後的數字是無限不循環的

概率的總數是無限，即如果偶數的概率≥∞1(最小數) 也就是概率&>0，那偶數的個數即無數

剛剛由前幾個數就已經可以看出為偶數的頻率較大，所以無數這個結論應該很穩！

呃，看來這種證明太沒有說服力。。。

好吧，我又想了一種。。。

大家都知道1╱3≡0.3循環，那麼在這個無限循環小數中，3是無限的(這個應該沒有異議吧)。由此我們可以舉出很多例子，例如1╱15、1╱9什麼的。

那麼我相信在座的各位應該有人想過，為什麼1╱3×3＝1而0.3循環×3＝0.9循環

但是1≠0.9循環啊，怎麼回事呢？

soy我猜想，1╱3和0.3循環有著本質的差別，我們認為的1╱3＝0.3循環主要是因為這樣除下去，一直會有一個餘數1，而0.3循環沒有。這樣一來，它們雖然看上去一樣，卻有著這個本質的差別。讓我們回憶起這個被遺忘的可憐蟲，正是因為它，在乘以3時它也乘以3變成3，在除3中又變回了1，0.9循環的最後的那個1(我想應該可以用這個定義無窮小)。那麼由此無限小數應該可以有尾數(以上就是一個例子，0. 0×∞ 1)，但中間的數卻是無窮的，我這樣猜想到。。。。。

言歸正傳√2是個無理數，也就是一種無限不循環小數(我們現在學到的是這樣的)，從偶乘偶的簡單規律中，我們可以知道它的尾數絕對是偶數，那麼就說明，你永遠無法觸摸到這個黑洞的洞底，但這個黑洞的洞底就是偶數。

還是感覺好荒謬對吧。你開心就好，我繼續說我的。

√2×√2＝2對吧，那麼√2的位數必須承擔一個將前面的積全部都化整為零的重任。既然是偶數，那麼我們可以想到24680，0首先排除(一旦小數尾數是0，那麼上一個數就會也是尾數，也就是0，那麼這個數一定是整數)，那2468呢？它們的積各個是4、16、36、64，那根本不能擔負起這個重任啊！好的，結合上下文，這個數擁有餘數(我覺得並沒有什麼不對，1╱3也有餘數啊，但是它也有尾數)，而且這個餘數很特殊，並不是一定的(比如有循環節的小數)，且是無序的。那我們再開始研究，1╱7＝0.142857循環，餘數變化為3 2 6 4 5 1，有發現什麼嗎？我們繼續1╱11＝0.09循環，餘數變化為10 1；1╱13＝0.076923循環，餘數變化為10 9 12 3 4 1

沒錯餘數之和是除數的倍數(雖然我覺得是美妙的巧合，相加也有規律可循，不知道是不是已經有人發現過了)，那麼√2的餘數和應該是n√2咯

突然感覺我真的什麼都不懂，雖然我本來就知道我的知識淺薄，就好心當我在這裡拋磚引玉吧，希望各位在評論中指出我的不足和胡思亂想(斷絕我的那些胡思亂想)，謝謝。看評論原來0.9循環=1，這個真心666

不管怎麼說這個應該是很難證明的，比如一群數學家都沒有證明出來，不然提問的人早就上網查了。。。

本學生因為無知，有太多荒謬的問題是難免，不要笑我，請克制。

本以為，學生的問題學生回答比較好，但可能這個問題即使被他人回答也是我們學生難以理解的吧，看來我還需要努力學習啊！