三體問題無解，可能的誤差來自於哪裡？

01-05

計算的時候按照三個標準質點來計算，可是三個恆星噴射物質造成的質心的微小改變啊，相對論造成的軌道旋進啊，甚至是小到宇宙物質不斷落在恆星上施加的極微小動量，小天體對其施加的微不足道的引力，甚至是外界觀測造成的光子對其的影響
還有哪些？
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有些人又是不理解意思。三體問題按照質點都已經很難算了。我想說的是即使有一天三體問題出現了通解是不是長時間也是會偏差極大

摘要：

真正的誤差來源於數值計算本身。三體問題，不能根據初始條件長期預測，與其沒有解析解關係不大，而在於其混沌性。而混沌性不僅僅表現於初值敏感性。即使理想化一個模型以使得初值嚴格精確，進行計算的時候仍然面臨著無法避免的誤差累積——這個「無法避免」是由數據的無理性和混沌的微擾敏感性決定的。

1 不可解析解即不能精確求解嗎？

並非如此。應用物理中存在很多不可解析解的方程，但是使用計算機工具，可以允許進行誤差處在一定範圍內、不會隨計算次數的累積而疊加的數值計算。這時也就是 @ZX Huo 前輩提到的「有穩定、收斂、唯一的數值解」。

舉一例說明。這是一個三次方回復力的振動模型：

$m frac {d^2x}{dt^2} = -kx^3$

取振幅為 $x_0$ ，這個方程可以化為：

$frac {dx}{dt} = sqrt{frac {k}{2m}({x_0}^4-x^4)}$

它沒有解析解。假設要計算從原點出發到 $0.8 x_0$ 的用時，可以用計算器做數值積分：

$t(0.8 x_0) = frac {1}{x_0} sqrt {frac {2m}{k}} int_{0}^{0.8} frac {dxi}{sqrt {1-xi^4}} approx frac {0.840}{x_0} sqrt {frac {2m}{k}}$

這樣可以找出 $t-x$ 曲線上的每一個點並足夠精確地預測振動。

這個例子表明三體的長期不可預測並不是由於其給不出解析解。

2 混沌性是如何引入誤差的？

為了說明這個問題，構造一個迭代系統：

$p_{n+1} = p_n + rp_n(1-p_n), n = 0, 1, 2, ...$

這是生物學中常用的預測種群密度變化的函數。在《 Chaos and Fractals - New Frontiers of Science 》一書中，作者取 $p_0 = 0.01$ 、 $r = 3$ ，用 Casio 和 HP 生產的兩台計算器分別計算。得到了這樣的結果：

圖 2.1 - 使用不同計算器在僅僅三十五次迭代之後就得到了只有一位有效數字相同的結果。四十次迭代之後，已經沒有值得參考的有效數字了。

這台 Casio 計算時保留的有效數字位數比 HP 少了兩位，但在數十次累加之後，這一誤差已經大得無法忽視。這並不是說 HP 的計算結果就應該被作為標準——既然有效數字位數都有限，HP 與精確計算的結果之差自然不會小。

當然，亦有可能存在計算器的結構不同的問題。假如在同一台計算器上計算，但是採用 $p_{n+1} = p_n + rp_n(1-p_n)$ 和 $p_{n+1} = (1+r)p_n - rp_n^2$ 兩個表達式，結果如何？該書的作者在 HP 計算器上做了這樣的實驗：

圖 2.2 - 即使用同一台計算器，在兩種表達式下，其結果在四十次迭代之內也完全失去了相同的有效數字。

這樣的結果足夠說明問題。一個混沌系統，在計算時數據小數點後的位數將快速增長，最終達到無理數。這就逼迫我們截取其有限位進行近似計算。而誤差的累加速度太快，即使人類的測量能力能做到提供十六位有效數字的數據和一百二十八位有效數字（已經是雙精度浮點數有效數字位數的八倍）的運算，能在可接受的精度內進行預測的時間段仍然不長。

更可怕的是，在同樣的精度限制下，演算法的不同也會導致結果的巨大不同。對表達式作恆等變形、改變數值積分的步長、甚至改變數據存儲的格式，造成的誤差都會很快淹沒有效數字，一旦發現這樣的現象，值得採信的預測時間範圍就會大大縮短。題主問，可不可以通過考慮進「三個恆星噴射物質造成的質心的微小改變，相對論造成的軌道旋進，甚至是小到宇宙物質不斷落在恆星上施加的極微小動量，小天體對其施加的微不足道的引力，甚至是外界觀測造成的光子對其的影響」這些因素，給微分方程多加幾個項去減少表達式層面的誤差，其實只是把一個混沌系統變成了一個更混沌的系統。上面所述的這個各項比較離散、表達式簡單的混沌模型，尚且造成了這麼大的誤差，三體問題這種複雜、連續的模型，可能小修正項帶來的改變，根本追不上不斷前推的可採信的有效數字位數限制。

更何況，兩個只有表達式差別的演算法得到的結果作差，都能獲得一組正負、大小完全隨機的數據，增加修正項帶來的數據改變，也可能只能表現為在原數據基礎上加上一組隨機量。

3 如果有解析解而沒有混沌，或者計算能力已經足夠高，我們還要考慮什麼誤差？

上面寫了這麼多才發現題主作了一個非常強的假設「有解析解」。真是不讀題的老毛病又犯了。這個假設之強，就在於它基本杜絕了混沌的存在（我不能肯定，但是我還沒見過有解析解的混沌系統）。

一個沒有解析解的模型如 1 中所示都能有高精度的數值預測，更何況有解析解的模型呢？這個問題完全改變了三體問題本來的關注重點（混沌性）而把注意力移到了對某一個狀態的測量和對數學模型的建立上。它更適合被提在二體問題的背景下，因為假如三體問題有了解析解，那麼二體、三體、多體，只是量的區別而沒有質的區別了。所以希望題主理解我們的第一反應。

好吧，既然上面兩節文不對題，我又實在捨不得刪去，就當是擴展閱讀了。

盡我所能，列舉一下各種小的修正項：

3.1 星體之間的潮汐摩擦。

潮汐摩擦是一種星體之間由於引力造成形變進而產生力矩的效應，會導致星體自轉速度和運動軌道改變——這裡不適合用公轉概念。可以這樣理解潮汐摩擦：以地月係為例。月球對地球的引力，因為平方反比，在地球靠近月球一端較大，致使地球在指向月球的方向上產生了一個凸起。月球的公轉速度慢於地球的自轉，因為這個不對稱（來不及調整到新的方向），月球對地球產生一個使地球自轉變慢的力矩。相應地月球變快而軌道半徑變大。地月系機械能減少。

3.2 星體運動產生的引力波。

當蹭個熱點了。依照現有理論，引力波在物體產生加速度的時候產生。自然，星體會一邊運動一邊輻射引力波，整個系統會損耗能量。

3.3 星體自然演化。

如果有三顆恆星商量好了地時刻保持一個邊長變化而角不變的三角形，繞系統質心橢圓運動的話，等到了壽命，星體一言不合向外拋散物質、甚至爆炸，那麼會造成三個星體之間的物質交換。

3.4 星體極端靠近。

星體靠得足夠近的話，可能會進入長時間的雙星狀態，第三顆星繞雙星運動。兩顆恆星極端靠近可能導致中間形成物質流。

3.5 電磁場。

行星、恆星都可能有形如條形磁鐵磁場的磁場分布，其間存在相互作用力。此外，恆星會產生太陽風對行星的磁場形狀造成改變，可能影響相互作用。

3.6 文明的產生。

你並不知道系統里某一顆行星上會不會趁著某個比較穩定的運動狀態抓緊把生命和文明發展出來然後腦洞大開干這干那。

謝邀。

三體問題是物理上眾多沒有解析解的問題之一，它和物理上的誤差啊擾動啊都沒有關係。

它是混沌系統的一個代表，是數學層次上的不可解。

即使不考慮題主你說的這些東西，純粹用牛頓的萬有引力定律進行計算，且假設三體中有兩體質量足夠大以至於固定於兩點，而第三體質量足夠小，在兩體的引力作用下繞兩體運動（龐加萊當初就是證明了這種簡化版的三體問題依然不可能求出解析解），解析解依然是求不出來的，數值解依然是對於初始條件極度敏感的……

至於考慮這些誤差倒真沒必要，畢竟除了GR效應以外的其他東西的隨機性都太強了……

任意的多體問題，沒有數學上的解析解。

兩體問題很特殊，很友好，因為它有數學上的解析解。開普勒定律很便利的表述了它的解析解。

三體問題雖然沒有數學上的解析解，但某些符合條件的可以微擾。因此，數值上是可解的。

所以這裡其實涉及到「有／無解」的不同層面的判斷：

1、是否有解析解？（數學層面上）

2、如果沒有解析解，那麼是否有穩定、收斂、唯一的數值解？（數值層面上）

第1個層面，與誤差無關。

第2個層面，與誤差來源關係不大，與誤差的傳遞和放大關係很大。

誤差來自於我們學數學的基於現在的公理體系給不出解析解，準確的說，我們證明了按現在公理體系，解析解不存在。就算是真空中的球形雞也沒有解析解。

給你類比一下，你問為什麼拿尺子量不出標準的五厘米，是不是因為手抖，眼神不好，表面粗糙不好量等其他原因。實際上是因為尺子上根本沒刻度。

一般我們說的三體問題本身就是理想化的，三個質點在萬有引力作用下的運動問題。

三體問題不能通過簡單的守恆量求出解，當然，解是存在的，並不是無解。

如果你願意，完全可以定義一個超越函數來表示這個解，當然，這對解決問題並沒有什麼用，只是給微分方程的解起了個名字而已。

唔，π的π次方？沒有精確解，不代表這個數字不存在嘛。主要這是個數學問題。

無解不是因為誤差啊，你要是用數值解那要對具體的方法做誤差分析了，常用的積分類有很詳盡的誤差分析，來自數值的誤差

就計算機模擬來說。時間變數要儘可能的小但不可能無限小，誤差來自這裡。暴力演算法是我已知演算法里最精確的但複雜度n2，有快的演算法如barnes-hut複雜度nlgn忽略較遠質點的引力肯定是沒有暴力精確的。就模擬太陽系來說假設所有天體軌道半徑不變，時間變數設為一年會很明顯的看到所有的天體都在脫離太陽，設為1秒也是一樣的結果只是很慢罷了。三體問題天體應該都是按質點算的，不同於1體2體，大多沒有固定的模型，是混沌系統

其實我想說，世界上沒有一個科學問題存在通解。

所有的通解，只是你的研究精度不夠到達發現誤差的地步。

對三體問題。假設我們建立模型。

利用物理模型去觀察。

你會發現，每一次的解都不同。

假設我們在每一個存在分界點的地方開闢新的時間線去觀測。

你會發現

形成了宇宙

這就是為什麼我們經常會討論是否存在多元宇宙。

你的一個動作。包括我此時的打字，都在影響未來的歷史進程。

此刻已經是新的未來。

你要是認同量子理論，就會知道這個宇宙的任何物理量都是無法絕對準確測量的，因為測量本身就是對被測對象的一種破壞，所以測量總有誤差

三體是一個混沌系統，不論初始狀態的誤差有多少，只要不是絕對0，就會因為反饋導致的誤差積累乃至雪崩，造成計算得到的預測值完全錯誤

問題無解不一定是外部誤差的鍋，你也要考慮到問題自身的發展進程吧？

三體問題是自身無解，就像二元一次方程存在無實數解的情況(當然只是一個比喻啦)。

所以題主，知道不知道？

就算沒有誤差、也會很難算、因為最終解跟初始狀態緊密相連就像無限不循環小數、我隨機的給你它其中的一百位的排列、但是你並不知道這個無限不循環小數是怎麼計算得出的、你能預測出後面的嗎？根據數學定律、答案是不可能的！