棱長為1的立方體中，以各頂點為球心，以棱長為半徑作球，只用初等數學知識如何求這八個球體重合部分的體積？

大概小學四五年級時，無意中想到個問題，在正方形中，以各頂點為圓心，以邊長為半徑作圓，求四個圓重合部分的面積。一開始做不出來，問老師和家長，他們都說得用到微積分，叫我不用管。我不死心，熬了一整夜才終於求出來。興奮之餘貪得無厭，想推廣到三維，一直未能做出。

雖說現在會用微積分求了，但還是想請教，可不可以用初等方法解決。

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你真的會用微積分算這個東西?

畢竟我家Mathematica都算了兩分鐘...

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這個是Mathematica給出的解析解（正方體邊長為1）。可以看到確實能用初等函數式表達，不過看著那些奇怪數字……這活還是交給計算機吧，人腦應該做些更有意義的事情。

順便，二維情況為 ，這個可以手動積分做。你可以通過2維情況下的勞動量估算三維的勞動量。

再順便說一下：4維及以上維數的情況不用想了，都是0（4維超球的情況下所有球的交集只有一個點，再往上的「超超球」「超超超球」……之間已經沒有共同交集了）

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你們都高看了Mathematica的化簡能力，被答案嚇到了。其實可以用幾何方法做出來，結果是97π/12+√2-1-27arctan√2。過程比較繁，但是沒有原則上的困難。

================不用積分的方法更新================

首先由對稱性，只需要計算其1/8體積即可，也就是某個頂點處的球和與其相對的1/8小正方體的交集的體積。

如圖

待求體積的區域為一個球面錐體減去3個全等的平底錐體。平底錐體的底面積和高都易求，容易求出其體積。關鍵在於球面錐體的體積。

要求球面錐體體積，等價於求空間角，等價於求平底錐體對頂點所張的空間角。

如圖

平底錐體等於一個圓錐的一部分減去兩個四面體。

圓錐對應的空間角為2π(1-cosθ)=π，該部分所佔比例也易求。

最後還需要算一個四面體對頂點所張的空間角。這裡需要一個結論：單位球面上三角形面積等於其內角和減去π。於是所求空間角就等於圍成該空間角的三個平面之間三個二面角之和減去π。

這樣求出結果之後乘以8就得到重合部分的體積了。過程中唯一出現的特殊角就是arctan√2，具體計算過程請讀者自己完成（其實是我忘了中間結果^_^）。

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相關鏈接：

◆ わからない問題はここに書いてね ２０９ ◆

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/46/senior/0404/040410.pdf

先畫個圖，下面左邊那個是八個球的重合部分，看起來有點像是正八面體（右邊的圖）

體積數值結果為：0.0152054895288399

精確結果直接用Mathematica算出的結果比較複雜，FullSimplify之後效果也不夠好，畢竟它只是一個半自動化的工具，不過可以用一點trick來改善化簡效果

這樣看起來就簡單了不少，因為用了反三角函數，結果可以有很多表示方法，比如下面的幾個結果都是等價的

Update: --------------------------------------------------------------------------------

用Mathematica直接無腦計算比較慢（至少一分鐘左右），RegionMeasure或者Volume內部其實是在計算二/三重積分。

其實可以減小一些計算量，考慮到對稱性只需計算第一卦限的體積再乘以8即可

獲取積分區域

二重積分

可以看到比前面已經快了不少，但是這樣更快，不到半秒

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提個思路，不知道對不對。用集合容斥原理，card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),以正方形的那個為例，四個扇形為S1…S4,公共面積S=card(S1∩S2∩S3∩S4),用(A∩B)的補集等於（A的補集）∪(B的補集）代換，再用容斥原理展開。八個集合的話可能不行。

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既然打算用Mathematica了，那就三重積分直接算唄

也沒多慢嘛。

答案是上面這個值的8倍（8個卦限）的1/8（邊長2倍體積8倍）。

約為0.0152055.

手算的話，橫截面積是一個扇形面積減去兩個三角形面積，再對高度一重積分就行了。

基本上就是二維情況的初等方法+積分。完全不用積分應該有些困難。

這個問題是不是可以加一個Mathematica的標籤了呀。

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以正方體的中心對稱點為原點建立坐標系。8個頂點，分別是

A(1/2，1/2，1/2)，

B(1/2，1/2，-1/2)，

C(1/2，-1/2，-1/2)，

D(1/2，-1/2，1/2)，

A"(-1/2，1/2，1/2)，

B"(-1/2，1/2，-1/2)，

C"(-1/2，-1/2，-1/2)，

D"(-1/2，-1/2，1/2)。

很容易證明，A所在的第一卦限的點到所有頂點的線段中，到其體對角線頂點C"的線段最大。

則，可以確定第一卦限內的曲面由C"球決定。

曲面方程是

(x+1/2)2+(y+1/2)2+(z+1/2)2=1。

第一卦限

z=√(1-(x+1/2)2-(y+1/2)2)-1/2。

需要用二重積分計算。

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介意菜雞問問怎麼把八個方程通過對稱性簡化么

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沒有人說蒙特卡洛方法嗎？

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