導出同一個運動方程的拉格朗日量，形式上一定是唯一的嗎？

01-05

我知道如果兩個拉格朗日量 $L$ 和 $L$ 滿足 $L$ ，那麼它們會得出同一個運動方程。
我的問題是，導出同一個運動方程的拉格朗日量一定有上面這種形式嗎？為什麼？

不一定的，一個經典例子是在保守勢下運動的粒子的拉氏量除了一般的T-V還可以是一個關於v的四次的形式(1/12*m^2v^4+.....)，具體形式記不得了，有空了寫上來，意思就是，可能有各種亂七八糟的拉氏量都能給出同樣的運動方程

找到了:

通過規範變換相聯繫的拉氏量只是所有可能拉氏量的一類，不是所有，Goldstein提到過這個事情。 @文睿提到的就是個例子，是我們老師課上構造出來的一個奇奇怪怪的拉氏量，然而帶進拉氏方程確實能得到正確的方程。。

除了拉氏量乘以某個常數和做規範變換外，也存在其他變換使得運動方程不變。因為運動方程本質上是作用量的極值解，我們可以替換成等價的極值問題。例如測地線方程是四維時空兩點連線中的最小距離解，也可以看成是距離平方的最小解，因此我們可以把test particle的拉氏量平方，運動方程是一樣的。