為什麼有理數一定能看成是兩個整數的商？為什麼有理數一定等價於有限循環小數？

01-05

本質是這個結論：如果正整數m跟10互質，則存在正整數n使得10^n-1被m整除，換句話說，10^n=1 mod m.

而這正是群(Z/mZ)*上的拉格朗日定理。還可以得到結論：分母為m的有理數，循環節長度必整除phi(m), 其中phi(m)是m的歐拉函數。(特別地，如果m=p是質數, 則1/p的循環節長度整除p-1. 比如1/7的循環節142857長度就是6。然而1/13的循環節只有6位而不是12位)

有趣地，還可以考慮這個現象：記得1/7,2/7,...,6/7循環節存在輪換對稱嗎？把142857從中間開始數，比如285714, 428571,...，正是2/7,3/7,...的循環節. 本質上這是因為10是7的原根，任何n=1,2,....6都是10的冪(模7), 所以存在r使得

(10^r-n)/7是整數

於是10^r/7, n/7的小數部分相同，或者說，1/7和n/7的小數有錯位關係。

而n/13循環節就有兩個版本:

1/13=0.(076923) (括弧表循環節)

2/13=0.(153846)

3/13=0.(230769) (注意它是076923的輪換)

...其他要麼是076923的輪換要麼是153846的輪換。原因是10在(Z/13Z)*中生成的子群只有6階(這解釋了循環節長度為6)，index為2，所以如果一個數n不在10生成的子群中，就沒有10^r=n mod 13的關係，於是1/13和n/13循環節就不是輪換對稱了。

所以一般地，我們有: 分母為m的數最大循環節長度 * 循環節的種類數(up to 輪換對稱)=phi(m)

謝邀。

這個問題我小學時候也思考過：關鍵的問題是，整數的商和循環小數（有限小數看成循環節為0的循環小數）為什麼是一回事？已知一個循環小數，把他寫成整數的商，這個我當時是知道的，就乘10^n把循環節乘出來，再相減消掉小數部分就可以了。但是反過來呢？我當時一直沒想明白為什麼兩個整數相除，除出來一定是循環小數。後來還在網上提問，別人提醒我，列豎式除法的時候，因為餘數必須小於除數，所以餘數最多有有限種選擇，所以在列豎式列有限步以後餘數會重複出現，從這個節點開始，商的小數部分開始循環。

這算是比較初等的解釋。我猜 @Y Huang 說的跟我說的本質上是一回事，不過我現在腦子比較遲鈍還沒看出來。。

① 、兩個整數相除，如65/53。任何X/53的餘數最多不會超過53種，即0到52。65/53，就是65/53＝1餘12，120/53＝2餘14，140/53＝2餘34，得到值為1.22...

而每一個餘數，對應著一個有效數字。

一旦餘數重複，則開始循環，則有效數字也跟隨著循環。

一旦出現餘數為0，就除盡了。

所以65/53除出來的小數，要麼有限（餘數0），要麼最多支撐52節循環節後開始循環。

② 、這就是為什麼1/7＝0.142857循環，2/7＝0.285714循環……循環節永遠是這六個的原因。也是某些人能速算的原因。稍有差異地，X/3，分為0.3循環和0.6循環兩種，3與6是分開的，不像X/7，6個數連一起只構成唯一的一個循環節。

③ 、任何循環小數化成分數，只要除以999……即可。如0.5632循環，即5632/9999。0.78循環，即78/99。同理，657/999，5/9。為何？只需要把0.5632循環＝X，則X＝X/10000＋0.5632，X＝5632/9999。

我講的理解方法很土（高級的我也說不嚴謹，就算了），相信你能懂。

這是有理數的定義，分數形式的都能寫成有限或者無限循環小數

從前有一位俠士，他的外號叫天涯一劍楚風悲，後來他一劍刺翻千面人屠，拯救了整個武林，從此人贈外號千面人屠屠，雖然他還是覺得天涯一劍楚風悲比較古風……

有理數是無理數出現之後界定的概念，原來人家叫Q，quotient，商。

一開始是自然數，然後發現不能整除的情況，於是有了分數的表達方式，分數嘛，就是兩個自然數的商啦。(負數被接受也是很後面的事情了，我們略過。)

無論你用什麼進位，都一定有除不盡的情況，因為你無法使用一個包含所有質數的合數來做進位。(質數是無限的)

所以就涉及一個問題，用小數如何表示。

既然所有數都可以表示為商(當時的認知)，那自然就分為除得盡和除不盡的情況，除得盡的就是有限小數，除不盡的就是無限小數。

本來事情到這裡就完了，多少聰明人看著這個結論，心悅誠服，完全沒想到這裡面藏著一個大魔頭。

我們從劇透過的角度看一下，無限小數，又可以分為無限循環小數和無限不循環小數。

從構造主義的角度出發，無限循環小數非常好處理，我們假設有一個小數0.1234123412341234……很明顯他等於0.9999999……/(9999/1234)，也就是1/(9999/1234)，這是一個商，也就是一個現在的有理數。

但是，無限不循環小數，你卻無法這樣去構造，因為你不知道後面會出來什麼數，所以你也不知道要乘的數確切是多少。

開始人們以為只是無限太難處理，是自己太笨還想不到如何去構造，直至到有一個作死的年輕人，他對直角三角形的第三條邊產生興趣……

末了：其實我一直認為想要了解一樣事物，沒有比了解他的歷史更有效的途徑了，本文里提到的質數個數無限、無理數不是有理數(商)等等數千年前的結論的證明，都可以在作業幫查到，希望你不止於用一句「定義就是這麼規定的」來搪塞自己，一定要貪婪地去滿足自己的好奇心，祝好。

Field of fraction

題主別聽樓上瞎扯淡，不懂強行BB還覺得別人蠢…也是醉了。這明明是一個非常好的問題啊…不知道不如直說「我不知道」。

1.有理數的定義是「整數/整數」，由於有理數的定義就是這樣，所以沒有為什麼它能之說，而是能表示成這樣的才被稱作有理數。

2.後半段就不那麼顯然了，為何有理數一定是有限/無限循環小數？這是需要證明的，這已經不是定義了！！什麼「找倆數試試」的…還有什麼「這是定義，懂？」的，高等數學及格了嗎？你什麼時候見過一個數學概念有tm倆定義方式的？真當人智障嗎？

3.那為何我們在日常生活中依然可以隨意用呢？因為我們可以證明這兩個說法是等價的，兩個整數之比一定是無限循環小數，無限循環小數一定能表示為整數之比。

4.證明如下：http://www.zhihu.com/question/27813859/answer/38207302（這不是我寫的）

「有理數是整數的商」是有理數的定義。

有理數是有限小數和無限不循環小數需要證明。

我下面舉一些小學生都能看懂的例子。注意這些只是例子而不是證明；但是以下例子的思路都可以嚴格化。

有限小數可以寫作整數的比（簡稱分數）：0.1234=1234/10000

無限循環小數可以寫作分數：0.123412341234…=1234/9999 純循環小數等於循環節處以相同數量的9組成的整數

5.6123412341234…=(56+1234/9999)/10

分數寫成有限小數：

23/17。做豎式除法。

商1餘4 1.

商2餘6 1.2

商3餘9 1.23

商5餘5 1.235

商2餘16 1.2352

商9餘7 1.23529

商4餘2 1.235294

商1餘3 1.2352941

商1餘13 1.23429411

商7餘11 1.234294117

商6餘8 1.2342941176

商4餘12 1.23429411764

商7餘1 1.234294117647

商0餘10 1.2342941176470

商5餘15 1.23429411764705

商8餘14 1.234294117647058

商8餘4 1.2342941176470588

我們第一行的除法就是餘4。所以以下會和那時一樣依次出現2342941176470588，而後仍然餘4，再接著出現相同的2342941176470588，因此23/17=1.234294117647058823429411764705882342941176470588…出現循環。

出現循環的關鍵在於我們找到了兩次除法有相同的餘數。除非除到某一步除盡得到有限小數，我們會得到無數個餘數。而餘數必須小於除數，因此只有有限個。這樣在無限小數的情況下，我們做豎式除法時，總會在某步得到以前出現過的餘數，從此就會開始循環。因此分數總能寫成小數。

rational number, rational 意思是「可分的」，另外一個意思是理性的，合理的。英文不好的日本朋友把它翻譯成了有理數。

irrational, 不可分的，英文不好的日本朋友把它翻譯成無理，我們也就跟著叫無理數。

循環小數是有理數就是把循環的部分當成等比數列加起來可知.

有理數是循環小數這個問題等價於1/p (p是質數)是循環小數, 這個就是看(10^n) mod p是不是個循環. 因為模p的餘數只有有限個, 而n是無限的, 所以肯定有一餘數重複出現的時候, 而一旦有餘數重複, 後面的也跟著重複, 構成循環.

為什麼有理數一定等價於有限循環小數？

只更正一下題目：為什麼有理數一定等價於有限小數或循環小數？

循環小數屬於無限小數，有限循環小數是偽概念。根據定義，不存在有限的循環小數。你把一個有限小數後面添無限個0看作循環小數，那也是無限小數了。

有理數就是定義為兩個整數之比。

循環小數可以寫成等比數列的和。 a1…an*10^（-n），a1…an*10^（-2n），……。用求和公式就可以得到a1…an/（10^n-1），是整數的比，分母是n個9。可以展開驗證下。

m，n是整數，把有限小數看作循環數為0的無限循環小數。m/n若除不盡，餘數有n-1種，所以不超過第n位小數時，就會出現已經出現過的餘數，循環開始。

因為這是有理數的定義

有理數 national number

初一有理數一節里有講，怎麼把有限小數，無限循環小數用分數形式表現。另外現在是十進位的，如果不是十進位，某些數就是有限小數了，更容易寫成分數。

這是翻譯問題：

有理數: rational number;

ration: 比例;

rational number: 「成比例的數」 =&> 兩個整數的比；

無理數: irrational number;

irrational number: 「不成比例的數」 =&> 不能表示成兩個整數的比；

和1可公度的數叫有理數公度的時候自然就出來整數除整數

1.有理數q/p是帶有限循環小數。將此數十進位轉化為p進位，那麼q/p一定不出現循環小數。例如把十進位中的1/3換成三進位，那麼1/3（十進位）=0.1（三進位）；2/3（十進位）=0.2（三進位），即帶循環小數的數可以通過進位轉換化為不帶循環小數的數。

2.而無理數不能通過進位轉換變成一個有限位數。（如果有√2、e這種進位，我願意學習）

答友劉洋已經證明以下:3.在十進位下，分數和有限循環小數都可以轉換。

兩個整數的商定義為有理數，所以第一問顯然。對第二問，考慮到1=0.9999……，連1都是無限循環，所以任兩整數比本質都是無限循環，只為好理解，不算證明

你用小學的除法找幾個很大的整數除除看就知道這兩個是等價的而可以寫成p/q則是有理數的定義