積分上限的函數與不定積分是否相同？

01-05

積分上限函數
是函數f(x)的一個原函數，而∫ f(x)dx是f(x)的不定積分，根據定義他也是f(x)的原函數，那麼可不可以說積分上限函數
和不定積分∫ f(x)dx是一樣的了？

一般情況下，（高等數學水平看這裡）你要明白不定積分不是一個函數，而是一個函數類，那麼你就不會糾結了。這個類中任意兩個函數相差一個常數。

但是，存在一個函數 $f$ 使得這個函數有原函數，但是本身黎曼不可積，也就說 $int f(x)dx$ 存在，但是 $int_a^x f(x)dx$ 不存在。舉一個例子： $f(x)=2xsin frac{1}{x^2}-frac{2}{x}cosfrac{1}{x^2}, , x eq 0, f(0)=0$ , 這個函數的原函數存在，我就寫一個

對於 $x eq 0$ , $F(x)=x^2sinfrac{1}{x^2}$ , $F(0)=0$ .

$f(x)$ 在0點附近不是黎曼可積的，這一點不難證明，因為達布上和和達布下和不一致。有些人會說這個函數雖然黎曼不可積，但是反常積分存在

$F(x)=lim_{epsilon o 0}int_epsilon^x f(t)dt$

。但是，也存在一個反例：這個函數處處可導，其導數有界，但是這個導數幾乎處處不連續，它既不是黎曼可積，它的反常積分也不存在：

https://books.google.co.uk/books?id=1WY6u0C_jEsCpg=PA212lpg=PA212dq=derivative+discontinuous+measure+boundedsource=blots=JtO97c8t60sig=5YGv2dnZpJ-OO5Uzdodt7BRwnukhl=ensa=Xei=XvY2VYy5A4fpaKClgbAOved=0CEoQ6AEwBg#v=onepageq=derivative%20discontinuous%20measure%20boundedf=false

如果我們選取不定積分中，自變數取a時函數值為零的那個函數作為所有不定積分的代表，不定積分和變上限積分也是不一樣的。

存在這樣的函數，有不定積分但沒有定積分，即有原函數但並非黎曼可積，甚至並非廣義黎曼可積，參考Volterra構造的函數。

並且存在這樣的函數，有定積分但是沒有不定積分，即黎曼可積但不是任何一個函數的導數，這種例子很容易構造，由Darboux定理導函數必然有介值性，取黎曼可積但不滿足介值性的函數，如黎曼函數(無理數處函數值定義為0，有理數p/q處函數值定義為1/q)即符合條件。

上面說的是兩者中一個可能不存在的情況，如果兩者都存在的話是不是一樣呢(指變上限積分和不定積分差一個常數，下同)？

根據實變函數的絕對連續函數相關的推論，如果一個函數不定積分和黎曼定積分都存在，那麼他們是一樣的。這裡的函數要求狹義黎曼可積或者絕對可積下的廣義可積。

Michael Liu的解答是正解。但需要補充兩點，一，一個容易忽略的區別是，變上限積分函數的定義域必須是一個閉區間，而不定積分的函數類的定義域多數不要求閉區間。二，補充兩個特殊例子，幫助你理解。第一個例子是根據數分課後習題的結論舉的例子。

不是，不定積分是被積函數的所有原函數組成的一個函數類，變上限積分的本質上是一個定積分，定積分是f（ξi）Δxi乘積的無窮級數和。

你可以理解為不定積分是一堆函數組成的合集，變上限積分就算加了任意常數C依然是一個函數