有且僅有函數e^x的導數與本身想等嗎？如何證明？

01-05

實際上就是解微分方程，f"(x)=f(x)

我是學化學的，我只學過高數，所以不考慮複數的情況。

1° f(x)=0，

顯然滿足f"(x)=f(x)。

2° f(x)≠0，

方程兩邊除以f(x)，得 f"(x)/f(x) = 1

即 [ln(f(x))]" = 1

兩邊對x求不定積分，得 ln(f(x)) = x+C

所以f(x) = e^(x+C)

於是，導數與本身想等的函數不止一個。

f(x) = 0，

f(x) = e^(x+C)，C是任意實數

首先可以證明， $e^x$ 的導數等於 $e^x$ 。

然後，考察一階線性常微分方程 $f$ 。這個方程的解空間是一個一維空間。

而 ${Ce^x ; C in mathbb{R}}$ 屬於解空間，並且是一維空間。

所以解空間就是 ${Ce^x ; C in mathbb{R}}$ 。

f(x)=0的導數也是0

實際上是Ce^x，C為任意常數。

請自行百度「常微分方程（的柯西初值問題）解的存在唯一性定理」，然後對dy/dx=y使用（任意給定一個初值條件）。

設f(x)導數是本身。考慮g(x)=f(x)*e^(-x)，它的導數為零。

不要忘了還有f(x)=0。

看來題主要麼高數課在睡覺，要麼就是老師沒證明給你看。

若 $fequiv0$ , 則方程顯然成立.

若 $exists x_0in R, s.t. f(x_0) e0$ , 則由函數在 $x_0$ 的連續性知, $x_0$ 的某鄰域恆不為0, 此時在此鄰域中, 可按一樓的解法求局部解. 再由解的連續性將局部解延拓至全空間. (這樣可以避免分母可能為0或對數函數無定義的情況.) 另外, 方程解中的 $C$ 可以是任意複數.

複變量的情形依然適用, 只需將對數函數改為對數主值函數.

dy/dx=y

導數的定義再加上等價無窮小