為什麼Banach不動點定理需要壓縮映射，而Brouwer不動點定理只需要連續函數(未涉壓縮)就行了？

想問問有沒有什麼直覺的解釋。

沒想到什麼直覺的解釋。。。

我覺得雖然兩個定理都在討論不動點，但是還是有些區別的。

首先從成立條件來講，雖然 Brouwer fixed-point theorem 不要求contractIve mapping，但是要求

• 函數定義域是compact and convex的，

• 還函數本身是連續的

而Banach fixed-point theorem 並不需要以上兩個條件，所以不能說 「Brouwer不動點定理只需要連續函數」，（題主的表述方式貌似顯得Banach fixed-point theorem 需要的條件更加嚴格）

另外，我個人感覺Banach fixed-point theorem 給出的結果更強，

• 首先Brouwer fixed-point theorem只是說至少存在一個不動點，但是不知道有幾個。而Banach fixed-point theorem明確表示：存在且僅存在一個！

• Brouwer fixed-point theorem 只是說存在，沒說不動點在哪裡，也沒說怎麼找到這些不動點。但是Banach fixed-point theorem給出了一個很簡單的algorithm：randomly initializing and iteratively updating。說實話第一次看到這個結果時簡直嚇了一跳。。。

另外，作為一個工科狗，好像很少看到Brouwer fixed-point theorem能提供哪些有用的結果 （當然在理論方面它是很重要的），但是Banach fixed-point theorem是馬爾科夫決策過程、Q-learning中的經典演算法的基礎！

弱雞求輕噴……

我在自己的專欄介紹了brouwer不動點：Banach空間和不動點定理（完）：有趣的Brouwer不動點 我在下面把其中的內容貼出來，方便大家看

下面是直觀解釋

這個不動點定理的證明方法有好幾種：

組合方法：

分析and幾何，下面其實包含了兩種相近的思路，只是一個用微分形式，一個用變分法：

拓撲方法：