標籤：

lim(x趨向0)[x^2-(sinx)^2]/x^4應該如何求？

01-05

$lim_{x ightarrow 0}{left( frac{x^{2}-sin^{2}x }{x^{4} } ight) }$ 應該如何求？
為什麼不能用 $lim_{x ightarrow a}{left( f(x)-g(x) ight) } =lim_{x ightarrow a}{left( f(x) ight) } -lim_{x ightarrow a}{left( g(x) ight) }$ ，也就是變換成 $lim_{x ightarrow 0}{left( frac{x^{2}}{x^{4} }-frac{sin^{2}x }{x^{4}} ight) }$ 然後再分別用等價無窮小分別代替呢？

如果極限存在的話可以，問題是x^2/x^4和(sinx)^2/x^4的極限都不存在。以及，建議不要使用等價無窮小代換，不靠譜。

具體做法的話，洛比達法則和泰勒展開都可以。

建議以後看到 $sin(x)$ 用 $x-frac{x^3}{6}$ 代替。

0/0 型，那就反覆求導唄……結果是 1/3。

極限可以拆開的前提是後面兩個極限都存在，但是顯然

$lim_{x o 0}frac{x^2}{x^4}$ 和 $lim_{x o0}frac{sin^2 x}{x^4}$ 都不存在

重複使用洛必達法則可求解，實際上洛必達法則就是泰勒展開的某種變形，不過用起來還是洛必達法則方便

為什麼不能拆開，因為極限四則運演算法則前提就是極限都存在：

若 $lim_{ x ightarrow b}{f(x)}=A$ 且 $lim_{x ightarrow b}{g(x)} =B$ ,則 $lim_{a ightarrow b}{[f(x)pm g(x)]}=Apm B$

好好看看高數書四則運算部分，多分析這些法則存在的前提條件，會糾正許多不明白的地方

具體求解方法，不是說不會求解就洛必達一下。當然先判斷洛必達法則使用前提。

其實泰勒級數是極限部分大殺器， $sinleft( x ight) sim x-frac{1}{6} x^{3}$ 帶入直接求解得 $frac{1}{3}$ 。

以後多多使用泰勒展開，經常可以口算極限哦~

常用的差函數等價無窮小替換有：

當 $x ightarrow 0$ 時，

$sinleft( x ight) sim x-frac{1}{6} x^{3}$ $Rightarrow$ $x-sinleft( x ight) sim frac{1}{6} x^{3}$

$tanleft( x ight) sim x+frac{1}{3} x^{2}$ $Rightarrow$ $tanleft( x ight) -xsim frac{1}{3} x^{3}$

$lnleft( 1+x ight) sim x-frac{1}{2} x^{2}$ $Rightarrow$ $x-lnleft( 1+x ight) sim frac{1}{2} x^{2}$

回去好好看看書，這水平考研還差太遠。

泰勒展開

首先使用洛必達法則降階。分子的第一項會在三次運用洛必達法則後降為0。此時，分子的第二項可以非常簡單的通過三角公式化簡，並運用等價無窮小替換。從而求得答案。

$lim_{x ightarrow 0}{left( frac{x^{2}-sin^{2}{x} }{x^{4} } ight) }$

$=lim_{x ightarrow 0}{left( frac{x-sin{x}cdot cos{x}}{2x^{3} } ight) }$

$=lim_{x ightarrow 0}{left( frac{1-left( cos^{2}x-sin^{2}x ight) }{6x^{2} } ight) }$

$=lim_{x ightarrow 0}{left( frac{1-cos{2x}}{6x^{2} } ight) }$

$=lim_{x ightarrow 0}{frac{sin{2x}}{6x} }$

$=lim_{x ightarrow 0}{frac{2x}{6x} } =frac{1}{3}$

注意運用極限四則運算的條件。直接拆成兩個極限，會得到一個「∞ - ∞」的式子。顯然，你無法判斷這個式子的值。

等價無窮小替換是一個常用的求解極限的方法。但要注意使用條件。在初始式子中，分子部分不能將第二項單獨替換。這是非法的。只有先將第一項消除後才可。

補充：

非常抱歉，「=」上無法添加符號來區分運用了洛必達法則或等價無窮小。若有知友知道如何修改，請告知我。多謝！

用洛必達法則也可以

其他答案都說到了要點，考慮到題主也許沒學泰勒展開，我來具體說一說。

你記的等價無窮小隻取了展開的第一項！

比如sin2x等價於x2 ，就只取了第一項！

其實sin2x等價x2-1/3x∧4＋……(無窮多)

----------分割線--------

為什麼加減中不輕易使用等價無窮小？？

考慮到它只取第一項可能會帶來錯誤！！

為什麼在乘除中可以用等價無窮小？？

是因為乘除中第一項是老大，他起作用，足夠了，後面的可以不管！！

加減中第一項可能會被對方第一項抵消掉，比如這裡的x2與無窮小中的x2就抵消掉了，這個時候第二項就起作用！同理依次遞推。

最後，等價無窮小其實就是後面要學的泰勒展開的第一項。求極限用泰勒展開最直觀。

拋開泰勒求極限都是耍流氓

有圖有真相

那個公式只有在減號兩邊兩個極限均存在的情況下才可使用書上不是開頭就說了「若A,B極限均存在，才有……」公式的使用是有條件的！！！

那個洛必達，本來就是他從他老師買來的公式，出身就不好，慎用。

因為會有更高階的無窮小影響之

等價無窮小貌似不能用於相減吧。乘除因子的整體代換才可以吧

如何求大家都回答了，我來回答你的詳細描述部分，很簡單，這和極限沒有關係，你在做的事情是這樣的：

已知

x + 1 = 1，求 x

然後你問大家：

因為當 a = b 時，a + 1 + 1/3 = b + 1 + 1/3，所以為什麼這題不變成 x + 2.333333 = 2.333333 再解。。。 Σ(っ °Д °;)っ

答案是：

當然可以啊？但是你要解出來不還得把拆掉的部分補回來么？！也沒人說過碰到長分子，就必須得拆開啊？（╯‵□′）╯︵┴─┴

————————

不懂顏文字，翻找起來真辛苦，各位我的顏文字選對了么？

推薦閱讀：

※為什麼數學沒有可證偽性而物理學卻有？
※梯度下降法和共軛梯度法有何異同？
※二維坐標平面上有n個隨機點，如何求解這些點的最小外接矩形呢？
※梯度下降為什麼步長要乘以導數？
※正態分布里為什麼會出現自然底數e和圓周率pi呢？

TAG:數學 |