為什麼自變數x的二階微分d(dx)等於零？

01-05

在如下的推導中，用到了d(dx)=0這一前提。如何理解d(dx)=0呢？
由微分定義，d2y表示dy的導數乘以自變元的微分,dy=f"(x)dx,故根據微分乘法律 d2y=d(f"(x)dx)= d[f"(x)]dx+f"(x)d(dx)=f"(x)dxdx+f"(x)d(dx)。如果x是自變元,則d(dx)=0,故上式化為d2y= f"(x)(dx)2 由此得 d2y/(dx)2= f"(x) 從而f"(x)=d2y/(dx)2

我曾經想過一個問題，為何 $f$ ，我懷疑題主的疑問與我的這個疑問相關。

當時我在網上查到一個當時覺得還算靠譜的答案：

由微分定義 d2y 表示 dy 的導數乘以自變元的微分，即 dy=f"(x)dx，故根據微分乘法律

$d^2y=d(f$

如果x是自變元,則 d(dx)=0，故上式化為

$d^2y= f$

由此得 d2y/(dx)2= f"(x) 從而

$f$

該回答當中令我產生疑惑的便是這個 d(dx)=0（？？）

============以下增改於 2017/03/24===========

回看感覺有些亂七八糟= =，所以重新理清頭緒寫一遍

話說自己也覺得，這樣糾結一個符號真的好嗎。。

不過可以以此審視一下高階微分的定義

這個問題說白了其實就是：

d(dx)是什麼鬼？？

我總歸是先回顧定義，因為定義是最重要的。

那麼，微分是如何定義的：

首先有一個關於自變數 x 的函數 y，

然後我們 對 y 定義其 關於自變數 x 在某個點 x = x0 的微分

也就是說這裡有三個條件，脫離了「自變數」、「因變數」、或「某一點」中的任何一個去談微分，都是無法做到的。

首先來看對於微分，目前最靠譜的定義（或者就說「我們所學的定義」吧…）

在某一點(比如x=x0)處，取x的一個微小變化Δx，

若有：

$Delta y |_{x = x_0} = A |_{x = x_0}cdot Delta x + o(Delta x)$

則記：

$dy|_{x=x_0}=A|_{x=x_0}dx$ $iff$ $frac{dy}{dx}igg|_{x=x_0}=A|_{x=x_0}$

（常規寫時不會加豎線與「x=x0」，在此為了強調）

值得注意的一點是，其中的 o(Δx)是什麼意思。它暗含的意思如下：

$lim_{Delta x o 0}frac{o(Delta x)}{Delta x}=0$

即代表這個東東比上括弧里的東西，當括弧里的東西趨於0時，這個比值趨於0.

也就是說這是一個依賴於「極限」的概念。

注意：在上述微分的定義中，dy 和 dx 的地位是不相等的

事實上完全可以用兩個不同的符號作區分，

因為前者代表因變數(關於自變數)的微分，而後者代表自變數的一個微小增量。

微分（一階）的引入，是用來線性「數值近似」的

也就是用 Δx 一次項的某個常數倍（取決於某一點）去近似 y 的一個變化值

不過依我的感覺（喂喂…），二階及以上似乎就沒微分多少事了。。

微分的作用就在於拋磚引出個玉——導數，

而後二階及以上就基本上是導數的舞台了。

也就是說概念發展也許是這樣的(?)：

一階微分 → 一階導數 → 高階導數

那麼假如說我們非常喜歡微分這個概念，硬要給定義個「高階微分」

該如何定義呢？

自然是從高階導數反過來定義高階微分。。也就是：

… → 高階導數 → 高階微分

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好，按此思路，我們來定義一下二階微分。

假設對於自變數的變化，一階導數的變化 δy" 滿足等式（即「能夠線性近似」）：

$δy$ ①

先看左邊，在所討論的 x0 點，對自變數x的一個微小變化 $δx$ ，有：

$δy$

那麼 y"(x0) 等於什麼呢？

$y$

於是

$δy$

$lim_{Delta x o0}frac{f(x_0+delta x+Delta x)-f(x_0+delta x)}{Delta x}-lim_{Delta x o0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$

進而在①式兩邊同時除以δx，則得

$frac{lim_{Delta x o0}frac{f(x_0+delta x+Delta x)-f(x_0+delta x)}{Delta x}-lim_{Delta x o0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}}{delta x}=B+frac{o(delta x)}{delta x}$

在此基礎上若記

$delta(delta y)=f(x_0+delta x+Delta x)-f(x_0+delta x)-f(x_0+Delta x)+f(x_0)$

並且由於兩個delta都是x的變化，不妨 取 Δx = δx 並令其同時→0，則得①式為：

$lim_{delta x o0}frac{delta(delta y)}{delta x^2}=B+lim_{delta x o0}frac{o(delta x)}{delta x}$ ②

最終在此記 / 定義

$d(dy):=Bcdot dx^2$

如何？這下子清楚些了吧

在此可以看到，②式左邊，正是二階 y 關於 x 的二階導數

於是根據隨後定義的 d(dy)，便有微分與導數之間的關係了。

所以我認為：

二階微分 d(dy) 是由二階導數反過去定義的，所以並不存在什麼「d(dy)/dx^2與二階導數恰好相等」，而是就是如此定義的。

（類似於雞生蛋蛋生雞，你若問「為什麼雞蛋會孵出小雞？」，那是因為雞蛋是由雞生的，233333）

那麼寫到這裡——

我解決原本的問題了么？

開始的問題是什麼來著= =…「d(dx)是什麼鬼？」

其實我的立場已經很明確了。。

首先，x 是自變數，根據微分的定義，沒道理有二階微分；

其次，若是因變數的對象的二階微分，我認為

是由二階導數反過去定義的，所以並不存在什麼「恰好相等」，而是就是如此定義的。

這是我這次的答案，歡迎大家討論（…）

讓我們來看看微分的定義：當自變數x的改變數dx趨近於零的時候，因變數y的改變數（的線性主部）dy即為微分。

我們把y＝dx代入，這句話就變成：當自變數x的改變數dx趨近於零的時候，因變數dx的改變數d（dx）＝多少呢？

x的改變帶來dx的改變么？不啊。因為x的改變數就是dx啊。

再想想，假設x每次增加0.000001，x增加了之後，dx變化么？不變啊，一直是0.000001^_^

第一，這個道理可以這樣理解：根據微分的定義，對x微分dx是一個關於Δx的線性函數AΔx。ddx表示AΔx再對x進行一次微分，由於AΔx已經不是關於x的函數（是關於Δx的線性函數），所以對x而言AΔx相當於常量，因此ddx=d(AΔx)=0.

第二，糾結這個問題個人認為意義不大，微分的作用更多的是近似計算。

不當之處，多多指正！

謝邀。題主能先說一下從哪裡看到的「自變數x的二階微分d(dx)等於零」這個事實嗎？

我只能想到從外微分上看，但是d^2=0決計不會被叫做二階微分等於零。事實上，任意的函數做兩次d都是0，這是可積性條件，或者說是因為混合偏導可交換。三維的情形就是梯度場的旋度是零。但感覺題主說的應該不是這個……

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感謝題主補完問題描述

由微分定義d2y表示dy的導數乘以自變元的微分,dy=f"(x)dx,故根據微分乘法律 d2y=d(f"(x)dx)= d[f"(x)]dx+f"(x)d(dx)=f"(x)dxdx+f"(x)d(dx)。如果x是自變元,則d(dx)=0,故上式化為d2y= f"(x)(dx)2 由此得 d2y/(dx)2= f"(x) 從而f"(x)=d2y/(dx)2

從余翔的答案(http://www.zhihu.com/question/27783261/answer/38112380)里引一段

如果把 $f(x)$ 寫成 $y$ ，把 $g(y)$ 寫成 $z$ ，那麼鏈法則可寫成更具有視覺吸引力的形狀： $frac{d z}{dx}=frac{dz}{dy}frac{dy}{dx}$ 。但是這個記號可能使人誤入歧途（例如把非獨立變數與獨立變數的區別搞模糊了，特別是對於 $y$ ），並引導人們相信 $dz,dy,dx$ 可以想實數那樣進行演算（事實上，我們根本不曾給它們指定任何含義），而且這樣處理它們可以導致進一步的問題。例如，如果 $f$ 依賴於 $x_1$ 和 $x_2$ ，它們都依賴於 $t$ ，那麼多變數的鏈法則斷言 $frac{d f}{dt}=frac{partial f}{partial x_1}frac{d x_1}{dt}+frac{partial f}{partial x_2}frac{d x_2}{dt}$ ，但如果把 $df$ 和 $dt$ 等當實數來處理，這樣法則就會讓人懷疑。可以把 $dy$ 和 $dx$ 等想像成「無限小實數」，如果你知道你在做什麼的話。但對於那些剛在分析學起步的人來說，我不願意推薦這種途徑，特別是如果希望嚴格地工作的話。（有一個方法可以把這一切做得嚴格，甚至對於多變數微積分也是如此，但它需要切向量及導出映射的概念，這兩者都超出了本書的範圍。）

當然這是他引的Tao的一段……

個人真的真的不建議題主從這些notations出發做任何推導，因為你用的東西都是未定義的。f"(x)=d2y/(dx)2這並不是個定理或者公式而是記號，所以也沒必要證明記號的合理性對吧。（這個記號的合理性來源於f"=(d/dx)(f)，把d/dx看成一個算符，那麼作用兩次就是f""，因此可以寫成f""=(d/dx)^2(f)，而(d/dx)^2不妨寫成d^2/(dx)^2，nothing else…）

y=x的一階導數是1，是常數，（表示變化率是常數），二階導數就是導數的導數（導數的變化率），一階導數是常數就是沒有變化，所以是0。我是這麼理解的

問問樓上的什麼叫「自變元」

我個人感覺。。。

題主問的是x""為啥等於0。。。

dx本就是一階無窮小量，比之更高階的都歸在余項里。