為什麼 S&P 500 的期權隱含波動率 (IV) 小於它成份股的 IV？

01-05

具體數據我沒統計過，但經過觀察，在vix小於13的時候，SPY的一周後到期的期權IV基本在9～11之間，同期large cap（高市值）的股票一周後到期的期權IV往往大於11，比如AAPL, GILD, XOM, BAC, C。Small cap的IV就更不用說了。這裡頭是否存在無風險套利的機會？例如，先做一個SPY或SPX的Straddle，再找幾個large和一堆small cap去Short Straddle。
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抱歉，我想補充一下，我問這個問題的核心是想問期權定價而不是策略。用大白話來說就是，我發現個股的隱含波動率普遍大於指數，如果我把標普500的成份股的期權（call和put都可以）按標普權重賣出，然後再買入SPY or SPX的期權來hedge。豈不是實現了不應該存在的「無風險套利」。所以希望大家從期權定價角度解答這個問題。

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呃……剛剛有人編輯了我的問題，不小心把你舉報了，純屬操作失誤，sorry。
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看了問題補充，原來題主是想做ETF期權波動性套利啊。這個策略不可行的原因和ETF價差套利不可行的原因是一樣的：點差和手續費。許哲大大一句話就總結了。。像sp500，五百隻股票，每個都買option手續費要交多少啊，而且裡面的小盤股期權沒啥流動性bid ask spread 動不動幾個點，你覺得有錢掙嗎。。

因為這個套利太簡單了，門檻低，所以有無數人在做，所以這個市場是完全競爭市場，你去做的話邊際成本等於邊際收益，所以沒有套利機會。

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有這種策略，適合賭財報季有大的波動。選科技板塊，ETF賣出straddle，成分股買入straddle，expire date大概覆蓋整個財報季。因為ETF相當於是一個diversified portfolio，其波動性小於各個成分股之和，如果像上個財報季一樣那麼大的波動，這種策略收益很不錯的。GOOG，AAPL，AMZN啥的都是超巨大的波動啊，但是方向不同，有些暴漲有些暴跌，最後算指數的時候這些波動 some how balanced out，所以還是有的掙的。

Paul Wilmott 那本FAQ里有提到這個策略。

想起來這個叫dispersion trade，下面這個NYU的slide可以參考。

https://www.math.nyu.edu/faculty/avellane/Lecture10Quant.pdf

因為個股的realized vol大於指數的realized vol（指數相當於a basket of stocks，但是因為diversification，波動率會小於個股波動率的平均值），所以對應個股期權的IV也會大。

其實更常見的一個策略是dispersion trade，long index vol short stock vol，和題目中的策略剛好相反。

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昨晚睡前腦子迷迷糊糊的。。。上面第二行完全是胡說八道。

long index vol short stock vol和short index vol long stock vol都是可以的（多謝李煒指正）。long/short取決於carry，也就是realized vol和implied vol的差：

RV &> IV，carry為正，gamma PnL大於theta decay，買入(long)

RV &< IV，carry為負，gamma PnL小於theta decay，賣出(short)

交易的方向並不是取決於index IV vs stock IV。

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再回應一下問題的補充。

個股之間存在diversification effect，所以一籃子股票（也就是index）的RV會小於每一個個股的RV的平均值。既然index的RV低，那麼IV也會相應地低。這不能說明當中存在套利機會。

期權的點差你先算算，然後，就沒什麼然後了。

The opposite way is called dispersion trading.

You are exposed to correlation risk.

Imagine an index is equally weighted by company A and B, and you are shorting gamma on both A and B while longing gamma on the index. When A and B have a large but opposite move, the index will remains unmoved. In this case, you will end up with losing money in every leg.

因為有correlation，且永遠小於1。等於1的時候portfolio的vol才等於weighted average vol。

我先是答了一下，覺得回答的不好，又想了一下，不是波動率大小的問題，是波動率大的那個一定同時和波動率小的那個正相關，這是個問題。因為當觀察一個波動率的時候，觀察是會引起錯覺的，同時才是個更嚴格的條件。傳統的對沖建立在相同的underlying assets的，就把同時的問題給規避掉了。一旦不是正相關，這又是個問題。不是正相關的話，對沖的方向就錯掉了。