全反射中反射波的相位變化我怎麼覺得書上推導有問題？

01-05

物理專業大三學弱一枚，這幾天按著電動力學教材（郭碩鴻的第三版）的思路推公式，發現全反射現象中求反射波相對於入射波的相位變化時套用的公式好像有問題啊。之後翻了很多教材和文獻發現都是這個結果，那應該是我哪裡弄錯了，但是和好多同學討論都沒找出錯在那。。。求汁呼各位大佬指點
我先把教材上有關的兩頁貼出來

這裡只討論電場分量與入射面垂直的S波，
我講一下我的思路，書上求全反射時反射波和入射波關係時套用的是菲涅耳公式（圖1中綠色劃線處），這裡做了對應，折射角的餘弦值cosθ『』用虛數+iSqrt（。。。）來表示，代入菲涅耳公式得到反射波和入射波振幅相同有一定相位差；
然而根據第二張圖紅線處求出來的折射一側磁場強度的X方向分量Hx與電場E的關係可以看出，此時的cosθ『』明顯應該是-iSqrt（。。。）才對（對比第一張圖紅線處的Hx和E的關係可以清晰看出）
那麼這樣代入菲涅耳公式得到的結果就應該是書上結果的倒數了，相位一個偏前一個偏後，顯然不一致啊？！
下面貼我手寫的一些思路。。。字丑各位大佬不要噴orz

實在想不通到底哪裡有遺漏或者理解上的偏差，望眾大佬指教

謝邀。

我認為問題在於書上講全反射的時候沒有講清楚平面波的波矢 $vec{k}$ 的某一個分量為虛數的時候意義是什麼，勉強類比讓人費解。

$exp(ivec{k}cdotvec{x})=exp(ik_xx+ik_yy+ik_zz)$

這意味著若 $k_z=alpha_z+ieta_z$ 是虛數的話， $exp(ivec{k}cdotvec{x})$ 中可以拆出一項 $exp(-alpha_zz)$ ，意味著波的振幅隨著 $z$ 坐標的增加成負指數衰減。

而根據麥克斯韋方程組 $k_x^2+k_y^2+k_z^2=vec{k}^2=omega^2epsilonmu$ 是圓頻率和介質屬性決定的，設介質交界面上另一側介質的變數都用下標 1來表示，那麼介質交界面上始終有 $exp(ivec{k}_1cdotvec{x})=exp(ivec{k}cdotvec{x})$ 成立，進而 $k_x=k_{1x},k_y=k_{1y}$ 成立，為簡單起見不妨設 $k_y=k_{1y}=0,k_x=k_{1x}=k_1sin heta_1$ ，當 $heta_1$ 大到一定程度 $k_x^2>omega^2epsilonmu$ 的時候， $k_z$ 只能為純虛數，這就是全反射了。

從數學上說i的定義是負一開根號而不強調它是+sqrt(-1)還是-sqrt(-1)中的哪一個，因此從數學上只要保證最後那裡差一個正負就沒問題，所以這裡應該還是強調全反射有相位差這個性質吧。而且我覺得前和後的差別好像不是測量出來而是定義出來的，因此是否二者等價呢？

而那個Hcosθ-H"cosθ"=H""cosθ""是默認以右正方向的數值關係，當出現複數後怎麼再去判斷「以右為正方向」這件事情呢？這裡我也不太清楚orz

不請自來