估算未來期權的隱含波動率有哪些方法？

01-05

比如我做一個6月call與7月call的跨期~
想知道6月行權時7月call的大概價格~
用什麼方法估算隱含波動率比較合理？
歷史波動率好像不行~用IVIX？

感謝 @李宇軒糾正，做了點修改

這個問題 @Lee Sam 邀了我，感覺是什麼重擔壓到了我身上,波動率選擇是個大問題，不得不來一偏長篇大論了。

首先波動率確實分為歷史波動率和隱含波動率。如果明確是隱含波動率的話有這麼幾個要說的：

基礎定義

應 @李宇軒糾正，這裡做一點嚴格的說明：

關於所謂model 導出的波動流程，我們把波動率分為這麼幾種：

如果波動率中帶有「局部特徵」，也就是有固定參數導出的「波動率函數」，比如給波動率一個 local term

$sigma( heta_t)$

那麼我們把這樣的波動率叫做local vol；

如果這個波動率的local term中含有隨機項，比如：

$sigma( heta, W_t)$

那麼我們管這樣的波動率叫 stochastic vol

如果一個波動率（其本身可以帶有local參數），其帶如指定模型之後衍生品價格等於市場價格既滿足：

$sigma( heta) = argleft{ c_{model}(sigma( heta),w)=c_{market} ight}$

w表示模型除了 vol以外的參數

我們把這樣「反算」出來的波動率稱為『implied vol"

從定義可以看出，這幾個東西互有交集。stochastic vol 可以作為特殊的 local vol，而implied vol 本身很可以是local vol之所以叫隱含，是因為他能正確得出模型的結果

在業界，implied vol這個名詞特指BS implied vol

首先是Dupire和Derman所創的local vol體系。

題主所謂的6月波動率和7月波動率其實講的是到期日T對波動率的影響（還得加上，那麼在BS體系下，我們首先有一組Dupire equation：

$frac{partial C}{partial T} +rKfrac{partial C}{partial K} -1/2sigma(T,K)^2 K^2frac{partial^2 C}{partial K^2}$

根據這個，只要我們求出了對T和K的這幾個導數，我們就可以反算出波動率：

$sigma(T,K)^2 = 2frac{frac{partial C_{t}(s,T,K) }{partial T}+rKfrac{partial C_{t}(s,T,K) }{partial K}}{K^2 frac{partial ^2C_{t}(s,T,K) }{partial K^2}}$

這幾個對T，K的敏感度的估計比幾個Greeks要容易，因為我們不假定T和K服從什麼分布，只需單純的改變變數做敏感度分析就可以了；

Dupire公式的缺點很明顯：1，依賴BS體系；2，需要對價格有長期連續的觀測還不允許有大的bid-ask spreads； 3，某種意義上不符合無套利；

然後是一般implied vol校準數值法：

原則上，任何模型的波動率，只要我們認為只要存在標的期權，市場波動率一定正確(這是句廢話）那麼我們可以用一些參數法去逼近 $C_{market} -C_{model}({sigma} , heta)$ ，其中 theta代表除了sigma以外的所有參數的參數向量：數值法有很多，牛頓法，二分法，非線性最小二乘，梯度下降。這裡介紹最小二乘下的梯度下降：

我們把損失函數（cost function) 定義為市場上所有產品和理論模型的均方差（MSE）：

$J( ilde{sigma} , heta) =frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{(C_{market} -C_{model}(sigma , heta))^2 }$

這裡選擇兩個參數的意思是，sigma要和其他所有參數一期畢竟才具有意義

或者我們直接估計得是參數向量

$J(w) =frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{(C_{market} -C_{model}(w))^2 }$

然後對一般這樣的均放函數是凸的（非凸的是另一個重大課題，我沒有過多研究）

所以對沒一個參數，都有

$w_j =w_j =alphafrac{partial J(w)}{partial w_j}$ 這裡需要對每個參數偏導的雅可比矩陣，alpha為一個可控速率

國外主流的波動率模型的模式

如果不追求implied vol本身，而是整個模型定價的準確性，那麼stochastic是最佳選擇

1.給波動率一個stochastic term，然後把波動率的 stochastic term 和資產價格一起作為兩個過程，一起尋找中性測度;

2.找到中性測度之後建立相關隨機過程（correlated stochastic process），最典型的heston是這樣：

$dS_t =rS_tdt + sqrt{V_t} S_t d ilde{B_t}$

$dV_t = alpha ( ilde{ V}_{long} -V_t)dt + bsqrt{V_t} d ilde{ W_t}$

$d< ilde{B} , ilde{W}> _t =<br /> ho dt$

最後一項代表交互變差（就是相關性），以上所有過程默認都在中性測度里

可以看到這裡的vol 有local term，只不過這個local term不但是個遞推式，還帶著隨機參數

這個過程的特徵函數有半閉解，半閉解重的參數可以直接用來做calibration

這個領域是兩個無底洞，深不見底。由於認為波動率的「自波動」和資產的波動有相關性，需要一個完備的市場才能構造他們的中性測度。

可以參考歷史波動率的情況

當然，歷史波動率不是完全不可以用的。如果市面上沒有已有的波動率相關衍生品的時候可以參考歷史波動率。但是要注意這麼幾個問題：

1.首先我們計算的收益波動率，不是價格波動率；

2.這個波動率必須帶有「槓桿效應」（時間序列里能描述vol smile的就是槓桿效應）；

3.可以參考多期滯後參數，不過一般不會超過很多期

4.可以參考一些歷指標比如VIX，但是參數增加後，為了避免模型顯著性過低，似然有效性檢驗（卡方檢驗）和貝葉斯診斷（BIC）一定要做好

謝邀。這方面我不熟悉。我所聽說的方法有:

1. Garch

2. 假設波動率會在曲面上往下滑，也就說6月行權時7月的波動率跟現在6月的一樣。

3. 假設波動率不變。

4. bootstrap.

更新。

@黑貓Q形態的定義跟市場上的定義不太吻合。

從industry的角度說，可以從市場上拿到的vol有兩種：Realized / Historical vol 和 Implied vol.

Realized vol 跟option無關，純粹用underlying S計算得出，有non parametric (model free) 和parametric (GARCH 等) 兩類不同的演算法。我們一般不會用它來做option pricing, 原因見下

Implied vol (IV)或者叫market vol是用市場上的call put option價格帶入BS公式反推出來的volatility( $sigma$ )，它跟價格有著一一對應的關係，因此大部分vanilla option市場的market quote就是implied volatility。雖然IV可以看做是BS model里的 $sigma$ ，但是從某種程度上說，in practice，IV是model free的：就是說無論你用什麼複雜模型，IV都是指你算出的價格用BS公式反推回去得到的 $sigma$ ，這時我們會把這個叫做model (implied) vol。一般來說我們只把vanilla call put推出的 $sigma$ 叫做implied vol。它也是我們做option pricing最好的選擇。原因是從dynamic hedging角度可以證明，用IV hedge我們的PL將會只跟gamma和（forward） realized vol有關，而用Historical vol的話還會多出一個delta相關的項

題主想要問的其實是forward implied vol，如果只是ATM vol的話，在volatility term structure 上面直接interpolate是沒問題的。即 $sigma_{t,T}=sqrt{frac{Tsigma_{0,T}^2-tsigma_{0,t}^2}{T-t}}$ ， $sigma_{0,t}$ 是現在觀察到maturity為 $t$ 的implied vol。但是考慮skew/smile的話就不準確，這時forward skew不能忽略，可以類比於forward start option或者cliquet的定價，Heston 或者更複雜的 stochastic local volatility model是一個好的選擇（見下）。

另外 @黑貓Q形態提到的其他vol都是BS模型的拓展, 在BS里 $sigma$ 是一個常數，在其他模型里有自己的參數且都是calibrate出來的：

Deterministic volatility： $sigma(t)$ 是且只是時間 $t$ 的函數

Local volatility： $sigma(t, S_t)$ 是且只是時間t和underlying $S$ 的函數

Stochastic volatility： $sigma_t$ 有自己的dynamic，即 $sigma$ 是另一個（與underlying $S$ 的不同）的 $W_t$ 和時間t的函數，但一般不是 $S$ 的函數

Stochastic Local volatility： $sigma(t, S_t,W_t)$ 是時間 $t$ 和underlying S和另一個 $W_t$ 的函數

Uncertain volatility： $sigma$ 有不同噠概率取不同的值

原答案：

historical vol肯定不行，option pricing 不會用到。

直接interpolation也不行，因為無法反映volatility dynamic。

local vol 也不行，理由同上。

可以用stochastic volatility model，可以用vix。也可以一起用。

我覺得還是取決於樓主想用什麼期權吧。如果不是path dependency 的，比如simple option，BS還是可以的。如果path dependency的話，可以考慮複雜一些的模型. SLV是可能是最精確的，但是過程比較複雜，對於有些path dependency的期權用其他(LV, SV）也可以得到相近的結果

Interpolate total variance (sigma squared t) with available market quote.

本人想要通過期權價格中的隱含波動率來確定標的期貨合約的未來價格可能達到的高度和範圍，這個方法是否可行？那期權價格中的隱含波動率如何獲得？