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數學數學難題高等數學高等數學大學課程

設∑an與∑bn收斂，且an≤cn≤bn，證明∑cn也收斂?

01-05

直接用夾逼定理是錯的，因為題目並沒有說左右兩邊的級數收斂於同一值。

用柯西列看就簡單了。

$|sum_{i=n+1}^{n+p}{c_{i}} |=|sum_{i=n+1}^{n+p}{(c_{i}-a_{i})+a_{i}} |leq sum_{i=n+1}^{n+p}{(c_{i}-a_{i})}+ |sum_{i=n+1}^{n+p}{a_{i}}|leq sum_{i=n+1}^{n+p}{(b_{i}-a_{i})}+ |sum_{i=n+1}^{n+p}{a_{i}}| leq |sum_{i=n+1}^{n+p}{b_{i}}|+2 |sum_{i=n+1}^{n+p}{a_{i}}|$

能。

因為 $sum_{n=1}^{infty}{a_n}$ 在R上是收斂列，所以它也是柯西列，於是有

$sum_{k=n+1}^{n+m}{a_k} ightarrow 0$ （ $n ightarrow infty$ , $forall m in N$ ）

同樣，有 $sum_{k=n+1}^{n+m}{b_k} ightarrow 0$ （ $n ightarrow infty$ ， $forall min N$ ）

又因為 $a_kleq c_kleq b_k$ （ $forall k in N$ ）

於是有 $sum_{k=n+1}^{n+m}{a_k}leqsum_{k=n+1}^{n+m}{c_k}leqsum_{k=n+1}^{n+m}{b_k}$

再利用夾逼定理，令 $n ightarrow infty$ ，則 $sum_{k=n+1}^{n+m}{c_k} ightarrow 0$

於是 $sum_{n=1}^{infty}{c_n}$ 是R上的柯西列，於是它是收斂的

以前有人上知乎問論文方向，好歹還能忍。現在居然上知乎問高數題了……

sum an 和 sum bn 收斂，因此 sum (bn-an)收斂。而(cn-an)非負且小於等於(bn-an)，所以也收斂。而cn=an+(cn-an)，同時 sum an 和 sum(cn-an)都收斂，所以sum cn 收斂。

不要把你們高數作業發到知乎來。

這個我記得是課後作業。

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