代數幾何應該怎樣學？

01-05

代數幾何學習過程是怎樣的？先學範疇論，再讀GTM52？

代數幾何怎麼學取決於你的目的是什麼。就拿我來說吧，GTM 52雖然也看了一點，但是對我而言最重要的就是over $mathbb{C}$ 的代數幾何。Griffiths-Harris我本科時候就看了前幾章，但是那時並未理解，因為那時候沒接觸到什麼例子。後來慢慢例子積累得多了，對理論的理解就好一點。這對我而言就是主要用到的代數幾何。因為我是做幾何拓撲的，更具體一點，就是辛幾何、辛拓撲，就是研究的方法和用的工具比大多數人fancy一點。over $mathbb{C}$ 的代數幾何可以給我提供大量的例子。許多時候別人講一個結論我沒聽說過，或者沒學過的，我馬上就能想到一些非常具體的例子，從而convince自己這是對的。比如bar resolution和cobar resolution，我一開始並不習慣這些研究代數時用到的基本語言，但是我知道Hochschild homology是怎麼定義的，所以也就能理解別人在說什麼。例子的重要性再強調也不為過。尤其是做微分幾何的同學，本來你就是研究special case的，所以不要老想著學代數幾何學家，整天就是scheme，stack之類的東西，好好從例子出發，踏踏實實研究一些explicit和delicate的性質才是我們最應該做的。把variety學好了，想要了解general case其實是相對簡單的，因為你知道這個結論為什麼是對的。許多時候一個定理為什麼對，為什麼要有這個假設，幾個關鍵的例子就可以說清楚。

我在知乎發現有些自稱學代數幾何的同學blow up的上同調都不會算，我不知道他們是怎麼回事。在我看來blow up是一個非常具體的操作，你可以看見它的拓撲變化，也可以把blow up得到的代數簇具體寫下來，而不是什麼抽象的操作或者是個抽象的birational map。再比如說GIT，做幾何分析的人也要懂GIT，但是你應該focus on具體的例子。比如 $mathbb{CP}^n$ 的例子就很具體，又很重要。有些人，搞了一大堆scheme theory，跟你講semistable locus，但是叫他算一個GIT的具體例子就懵了，甚至連 $mathbb{C}^n$ 上的 $mathbb{C}^ast$ -action都搞不定，這就有很嚴重的問題。建議variety沒學會的同學最好先學學toric variety，這就接近於trivial了，但是非常具體，可以逼迫你正視一些問題。

假如你是想做數論的，那麼over $mathbb{C}$ 的代數幾何基本就可以忽略了，因為這除了能提供一些motivation根本就沒用。那你就必須要讀好GTM 52了。但是學數學沒有哪本書，或者哪篇文章是必須要讀的，主要還是看你的sense怎麼樣。有些人覺得學GTM 52之前一定要會很多交換代數，但是依我看只會一點點或者完全不會也未嘗不可。一些基本的結論雖然證明可能未必trivial，比如Hilbert Nullstellensatz，但是你可以接受它，或者通過一些具體的例子來理解。最簡單的：為什麼 $mathit{Spec}(mathbb{K}[x_1,cdotcdotcdot,x_n])$ 定義了affine space？我估計不少自稱學代數幾何的人Spec, Proj這些基本的東西未必能解釋得好。只要把例子想通了，許多證明不那麼重要。畢竟數學是在前人的基礎上做研究的，而不是反復回憶那些已經被干爛的證明。就做數論而言，細節還是很重要的，因為你要研究具體的例子，比如elliptic curve，整個理論大都是非常具體的計算。

學數論另一樣應該學的東西應該是rigid geometry，這也是代數幾何里很重要的一部分。事實上，rigid geometry做辛幾何的人也要學。因為for analytic reason，有些時候必須work over non-archimedean field。這在Abouzaid family Floer theory里已經扮演了一些essential的角色，今後還會出現在Legendrian singularity，h-principle裡面。

假如你是做代數幾何的，那麼又分成很多種情況。如果你研究Hodge theory或者birational geometry，那麼over $mathbb{C}$ 的代數幾何就很重要。你可以在看完Griffiths-Harris以後繼續學Voisin的書，或者Mori-Kollar的書。假如你要做category，那麼Neeman有本書講triangulated category, Huybrechts有本書講derived category of coherent sheaf和Fourier-Mukai，Lurie的higher algebra和higher topos也應該去學。至於那些Calabi-Yau category的東西就是比較具體的專題了，要看你的具體方向。Lurie的工作對於那些學代數拓撲的人特別重要，所以學代數拓撲的同學如果需要代數幾何，那麼完成GTM 52以後就應該去學習Lurie的工作。假如你要做singularity theory，那麼就得讀一讀Arnold和Slodowy的書。Looijenga的那個complete intersection singularity的講義也是很好的，對做辛幾何的人也很重要，因為Milnor fiber of non-simple singularity的辛拓撲現在了解得還不多。

總而言之，每個人的情況不一樣，不能一概而論。國內許多研究生都是盲目跟風，批量生產，根本不考慮每個人的具體情況，完全是亂搞。他們認為的代數幾何就是幾種模式，這幾種模式都是根據僅存的那幾個學派決定的，具體我就不說了。我覺得這樣很不好，就算有些方向沒人做，難道學生自己就不能探索了嗎？你二十幾歲的時候都不敢探索新方向，整天在那裡人云亦云，亦步亦趨，那你這輩子還能幹嘛？年輕人一定要勇於開拓！比如Dennis Sullivan，他40歲以前根本沒做過動力系統，最後卻憑藉動力系統上的重要工作拿了Wolf獎。人家國外的傑出數學家都是年過40還用於開拓新方向，但是我們的同學二十多歲就在混吃等死了。

我們這一代人奮鬥的目標之一，就是要給不同需求的學生制定不同的入門代數幾何的方式。現在已經存在的文獻並不是很完善，比如應該expect有Algebraic Geometry for Topologists, Algebraic Geometry for Logicians···這種教材，但是現在卻沒有人這麼做。de Jong搞了stacks project無疑是做了很大的貢獻，但是我們還需要有更多的數學家來作這種貢獻。前幾天Eliashberg的一個學生來倫敦，他說arXiv現在還不夠好，因為在這上面貼文章你需要在一個學術機構註冊，而這是沒有道理的。我們不能把那些不在體制內的人排除在外。他說這是我們這一代人的奮鬥目標：即使一百年里只有一個學術圈以外的人在arXiv上貼了一篇好文章，這也是值得的。我想這就是數學家應該有的personality，數學工作是重要的，但是幫助他人同樣重要。這就是為什麼我願意在知乎回答問題，即使經常有跳樑小丑在我的回答下面一再諷刺挖苦我。

謝邀。

如果把學代數幾何比作學寫詩，那範疇論的語言不過相當於詩詞的音律格式；如果把它比作學音樂，範疇論不過相當於五線譜的規則。知道音律或者能看懂五線譜不過是入門第一步，這離自己能欣賞作品乃至創作顯然還差得很遠。

至於GTM52這本書呢，大概也就相當於唐詩三百首這種級別。之所以你覺得難，主要是你自己相當於一個外國人，中文都不怎麼熟（我也不怎麼熟），看中國人覺得簡單易懂的古詩也就不那麼容易看懂了。

我本科的時候上過整整一年的代數幾何。當時跟looijenga老爺爺學，老爺爺本人水平自然不用說（跟格大神塞大神都是能談笑風生的人），教的也非常用心（他自己打了幾百頁的notes編了習題）。但我學得很爛，甚至一度覺得自己不可能學懂代數幾何了。GTM52我也嘗試刷過，各種傳說中的筆記教案我也都試著看了看。還是學不會。

為什麼這麼多好資源都學不會呢？現在回過頭來看，最主要的問題就是一個字：懶。

我初學代數幾何那一年半載很辛苦的，似乎每個喜歡代數口味的人會推薦Atiyah交換代數導引與Fulton代數曲線，而且在學完這兩本書就直接看了gtm52第1章，比較順利，花了2-3周，解決了大多數習題，大量的具體例子成了這本書檢驗抽象結果的基本例子。

我比較希望建議先閱讀Iitaka,Algebraic Geometry第1章，幫助你理解環的素譜如何通過層構造一個仿射概型結構，也就是Atiyah書第1章習題結果。

有了這個鋪墊或者參考再看gtm52第2章，還並不是特別容易，2.1-2.5建立起概型的定義和拓撲，而2.6-2.8可能學了一點兒復幾何更好理解，至少我感覺後來看過Huybrechts復幾何導論第2章再回過頭看除子與線性系就覺得自然很多，2.8節的微分可能需要參考gtm150的相應章節。

至於第3章上同調理論，基本上有sheaf這個基本工具，概型的上同調局部來看就是交換代數與同調代數，而學起來相對第2章更加有質感，或者書中關心的概型與態射一般賦予比較好而且自然的條件，也就盡量接近一個代數簇之間的射影態射或者proper態射等。

小研究生也來說一些trivial的個人體驗吧。

想要熟悉scheme的語言52讀二三章就夠了，雖然52不夠categorical也不一定適合每個人，但意志堅強的話咬咬牙一兩個學期也就讀完了，很多需要熟悉的結論都在習題里所以不做題等於沒讀。如果不讀52的話還有太多備選比如Gathmann, Gortz Wedhorn, Vakil, Mumford, etc.

至於stacks project我是這麼用的，一是平時當字典，二是考前複習查漏補缺reality check。

學ag之前沒必要先學analytic theory（manifold以及manifold上的algebraic topology什麼的），雖然多會點東西也不是什麼壞處，畢竟這些東西說白了都不難。固然有很多類似的構造和結論但有時候你可能會默認一些東西直到發現它們完全是錯的（比如cohomology is homotopy invariant）。但是categorical的東西確實是會的越多越好，會讓一切變得清晰很多。當然也看個人興趣。（但如果你對category不感興趣的話為什麼還要學Grothendieck school的代數幾何呢？）

關鍵在於motivation。我當時沒什麼好理由所以硬著頭皮讀Hartshorne讀得很痛苦，現在想來有那時間不如多學些我真正喜歡的東西。直到現在讀「FGA explained」學到representability of Quot之類的才真正找到一點代數幾何的感覺。順便推薦這本書，不用法語學FGA。Hartshorne往後還一個自然可以學的是intersection theory，標準教材就是Fulton。

還有很多人的motivation在數論，這方面我完全不懂就不說了。但52程度的scheme theory也是基礎而已。就像學英語必須背單詞一樣。

雖然我還是不明白為什麼大家都要去學代數幾何……國內網上一度有把52神化的趨勢，afterall這只是一本普通的課本而已。

水平不好，就只說下個人經驗吧。

刷了Atiyah的交換代數再看的GTM52，零零散散看了一年後中途順手學範疇同調，之後覺得這樣不行就再花兩個月徹底刷了前三章。

不過現在又忘的差不多了，因為不怎麼用

個人感覺，重在實用。我看書很囫圇，但是也得知道人家講啥，所以基本工具至少還是要知道在哪的。

回過頭看，帶著問題刷書最有動力，也最開心。

大概可以按照這樣一個看書順序：

Atiyah的交換代數, Hatcher的代數拓撲, Lee的微分流形打基礎（這些都是最簡單易懂的教材了吧）覺得Atiyah不夠用可以去看看Eisenbud

然後Joe Harris的Algebraic Geometry: a first course

Shafarevich的Basic Algebraic Geometry

然後可以看看Hartshorne和EGA. Hartshorne很簡略，深度也不夠，但足夠你看半年的。EGA很詳細，條理很清晰，可以看看1和4。如果喜歡古龍你也可以看看Illusie。Griffths太厚了，但例子寫的都很好，時間不夠的話可以挑幾章看

然後你就可以自豪的說，你要開始學習代數幾何了

不要相信「學習代數幾何只要懂一點點交換代數就夠了」的謊言，那是建立在你除了交換代數其他什麼都懂的基礎上

如果你姓Deligne，你也可以按照Bourbaki，EGA，SGA的順序讀。

初學代數幾何，可以不必一上來就學GTM52或者其他更抽象的東西。你可以先看格列菲斯《代數曲線》。學完曲線，可以再看Beauville《復代數曲面》。具有一定的基礎之後，可以翻看格列菲斯《代數幾何原理》(不過很厚的，只能挑感興趣的讀)。如果要對曲面有全面了解，可以參考BPV(即《緊復代數曲面》)這些原汁原味呈現代數幾何風貌的書，能讓你更快了解代數幾何是什麼。對初學者來說，一上來就學GTM52，對那些抽象的東西是沒有感覺的，也不知道那些東西從哪兒來以及怎麼用，更不會學到如何做代數幾何研究以及代數幾何有哪些有意思的問題。

52大體上需要的範疇知識不多，對於前兩章只需要最基本的定義，第三章再加點導出函子的東西，其實也都是很基本的。讀Grothendieck的T?hoku paper足矣應付。

倒是交換代數需要強調一下，至少常用的Atiyah-McDonald是遠不夠的（包括習題），尤其是學完52之後後續的東西，最好能刷一刷松村英之。劉青的書也很好，後部分的內容在52之外，假如你對算術有興趣的話。

其實關於主問題---「怎麼學」，網上能搜到的learning roadmap很多了，比如MO上的。不過說多了也是白搭，具體該怎麼學得視人而定，有的人底子好能直接上最難的，有的人學最基礎的書還嫌難。所以自己去實際操作才是重要的，之後哪裡不會補哪裡。也大可不必老想著把交換代數和同調代數的基礎打得足夠完備（實際上也辦不到）再去學代數幾何。可以同時進行，這樣學起來至少代數里的很多東西都能看到幾何動機。另外，一定要刷題，否則看完書後一個習題都做不來就很尷尬了，等於什麼都沒學會。

1. 我將會是一個代數幾何工作者/我帶有目的的學習代數幾何 -&> 看8

我不是代數幾何工作者，我就只想大概知道什麼是古典代數幾何 -&> 看2

2. 我是本科生 -&> 看3

我是初高中生 -&> 看4

3. 我習慣現代數學語言，而且我很忙 -&> 看5

我習慣更古典的語言和處理方法，而且我很閑 -&> 看6

4. 讀Conics and Cubics -&> 我還想知道更多 -&> 看3

5. 去讀An Invitation to Algebraic Geometry作為學習的骨架。如果代數卡住就去查GTM 150，需要更多例子或者證明細節或者對計算感興趣就去查Ideals, Varieties and Algorithms -&> 我還想知道更多 -&> 看7

6. 讀Hodge和Pedoe的Methods of Algebraic Geometry三小本 -&> 我還想知道更多 -&> 看7

7. 讀Shafarevich第二本 -&> 我還想知道更多 -&> 看8

8. 諮詢教授或參考其他答案