粒子波函數與粒子的場是一回事兒嗎？

01-05

學習相對論量子力學和量子場論時，一直有一個疑惑「波函數與場是一回事兒嗎？如果是為什麼要有兩個稱謂？；如果不是，為什麼波函數方程和場方程具有相同形式？」最終請大牛解釋一下相對論量子力學與量子場論的關係。學藝不精，也許表述有不嚴密之處，還望指正。

我覺得既然要跟單粒子波函數比，就不應該拿場算符，而應該拿出傳播子來。傳播子是場方程的格林函數，因此當你思考場方程和波函數方程的相似性時，可以轉化為思考傳播子和波函數方程的關係。

自由傳播子里只有單粒子波函數的信息（mass pole），此時不難有傳播子也是波函數方程的格林函數。在加入相互作用後也會有有複合粒子（pole），不穩定粒子（resonance），多粒子態（branch cut）等新的信息（Kallen-Lehmann spectral representation），這些量子修正都是單粒子波函數所沒有的新東西。考慮相互作用下的傳播子，必定不完全滿足單粒子波函數（只有單粒子 pole 的部分滿足）。所以傳播子對於單粒子波函數大致上是包含關係。

同樣的類比在凝聚態的非相對論性勢場中應該也適用。更一般的，可以考慮多點格林函數，或者稱為關聯函數，它們與希爾伯特空間中的多粒子態波函數應該也是類似的關係。事實上比起場算符，這些關聯函數要更物理得多。

綜上，在量子場論的語言中，特別是粒子數表象不好用的時候，比起單粒子或多粒子波函數，我們選擇關聯函數來描述物理，而場算符只是構造關聯函數的基石，未必有很明確的物理意義。

純粹抽象意義上的場，指的是以時空為定義域的某種函數。從這個角度看，單粒子波函數就是一種「場」，而單粒子薛定諤方程就是這種場的「場方程」。

然而在物理上，「場」時常專指物質的一種特定存在形式，具有局域的能量、動量密度。從這個角度說，單粒子波函數並不是「場」。

上面是簡單的回答。實際上這個問題非常複雜，推薦題主可以看看曹天予的《20世紀場論的概念發展 (豆瓣)》.

先說一個大家都知道的結論：粒子和場不是一回事兒，粒子只是場的激發態而已。場是無處不在的，只是現實空間中場一直處於基態大家感覺不到而已。

再回看題主的問題，題主既然學過場論，那我們不妨就用場論的語言來說幾個例子。比方說繆子不穩定，會衰變成電子並放出中微子。好了，問題來了，繆子通過什麼衰變？答案是相互作用。但既然是相互作用，那繆子和誰相互作用呢？當然是和電子以及兩種中微子相互作用了。寫出相互作用矩陣元，這一點是非常清楚的。但是，不覺得奇怪嗎？繆子沒衰變前，哪裡來的電子和中微子呢？當這些粒子存在時，繆子已經衰變了啊！

量子場論告訴我們，和繆子相互作用的是這些粒子所對應的場，繆子和這些場相互作用，把自身的能量傳遞給電子場、中微子場等，讓它們激發出粒子。而自身則在能量傳遞後完成後退激發，於是繆子消失了，出現了電子和中微子等。

題主清楚了吧？波函數描述的是粒子的行為，而不是場的行為。場和粒子是不同的，場的行為由場方程來描述。

粒子波函數與粒子的場是一回事兒嗎？
學習相對論量子力學和量子場論時，一直有一個疑惑「波函數與場是一回事兒嗎？如果是為什麼要有兩個稱謂？；如果不是，為什麼波函數方程和場方程具有相同形式？」

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粒子的波函數跟粒子的場不是一回事。

從數學上看，粒子的場是一個希爾伯特空間的算符，更加準確地說，粒子的場是一個希爾伯特空間算符值的分布。我們常常把場算符寫成希臘字母的形式，例如 $psi(vec x)$ 。

而粒子的波函數有好多種含義，一般是指粒子的態矢量在表象上的投影，其中態矢是希爾伯特空間的向量。譬如，態矢量在動量空間的投影叫做動量空間的波函數。在量子力學中，坐標表象下的波函數，一般直接稱為波函數。然而在量子場論中，坐標表象是不存在的（這是因為相對論性的粒子是不可以被局域化的），因此坐標表象的波函數是不存在的。而「動量空間」的波函數仍然存在。不過，這裡的「動量空間」一般是指福克空間（它一般定義為動量算符和動能算符的對角表象），其包含多粒子乃至無窮粒子表象。因此一個相對論性粒子的波函數應為：

$|psi_sigma(P) angle = sqrt{Z} + sum_{n=1}^infty int ig[mathrm{d}mu_nig] psi_sigma(vec k_1, sigma_1; vec k_2, sigma_2; cdots; vec k_n, sigma_n)|vec k_1, sigma_1; cdots; vec k_n, sigma_n angle$ 這裡相空間體積元可以定義為：

$ig[mathrm{d}mu_nig] = prod_{i=1}^n sum_{sigma_i}frac{mathrm{d}^3k_i}{(2pi)^32k_i^0} 2P^0(2pi)^3delta^3(vec k_1+vec k_2 + cdots + vec k_n-vec P)$

上式中 $psi_sigma(vec k_1, sigma_1; cdots; vec k_n, sigma_n)$ 便是該粒子的n－體波函數。這個函數做傅立葉變換有時候也叫做「坐標空間波函數」，或叫直接稱為多體波函數，只是相應的坐標表象是不存在的。

為了寫作洛倫茲協變的形式，一般場算符會用在海森堡表象下。在此表象下，算符遵守海森堡方程： $partial_t psi(vec x, t) = i[H, psi(vec x, t)]$ 。量子化保證了該方程與歐拉－拉格朗日方程（即運動方程，又叫場方程）的相融性，因此，解場方程也是足夠的。

而在默認的薛定諤表象下，態矢量的演化遵循薛定諤方程： $i partial_t |psi angle = H |psi angle$ 。

從物理上看，場算符是動力學體系（場論）的廣義坐標。類比與單粒子量子力學中的 $hat q$ 。而粒子的態矢是哈密頓量的本徵態，其波函數具有概率幅的解釋。兩者是完全不同的。實際上，同一動力學體系（場論）中可能有不同的粒子，其波函數是不同的；而其場算符是完全相同的。譬如，在量子電動力學中，電子、電子偶素(positron)、光子具有不同的波函數，而場算符只有兩個即電子場和光子場，N多電子偶素不具有單獨的場算符。

參考：

量子場論里的Hilbert space 是什麼？有什麼物理意義嗎？ - 知乎用戶的回答

圖二：伐因門講解「路徑積分」。

圖三：量子場論中常用的費馬圖。

圖四：關於費馬對量子場論的貢獻，有一段精彩的歷史，可惜由於知乎的回答有字數限制，在此只好略去……

在一種觀點下，量子力學是0+1維的場論。所以在量子力學中，與場算符對應的應該是位置算符q而非波函數。場方程由拉氏量得到，非相對論量子力學裡的波函數方程是薛定諤方程在位置表象下的結果，二者推導思路不同形式也不同，所以沒什麼好說的。至於相對論性量子力學，這只是歷史發展中的半成品，畢竟狹義相對論和量子理論合併的結果就只能是量子場論。它的方程和場方程相同這正是它能被叫做「半成品」的原因……

在另一種觀點下，二次量子化就是把波函數提升為算符的過程，因此波函數就是「經典」意義下的場，所以二者滿足相同的方程就不奇怪了。相應地，我們還可以做三次量子化，宇宙學裡面好像就有這樣的做法。

謝邀。

場是任何以空間（實空間、動量空間、閔氏空間等）為自變數的函數。所以，波函數也是場的一種，不過波函數有其物理意義，即和概率分布有關。但一般的場不一定，因為一般的場可以是任何東西，如磁通量等，什麼可能要轉換一下才有意義。

樓上有人說了，粒子其實是激發態。

以下基於我的個人理解，不要隨便相信。

波函數永遠是單粒子的波函數，它的粒子數永遠不會變化。

而在把單粒子拓展成多粒子之後，量子力學就自然變成了量子場論（二次量子化）。

對於一個自由的量子場論，「單粒子」這個概念依然可以很好的定義，因此量子場和波函數之間是可以相互轉化的，這時候你可以說量子場其實也是在描述這個單粒子波函數本身。

但是對於加入相互作用項之後的量子場論，「單粒子」這個概念不再良好，只能近似的存在於無窮遠處，因此這時候根本就不存在一個（單粒子）波函數，而是必須要利用量子場本身來描述這個體系。

說說我的理解。

可以認為，歷史上，粒子波函數是從電磁場的概念來的。模仿電磁場方程構造粒子的波函數方程後，甚至有一段時間薛定諤也認為那是一個波函數，而不是概率波。直到哥本哈根學派將它解釋為概率波為止。

從今天量子場論的關點來看，玻色子經典場論的波函數（比如經典電磁場）有一個解釋。它基本上是一個相干態，沒有固定的粒子數。（參見量子力學的諧振子相關章節）用高中物理的語言來講，它是「大量粒子的集體行為」。因此，在玻色子這裡，我們看到，一個近乎經典的場論確實是存在的。對這個場做量子化就得到了量子場論。而量子場論中，推導單粒子的概率波函數，在非相對論極限的情況下與場方程「恰好」一致。一致的關鍵原因是，場算符在非相對論極限下恰好可以從真空中產生一個處於位置本徵態的粒子，那麼任意單粒子態的概率波函數可以看成各個位置場算符作用到真空態上得到的態的疊加，而場算符隨時間演化由場方程決定，那麼概率波的演化方程當然與場算符一致。

我們在上面看到，玻色子的經典場和單粒子概率波函數確實存在某種聯繫。遺憾的是，費米子不存在近經典場。由於費米子每個態最多只有一個粒子，因此費米子量子場沒有相干態。所以上面那套論證對費米子不適用。費米子場方程只有把場量子化以後才有意義，沒有經典對應物。而費米子的單粒子概率波函數確實也可以由上面類似玻色子推導的辦法得到。

聽報告時寫的，希望能幫到你。