一道突然想到的概率題，如何解決？

01-05

設x=a*b，y=c*d，a、b、c、d的範圍都是1-100的隨機數字，如果已知a＞c，則x＞y的概率是多少？如果a、b、c、d都是1-n（n為任意固定的自然數且大於2）的隨機數字，概率又是多少？（a、b、c、d都是某個範圍隨機的數字）

離散情況很不好做，因為 $a>c$ 這樣的條件會在概率空間中划出一道參差不齊的邊緣。

不過n足夠大的時候，可以用下面的連續情況來近似。

連續情況：設 $a,b,c,d$ 獨立，且均服從[0,1]上的均勻分布，求條件概率 $P(ab>cd,|,a>c)$ 。

設 $u=c/a$ ，由上圖易知u的累積概率函數為：

$F_u(x) = P(u le x) = left{ egin{array}{ll} 0, (x le 0) \ x/2, (0 < x le 1) \ 1 - 1/(2x), (x > 1) end{array} ight.$

其概率密度函數為：

$p_u(x) = frac{partial F_u(x)}{partial x} = left{ egin{array}{ll} 0, (x le 0) \ 1/2, (0 < x le 1) \ 1/(2x^2), (x > 1) end{array} ight.$

同樣設 $v=b/d$ ，則v的分布跟u相同且獨立。

所求條件概率為

$P(v>u ,|, u<1) \ = frac{P(v>u, u<1)}{P(u<1)} \ = frac{int_0^1 p_u(x) P(v>x) , ext{d}x}{1/2} \ = 2 int_0^1 frac{1}{2} left( 1-x/2 ight) , ext{d}x \ = frac{3}{4}$

離散的情況極限還是3/4的.

$mathbb{P}=frac{sum_{a=2}^nsum_{c=1}^{a-1}sum_{b=1}^nminleft(left(left lceil frac{ab}{c} ight ceil-1 ight),n ight)}{n^2inom{n}{2}}$

$=frac{sum_{a=2}^nsum_{c=1}^{a-1}left{sum_{b=1}^{cn/a}frac{ab}{c}+sum_{b=cn/a+1}^n n ight}+O(n^3)}{n^2inom{n}{2}}$

$=frac{left(frac{3}{4}n^2+frac{n}{2} ight)inom{n}{2}+O(n^3)}{n^2inom{n}{2}}$

$=frac{3}{4}+Oleft(frac{1}{n} ight)$ .

@王贇 Maigo給出了連續情況的答案，但是我想出了一個更簡單巧妙的方法。

P（ab&>cd | a&>c）=P（ab&>cd 且 b&>d | a&>c）+P（ab&>cd 且 b&<=d | a&>c）

注意到

P（ab&>cd 且 b&>d | a&>c）=P(b&>d | a&>c）=P(b&>d）=1/2

第一個等號是 a&>c b&>d 則必然ab&>cd, 第二個等號是a,b,c,d的獨立性

P（ab&>cd 且 b&<=d | a&>c）=P（ab&>cd | a&>c，b&<=d）×P( b&<=d）=1/2 * 1/2 =1/4

第一個等式是貝耶斯加a,b,c,d的獨立性，第二個等式是對稱性

所以答案就是1/2+1/4=3/4

$P_n=frac{(n+1)(3n-2)}{4n^2}$

利用對稱性算出來的

x&>y與x&y的組合數目為 $frac{n^4-N_{x=y}}{2}$

同理可以求得a&>b的組合數目，以及x&>y且a&>b的組合數目

根據條件概率 $P(x>y|a>c)=frac{N_{x>y,a>c}}{N_{a>c}}$ 即可求得

不過計算步驟略複雜，只是提供一個思路

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根據集合性質 $P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)$

$N_{x=y}=N_{a=c,b=d}+N_{a=d,b=c}-N_{a=b=c=d}=2n^2-n$

同樣的， $N_{a>c}=frac{n^3(n-1)}{2}$

對於 $N_{x>y,a>c}$ 情況比較複雜，考慮x&>y的時候，a,b,c,d有以下幾種情況

(a&d)

(a=c,b&>d)

(a&>c,b&c,b=d),(a&>c,b&>d)

根據對稱性可知

$N_{a<c,b>d}=N_{a>c,b<d}$

$N_{a=c,b>d}=N_{a>c,b=d}=frac{n^2(n-1)}{2}$

剩下一種情況的數目也比較好求

$N_{a>c,b>d}=(frac{n(n-1)}{2})^2=frac{n^2(n-1)^2}{4}$

再往後就是多項式運算了

$N_{x>y,a>c}=N_{x>y}-N_{x>y,a<c}-N_{x>y,a=c}$

x=0.0 y=0.0 n=100 for c in range(1,n): for a in range(c+1,n+1): for b in range(1,n+1): for d in range(1,n+1): x+=1 if a*b&>c*d: y+=1 print x,y print y/x

跑一次連五分鐘都不到……

x是取值的可能情況總數，其實就是99*100/2*100*100

y是記錄ab&>cd的情況

（99*100/2是a,c可能取值的總數）

以下是輸出結果：

49500000.0 37238210.0 0.752287070707

根據需要修改n=2,3,4,5,6.....

n=3時取得最大值，為0.777778

同時根據 @王贇 Maigo、 @王芊和 @德然的回答，此概率會隨著n變大貼近於0.75.

離散情況確實如 @王贇 Maigo所言不太好算。

但是不好算我們就不弄了嗎？不不不我們的態度還是要認真一點的。

但是不好算那要怎麼算呢？於是我就用了當初科學家們用過的最笨的辦法，我們就來做一遍數一數x&>y出現的次數不就好了(*/ω＼*)

嗯下圖是不到8000次的結果，接近於0.75。離散情況與 @王贇 Maigo@王芊@德然連續情況的計算結果相近

先挖個坑，電腦還在跑。更新中...

-----------------------------------------------------------------第一次更新分割線-------------------------------------------------

嗯現在是跑了8*10^4次。然而結果略有點出乎我的意料，先上圖

仔細看的話發現距離0.75的偏差還是較大的；檢查了一下數值結果，發現基本穩定在0.754左右。

具體原因我動筆算一算離散情況的理論結果，請等待下次更新的到來O(∩_∩)O謝謝！

--------------------------------------------第二次更新------------------------------------------------------------------------------

所以看來第一個辦法太傻了。用matlab直接遍歷了一遍所有可能，理論結果應當是0.7523。

第一個程序跑到16*10^4左右了，結果也逼近了理論結果

當前結果為0.7527。不想跑了。。。本本渣渣開始發熱了w(?Д?)w

理論上而言離散結果肯定是要比連續結果來得大的。因為在離散情況當中所謂的a&>c實際上應該為a&>=c+1；而連續情況中a&>c的計算結果與a&>=c的結果是相同的。所以這是整整相差了1個單位的長度。當n取更大的時候（例如n取100000000），由於1相對於n而言小了很多，結果也就越接近於連續情況。

相反，當n取得越小，這個單位長度的影響也就越大。n=3時為7/9，n=2時更容易計算，因為a只能為2，c只能為1，結果為1/2。與連續情況的0.75都有著很大的差別，因為此時這個單位長度佔了整體樣本範圍的一半以上。

如果題主要的是離散情況下對於任意n都成立的解析解，我覺著非常困難。但是要解個數值解還是木有什麼問題的。

定義概率空間S為　{(（a,b）, (c,d) ) }，

找出所有滿足條件的點組成的事件A{((a, b), (c, d))滿足　a* b &> c *d 且　a &> c}

問題在於對於空間S中任意一個點((a, b), (c, d))的概率應該是多少呢？如果能假設a, b, c, d是相互獨立的，且a, b, c, d在空間　{１～　１００}上的概率是均勻分布的；也許任意點((a, b),(c, d))在空間S上概率是　1/100的４次方。

事件A中的點數乘以1/100的４次方即得結果。寫一個小程序就能找出滿足條件的A。:)

第一反應應該是朝條件概率的方向去算。

看z=xy在正交系裡用一個面截取的體積的大小作為基本概率值。

為了晚上還能睡覺，就寫到這吧。反正就是這麼個解題思路。