不穩定系統的頻率響應（伯德圖）的物理意義是什麼？

01-05

我們知道對於穩定的系統，伯德圖可以描述系統的正弦穩態響應特性。對於不穩定系統，系統響應是發散震蕩的，但我們依舊可以畫出它的伯德圖。那麼此時伯德圖的物理意義是什麼呢？

謝邀 @小心假設

結論放前面：對於不穩定系統和一個正弦輸入，伯德圖描述了理論上存在（但不穩定）的一個正弦系統輸出與正弦輸入的幅度和相位關係。

可以從兩個角度去理解這個問題。第一個角度，考慮一個不穩定系統，輸入u(t)輸出x(t)，和它的一個穩定閉環系統；比如系統是G(s)=1/(s-1)，比例控制器C(s)=2，單位負反饋，則閉環穩定。那麼此時，假定給一個正弦的參考輸入r(t)，由於閉環穩定，閉環系統各處的信號都會收斂到一個正弦信號，包括u(t)和x(t)。定義u(t)和x(t)收斂到u*(t)和x*(t)，可以猜想此時伯德圖一定描述了u*(t)和x*(t)的聯繫。

第二個角度，不妨考慮這個問題：假如沒有負反饋和控制器，那麼系統一定不存在一個有界的解嗎？剛才的那個x*(t)不就是有界的解嗎？假如我給系統輸入剛才的u*(t)，系統的輸出會不會就是x*(t)？答案是肯定的，只不過條件太苛刻，在現實世界（即便是模擬里）都很難實現。這個條件就是系統狀態的初值x(0)必須和x*(0)一致。

這一點從微分方程和狀態空間的角度更好理解，對於剛才那個系統，狀態空間的實現是xdot=x+u。考慮正弦輸入u*(t)=sin(t)和正弦輸出x*(t)=1/sqrt(2)*sin(t-3/4*pi)，代入系統的微分方程發現等式成立。這意味著x*(t)確實是系統在正弦輸入u*(t)下的解。而x*(t)的確是正弦的。可以猜想伯德圖一定描述了這樣的u*(t)和x*(t)的聯繫。

需要注意的一點是，x*(t)這個解是不穩定的，即所有起於x*(0)周圍的系統的解都是發散的。所以雖然理論上存在，但是無法在現實中觀察到。反觀穩定的系統，它對應的解x*(t)是穩定的，即所有起於x*(0)周圍的系統的解都會收斂到x*(t)，這就是為什麼在穩態下我們能看到一個長得很像x*(t)的曲線。

總而言之，我的看法是，不論系統是否穩定，伯德圖反映了一個系統受正弦激勵時理論上存在的一個有界正弦解與正弦激勵的幅度相位關係。這裡提出了兩個思路可以幫助理解不穩定系統伯德圖的物理意義。至於嚴格的數學證明，我想其實並不難，對於任意的線性系統和正弦輸入，找到合適的系統初值使得微分方程解中的不穩定分量的初值為零即可。可以參考math stackexchange上這個問題的答案：control theory。

*出於敘述方便，我沒有區分系統狀態和系統輸出，都稱作x，這個並不影響結論。

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謝@小心假設邀。我看了看問題好像就是我一開始發群里的哈哈哈，首先真的很感謝大家 @小心假設@Kaixiang Wang@李崇（還有人不知道ID@ 不出來了）對這個問題的所有討論和解答。 @Kaixiang Wang 針對狀態空間的情況做出了非常合理的解釋，我按照自己的粗淺理解結合大家的討論，嘗試給出一個經典控制視角的解釋。水平不高，有錯誤懇請各位指正拍磚。

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不穩定/穩定系統的系統函數，含有虛軸或者右半平面極點。

以階躍輸入為例分析：

不穩定的系統，輸出響應含有指數增長因子，一階系統和高階過阻尼系統直接發散，高階欠阻尼系統的震蕩最終會發散，沒有穩態，最終趨於系統的物理極限；

而穩定的系統，輸出響應含有負指數衰減因子，一階系統和高階過阻尼系統直接增長到穩態，高階欠阻尼系統的震蕩由於阻尼的存在一定是衰減的，最終趨於穩態。

那麼，既然不穩定的系統根本沒有穩態，它的頻率響應特性（波特圖）是什麼呢？為什麼我們在設計控制系統的時候畫了那麼多不穩定系統的波特圖？

熟悉電路和信號與系統教材的朋友應該很熟悉在這兩本教材體系下，系統函數H(s)的定義：針對因果穩定系統，輸入為正弦量的時候其輸出一定是穩定的同頻正弦量，因此可取s=jw，拉式變換可以變為傅里葉變換，系統函數H(s)=H(jw)就可以描述系統正弦穩態響應對於輸入的頻率響應，輸出對於輸入正弦的幅度衰減和相位滯後就是系統函數頻率響應的物理意義。

在這種體系下，我們說，不穩定系統確實是不存在頻率特性的。那麼在自動控制中為什麼不穩定系統的頻率特性存在意義？究其本質，其實在於不穩定系統令s=jw以後，它代表了什麼意義。

我們都知道，針對拉普拉斯變換，復頻域變數s=σ+jw用於描述傅里葉變換無效的含有不超過指數增長速度因子的信號，其實這種指數增長的因子對應了s平面的實部。回想一下，拉普拉斯變換是有收斂域ROC的，不穩定系統表達式含有非左半平面極點，它的拉式變換表達的ROC本身就取不到虛軸，也就是說s=σ+jw的σ不能為0，我們不能讓s=jw從而變為傅里葉變換。我認為這裡的本質原因就在於，不穩定系統的響應含有實部σ對應得指數增長因子的不穩定分量和虛部w對應的正弦震蕩分量的穩定分量。但是，如果取s=jw畫出來的「頻率響應」，也正是虛部w對應的正弦分量的穩定分量的頻率特性。

真正有趣的是，既然不穩定系統的輸出會發散，那麼哪來單獨正弦分量的穩定分量？

對此給出一個非狀態空間的例子說明這個問題。先給出結論：存在一個特殊的輸入，使得不穩定系統的輸出不發散，從而在穩態和這個特殊輸入反映了該不穩定系統的頻率響應。

輸入為一個正弦輸入R(s)，開環不穩定環節G(s)為10/(s-1)，但是它閉環穩定！示波器1通道為閉環系統的穩定輸出Y(s)，通道2為直接把閉環誤差信號E(s)作為特殊輸入經過不穩定環節G(s)的輸出也是Y(s)，通道3為直接把正弦輸入R(s)經過G(s)的不穩定發散輸出Yn(s)，通道4是比較閉環誤差信號E(s)和輸入正弦R(s)的波形差異。需要說明的是，這個開環不穩定閉環穩定的系統是存在穩態誤差的，也就是說Y(s)不能完全跟蹤R(s)，但它的穩態是一個穩定的正弦波形。

我們直接來看穩態響應：（通道4的藍線為誤差E(s),紅線為輸入R(s)）

可以看到，輸入峰值5V的正弦波，閉環穩定系統輸出Y(s)穩態為峰值1V正弦波，誤差E(s)穩態也為一個正弦波，且通過通道2波形可以驗證，E(s)直接經過不穩定G的也為輸出Y(s)，且它們的穩態關係恰為不穩定G的s=jw時的頻率響應！幅值衰減和相位滯後可以和G的頻率特性對應。

那就很奇怪了，通道3驗證了給不穩定G直接輸入正弦R(s)輸入是發散的，為什麼輸入E(s)輸出就是有界的？仔細來看看這個E(s)是不是全時域都是正弦，顯然在暫態E(s)不是正弦！

如圖可以看到，E(s)從0開始慢慢由一個畸變的正弦變化到穩定正弦，正是這樣一個特殊的輸入波形使不穩定系統G的輸出Y(s)有界。但我相信，這種特殊波形具體表達式是較難計算的，且一旦有微小偏差，輸出會大相徑庭，這和 @Kaixiang Wang 在狀態空間得出的結論實際上是統一的。不穩定系統的頻率特性描述的正是在閉環穩定系統下，不穩定環節對應輸入輸出的穩態頻率響應，此時恰恰沒有不穩定的指數增長分量，只剩下穩定的正弦穩態分量，用於指導穩定的閉環控制環路設計。

其實，經過推導我們可以清楚地看到E(s)究竟特殊在什麼地方。對於開環為G的單位負反饋閉環系統T，輸入R(s)到誤差E(s)的傳遞函數由此推出：

設G=B(s)/A(s)，其中A(s)恰為不穩定極點

經過等效變換，可以看到G的不穩定極點被一樣的非左半平面零點抵消了，也可以認為特殊的波形E(s)的拉普拉斯變換表達式會含有一樣的零點，把不穩定G的不穩定極點抵消了，導致最後的輸出沒有不穩定分量。

穩定或者不穩定，關鍵是系統里的阻尼，他是「非保守力」。極點實部小於零，非保守力起到消耗能量的作用。極點實部大於零，對應的非保守力起到補充能量的作用。

不穩定系統的bode圖裡同樣可以看出帶寬，高低頻特性。物理上不難理解，就像加速度和減速度。