數學本科生能做哪些研究？

01-05

謝邀：我本科就寫了一篇論文，發在sci期刊上，排名還是挺靠前的。但是，我是怎麼做到的？我得到了導師的指導。具體的過程是這樣的，得到保研後，我未來導師仍給我兩本書，我也迅雷不及掩耳的速度給學完了，然後他扔給我三個論文，我又神速地看完了，他看了看我，覺得我孺子可教。於是給了我一個小問題，連大致思路都告訴我，我follow地做出了第一篇。這一篇的第一個審稿人剛好是我導師的朋友，所以第一關輕鬆度過，第二關我們不認識，但是，運氣也好。這種情況下這篇文章的速度如下：

你覺得慢？呵呵，這是我最快的一篇了。

你不管做什麼研究，一般都需要老師指導你，你才能入門。

所以，你本科要做研究需要以下幾條：首先，你基礎好，我學得快是因為我泛函學得好，考試滿分，課後習題基本做完的那種好。第二，你自學能力好，這個平時就要培養，我的泛函基本靠自學，我本科的泛函老師的水平不敢恭維。第三，及時找到一個願意指導你的老師，並且讓他知道你的水平足以做一點微小的工作，並且確實開始工作。第四，運氣好，做研究這事情，靈感確實是一個因素，而且和智力無關，有時候只是運氣；審稿這事情看天，有兩年不過的，也有兩個月過的。

說白了，本科做數學科研是非常小概率的事情，基本要集齊七龍珠才能召喚神龍。如果你缺乏我說的上面幾個條件中的一個就不要太強求。特別是不要在沒有指導的情況下亂玩，那容易出事。

謝邀。

應數我不清楚，下面只說純數。應數本科能做的研究應該比純數多多了。

可以考慮找一篇數學論文，把他看懂以後，用裡面的方法去算幾個例子。有時候論文裡面就有例子，比如說他可能會舉例子說哪些東西滿足什麼性質，然後他不證明就直接跳過了，或者「證明留作習題」——好，你把這道習題做出來就行了。他不把所有的證明細節都寫出來，一方面可能是論文篇幅有限制——很多數學期刊對發表論文的頁數是有限制的，不是極其重要的工作，你也沒資格占太多版面，所以很多人都是把預印本刪減以後再正式發表出來的，arXiv上掛的預印本往往比正式發表的論文還要詳細，畢竟arXiv又不限制篇幅～另一方面呢，他可能覺得沒必要寫出來，看懂了論文的讀者自己應該能做出來。

我知道很多所謂的本科科創項目，持續時間也就一個學期到兩個學期。這麼短的時間，還要上其他課，大部分PhD都不一定能做出什麼有價值的東西，本科生要做什麼真正的研究基本是扯淡的，你能看懂正式的數學論文都算不錯了。其實數學本科么，重要的還是培養「讀論文」的能力，不是「寫論文」的能力，爬都沒學會怎麼跑。

其實對某些論文「查漏補缺」的工作，都可以當碩士畢業論文了。去年系裡來了個德國碩士交換生，跟我老闆做研究，我老闆讓他把一篇關於閉測地線的論文（S^2上帶任意度量都存在無窮多條閉測地線，不一定是簡單閉測地線；用到的工具主要是curve shortening flow）讀一遍，然後寫一個完善的證明出來——那篇論文按我老闆的標準寫的不是很清楚，有些地方有gap。不過我記得到最後他好像也沒有把證明補完。。雖然最後還是碩士畢業了。。

其實我現在就可以出一個黎曼幾何的問題，學過微分幾何的數學本科生都看得懂：證明S^1 * R（也就是cylinder）上的非負曲率（高斯曲率吧，2維反正只有一種曲率。。）度量一定是flat，也就是曲率處處為0——實際上就是一個product metric，但不一定是原來的那個S^1和R的product，可能要轉一下。這個題目用splitting theorem或者soul theorem均可秒殺，但是這兩個定理畢竟是大定理啊，上世紀七八十年代才證明的，而且一般是對高維流形用的，對曲面用這個，未免有種殺雞焉用牛刀的感覺。。其實這個問題是我老闆提的，他問我們有沒有比較初等的解法來解決這個問題（比如用Rauch comparison或者Toponogov comparison之類的，但不要用上面說的那種大定理。。大定理的證明遠不初等。。）他是研究黎曼幾何幾十年的專家，他也想不到有什麼初等的做法。不過誰知道啊，也許某個本科生就能想到some clever way to figure it out~

其實這種小問題還有很多很多，你去找你們系的數學教授去問，問問他們研究過程中有沒有什麼小問題需要解決（哪怕是解個具體的常微分方程之類的，系裡的一個博後還真就問過我怎麼解一個具體的常微分方程，他研究某種曲面上的（不完備）度量時列出來的。。）就權當體驗（研究）生活，鍛煉自身能力吧。

本科數學系且發過低端組合遊戲論paper一篇. 現在看起來異常的naive的文.

純數方向需要很多的積累, 本科只能做需要積累不多的研究.

看一下美國給本科生的數學上的各種研究項目(搜REU math)就知道了. 一大片組合或者其他不需要太多背景的方向.

一些數論的東西, 只是想要一些東西的estimate(比如L-functions), 背景也不需要很豐富.

不管做什麼都要找個人帶. 不然什麼重要什麼可做都不知道.

如果立志做純數裡面需要很多背景的問題, 本科的時候不要做研究, 多學點東西.

牛校的數學系的admission對本科research一般都是嗤之以鼻的.

雖然本人水平很差。。。但是還想吐槽一句，都是申請外國大學給慣的。。。

我找我導師說準備搞研究，她扔了兩本泛函分析，說，先把這兩本看完，不然我們沒法溝通。。。

系裡面也有一些外國的phd，名詞知道不少，但也僅限於知道，可能寫ps的時候比較會吹吧。。。嗯，又黑了一遍美本，耶！

不過真要想一些小問題還是有點意思的，但是基本都只能是課後習題，比如我自己研究過一維在何種映射下測度仍然保持invariant，思考過條件概率，radonnikodyn倒數和條件期望的關係，傅立葉變換和一些特定隨機過程的聯繫什麼的，都是很初等的問題，大概類似看書時想到的一些小問題。。。不過本人水平太差，也就只能想到這點程度，真的大神一定還是可以想的更深入的

本科做數學研究對於大部分人來說意義不是很大。真想接觸研究的話只能碰些數論組合（包括理論cs）裡面一些不需要很多背景知識的題目。

可以參照一下一個美國比較出名的本科研究項目：

http://www.d.umn.edu/~jgallian/progbib.html

另外可以看一下這兩個人，他們本科都發過10+篇文章，基本都是組合類的（包括理論cs的會議如FOCS)：

Publications

Papers

懂得特別多的大牛可以參照Akhil Mathew#x27;s homepage ，本科時就發過數篇拓撲的文章

超級大牛可以參照John Pardon, 本科時發過Annals

搞點科普咯。記得選修「數學分析三」我提交的課外作業是《時間簡史》里一句話的推導注釋。

參考：青燈黃卷十年注，出來就是大師傅！【老農專欄】_Ben_Poon_新浪博客

做基礎數論，這是最難的，卻最基本的，但本科應該也能，雖然我數學差，不過我也能看出基礎數論全世界都是渣，基礎都沒打好還泛函分析，搞笑(^_^)