為什麼不能用幾何圖形來證明數學定理呢？

01-05

高等數學中的一些定理若是用幾何圖形證明畫圖很直觀…為什麼一定要用邏輯推理去證明呢。記得柯西說過「不要讓幾何直觀蒙蔽了我們的雙眼」，為什麼？

謝邀。

直觀感覺有助於你理解、記憶定理的內容，而推理證明是為了說服別人（也包括你自己）相信這個命題真的是對的。

在推導證明的過程中，不僅要滿足於看懂證明的思路、過程，也要想明白命題中每一個條件各自起到了什麼作用，是不是不可缺少的，能不能減弱；結論是不是可以加強，等等。這樣的思考有助於你建立「正確的直覺」。

題主有興趣可以搜搜數學分析／實分析中的反例，感受下普通人的數學直覺是多麼不可靠。不要說普通人，就連拉馬努金這種天才都犯過直覺上的錯誤。他曾經認為素數定理中他提出的一個逼近函數總是小於（或者大於？）pi(x)，因為對比較小的x結論確實是這樣的。後來利特伍德嚴格證明了他的想法是錯誤的：利特伍德用數學證明的方法，嚴格證明了：那個逼近函數一定是在某個區間段比pi(x)大，隨後又比pi(x)小，並且來回震蕩無窮多次。但最關鍵的是，他並沒有給出符號產生變化的第一個x值的具體計算公式，只是證明了這個值一定存在，但實際上這個具體的數值大的離譜，以至於好像直到現在人們用電腦去算都算不出這個數到底是多少——這也解釋了拉馬努金為何會產生一開始提到的「錯誤的直覺」。（這個故事我記得不是很清楚了，歡迎校正補充）

首先，邏輯推理是數學中正確的推理方法。下面我說一下為什麼幾何圖形不能代替邏輯推理。我能想到的幾何圖形的不足有兩個。

第一，幾何圖形不能遍歷所有情況。

比如當你想求 $f:x ightarrow 1/x$ 在正無窮處的極限。你畫出 f 的函數圖像。幾何直觀告訴你，這個極限是0。實際上，你看到的只是「在正實數的某個區間內，函數 f 是單調遞減並且越來越靠近0的」。而我完全可以反駁你：你怎麼確定在這個函數圖像的右端某個你沒有畫出來的地方開始，函數值不再繼續靠近0了呢？當你回答了這個反駁，並用數學語言表達出來，其實就是在進行了邏輯推理，而之前的函數圖像其實是完全沒有必要的。

在這個例子中，因為你不能把所有的函數值畫出來，所以無法肯定函數在無窮處的極限。

第二，在某些情況下我們沒有幾何直觀。

現代數學是抽象的。深入學習到一定程度之後，我們不一定能為某個數學概念找到一個幾何直觀。我想不出很高深的例子，就說一個簡單的。考慮函數 $f:x ightarrow f(x)$ ，當x為有理數時函數值取1，當x為無理數時函數值取0. 你甚至都畫不出這個函數的圖像，又怎麼用幾何直觀來研究它的性質呢？

因此，幾何圖形是不能代替邏輯推理的。在數學中，有時候幾何圖形可以為嚴格證明提供一些啟發，但是要說一個定理成立，嚴格證明是必須的。對於提問者來說，也許將來數學只是作為一個工具來使用，在實際應用中也不總是需要嚴格證明，但是現在在數學課上嘛，培養數學的思維方式，我覺得也是有益的。

數學不是物理學、化學、生命科學。

數學不是實證科學。

數學與科學不同。狹義的科學主要包括物理學、化學、天文學、生物學等自然科學。科學的研究對象是真實世界，討論的一般都是具象的實體的性質。如果一套科學理論與真實世界不吻合，即使是這套理論本身是自洽的，那麼它也是錯的。從這個意義上講，通過實驗獲取確切的知識對科學來說是不可或缺的。如果將來發現某些實驗現象不能用現有理論解釋，則現有理論就要進行修正或推翻。

數學是人類構造的純粹抽象的產物。定義和邏輯是構成數學體系的兩大基石。數學家通常並不關心數學的概念與推導與現實世界有何聯繫。數學上的結論也未必能夠在真實世界中找到原型。不過隨著科技與社會的發展，一些原先被認為沒有實際意義的結果也會變得有意義。譬如物理學中「反物質」與二次方程負根的關係、數論與計算機圖形學的關係等等。

數學的定義與研究對象通常具有抽象性和一般性，一種數學概念可能包含無限多種不同的情形。例如有無數個自然數，有無數個質數，有無數種不同形狀的三角形。對一種數學概念所包含的一部分具體對象進行驗證所得到的認識，一定適合其他情況嗎？這是藉助有限的實例回答不了的問題。因此，一般地，數學命題的正確性不能通過不完全歸納加以論證，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括證明。

數學證明的實質是從一系列定義、公理、定理出發，通過演繹推理得出結論。

儘管實證科學最終由實驗來檢驗，但數學作為一種手段，在所有領域都是可以使用的。

不要被幾何直觀慣壞的思維

手頭沒有實體書也懶得找電子版。你去翻翻張築生先生數學分析新講第三冊最開頭微分幾何初步有個經典反例，如何定義曲面的切面，有兩個圖。

請看歐幾里得原本

華羅庚說

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯繫莫分離。

考研看張宇視頻印象很深刻的一句話。

人類數學史上出現過的幾乎所有問題、謬誤、悖論等等，基本都源於直覺造成的某種誤導。

上述這種觀點可能會讓不少人覺得很難接受。但事實卻是如此，最典型的例子莫過於「三次數學危機」。

第一次數學危機是由於畢達哥拉斯學派發現了無理數的存在，而在此之前他們相信所有數值都能表示成兩個整數之比（這樣的數現在被稱為有理數）。由於現在這個時代受過教育的人們都普遍接受了無理數的概念，所以並沒覺得這裡面有什麼大問題。

但是請仔細回想一下，關於這個論斷：

任意數都能表示成兩個整數之比。

單憑直覺，你無法證明它，也無法推翻它。後來有人發現並證明了這樣一個結論：

2 的平方根無法表示成兩個整數之比。

翻譯成現在通俗的語言就是「 $sqrt2$ 是無理數」，這個結論的證明，採用的是抽象但嚴格的邏輯推理，而非直覺。

於是你可能會好奇：既然這個結論憑直覺無法證明或推翻，那麼人們為什麼要關注它，為什麼不能忽略它、跳過它？

答案是：因為那個時候的數學裡面，有很多其他的重要的定理和工具都依賴於這個結論，或者說都依賴於一個非常基礎、必須預先解決、但憑直覺又難以解決的問題，就是

數是什麼，顯然整數並不是數的全部，那麼除了整數外到底還有哪些數，對所有可能遇到的數有沒有可能給出一個統一的概括/定義/描述？

例如，思考一下如何計算指數冪，如 $2^n$ 。如果 $n$ 是整數，冪 $2^n$ 的意義是很簡單的；但是如果 $n$ 不是整數，問題就麻煩了。接下來人們發現，如果 $n$ 不是整數，但是 $n$ 能寫成兩個整數的比值，這個問題也不難解決；但是如果 $n$ 壓根就不能寫成兩個整數的比值，那這個冪就基本說不清楚該怎麼算了。

這個問題即使放到今天也不算簡單，比方說如果問 $2^{frac23}$ 等於多少，現在的中學生都能答出來是 $4$ 的立方根；但是如果問 $2^{sqrt2}$ 是多少，某乎用戶群里的絕大多數人恐怕都只能按計算器，而說不出個所以然。

所以問題來了： $n$ 不能表示成兩個整數之比時，指數冪 $2^n$ 就說不清楚該怎麼算，那麼我們考慮一下什麼樣數不能表示成兩個整數之比呢？你仔細研究了半天，發現完全沒有頭緒，好像找不到這樣的數。並且看上去，由於兩個整數都可以無限大，因此用整數比例表示出來的數可以分布的無限密集。於是，直覺告訴你，似乎所有的數都可以表示成兩整數的比值。

2000 多年前的畢達哥拉斯學派就在這個直覺的基礎上建立起了一套完整的、邏輯的、優雅的數學體系，但同時也埋下了錯誤的種子，最終還是被學派內部的自己人發現的。

第二次數學危機的故事就更有意思了，源於對歐幾里得《幾何原本》中第五公設的研究。歐幾里得第五公設現在通常稱為「平行公設」（或「平行公理」），它有一個等價的敘述是

過直線外的一點，有且僅有一條直線與已知直線平行。

（歐幾里得《幾何原本》原文的陳述方式比這個要冗繁得多）平行公設，以及由它引出的「平行」概念是整個歐式幾何學的重要基石。然而，平行公設所陳述的平行關係，以及平行線間的距離關係、角度關係，都是基於直覺給出來的。

學過射影幾何或者微分幾何的同學（或者哪怕只讀過數學史的同學）應該都知道這個故事的後續了：否定平行公設並不會導致任何矛盾，反而會得到別的、不同於歐式幾何的、新的幾何學。

沒有人能真的跑到無窮遠處，去驗證兩條平行線是否一定不相交，距離是否保持不變，同旁內角是否還互補。因而有關平行線在無窮遠處有何特點的一切論斷都無法依靠直覺去證實或者推翻。而我們可以假設平行線並不存在（即任意兩條直線均有交點），也可以假設過直線外的一點有不止一條直線與已知直線平行，無論採取哪種假設都不會導致矛盾，而是會建立新的非歐幾何學。而更有意思的是，這些非歐幾何學不僅僅是在數學上有用，在後來的物理學中也大放異彩，因而當前的科學理論通常認為它們跟歐式幾何一樣真實。

歐幾里得第五公設的直覺，這次並沒有導致謬誤，但是卻限制了想像力。

第三次數學危機始於羅素悖論，個人水平所限，不敢對這個話題做過多的發言。但有一些側面我覺得值得分享一下。

有一種被廣泛接受的觀點認為，羅素悖論的根源在於康托提出的「概括原則」是錯誤的。概括原則敘述如下：

對於任何性質 $p$ ，都存在一個集合 $A$ ，它恰好由具有性質 $p$ 的所有元素組成，即 $A={ x | p(x) }$ 。

這個原則直觀上看上去也並無問題，建立在這個原則基礎上的集合論，會產生羅素悖論。

另外再舉一個初等幾何的例子，有其他答案中提到過下面這個證明。

如圖 $riangle ABC$ 中， $AE$ 是角平分線， $DE$ 是底邊垂直平分線。過點 $E$ 作 $EF perp AB$ 於 $F$ ，作 $EG perp AC$ 與 $G$ 。

則由角平分線的關係知 $AF=AG$ 、 $EF = EG$ ，由垂直平分線的關係知 $BE = CE$ ，於是 $mathrm{Rt} riangle BEF cong mathrm{Rt} riangle CEG$ ，因此 $BF= CG$ 。

所以， $AB=AF+BF=AG+CG=AC$ 。

這樣我們就憑空證明了任意三角形都是等腰三角形，如果再加一個「同理」，就可以證明任意三角形都是等邊三角形。

這個證明顯然是不對的，但是憑直覺基本不可能找出它到底錯在哪裡。

舉了這麼多例子，只是為了說明一點，就是直覺和直觀，可以幫助你獲得靈感、加深理解，但是它不能替代嚴格的證明；甚至如果運用失當，直覺有可能會導致錯誤，並且由於直覺而導致的錯誤非常難發現，改正的代價極高。

但是這並不意味著我們要完全放棄直覺和直觀，畢竟邏輯和推理並不是萬能的。

以上

因為你用的方法也不叫幾何，頂多算畫圖。如果你能用幾何裡面仿射的方法證明的話，當然也是可以的。

因為幾何學裡面都沒有圖，你想微積分裡面有？

剛開始學拓撲的時候，

開: 畫個小圈圈好直觀

閉: 補集是開 so easy (*&>.&<*)

度量: 不就是距離嘛 ( ????? )

緊緻: 卧槽 (?? . ??)

稠密: 尼瑪 (?_?)

...

高中數競同學曾經給我們講了個例子，具體我記不得了，大致意思是用幾何作圖的方法證明了一個極其荒誕的命題。大家都知道肯定不對，但都看不出來哪錯了。最終答案是畫圖沒畫准，某個交點該在三角形外，但是想當然地畫到了三角形內。不知這個例子能不能解答題主的疑惑。幾何的確直觀，但依然不是完全嚴謹。只要有一點點的漏洞，就完全不可信。

數學是一個整體。什麼方便用什麼，什麼有啟發性就用什麼。

有本數學書介紹，有個數學家很會用幾何的思路證明定理，但他的做法沒有成為主流。

本問別的回答說，幾何證明一旦圖畫錯了，容易得出荒謬的結論。這也是一個因素。

幾何法最大的好處在於直觀，最大的壞處在於直觀

時代在變。