為什麼物理世界運行剛好就是那些簡單的公式？

01-05

如題。這是一個很奇怪的事情啊！為什麼？
比如圓周＝2πr，這裡引入一個π，導致圓周計算有點象瞎掰，這個公式就比較人工化，不神奇。可能唯一揭示的就是圓周跟直徑線性相關。
但是很多物理公式並沒有引入這樣的「瞎掰」，而是直接就是簡單粗暴的線性計算，比如開普勒第三定律T2/R3=K，這麼簡單線性的公式為什麼就能擊中行星運行的規律？場強也一樣，電場力F=Eq，場強是個實際存在而不是瞎掰的，電量也是實際存在的，為什麼受力就能簡單粗暴地用線性相乘就搞定了？
整個世界按理說應該是個非線性的、混亂複雜的世界，恰好能用這些簡單的線性公式描述，難道不是很奇怪嗎？

當然我的問題可能是為什麼線性公式能夠表達物理世界？
比如就是上面說的圓周公式，圓周＝2πr的嚴格證明要等到微積分出現，而微積分的證明要等到極限出現，所以圓周＝2πr這一公式早期也可以說就是瞎掰，為什麼瞎掰對了也是個問題，可能跟我的問題也一樣。

高中物理課上，小B學到

$F=Eq$

確實簡單。

題目把場強大小 $E=...~V/m$ 乖乖告訴小B，把電荷量 $q=...~C$ 也告訴小B，小B所做的不過是計算小學生都會的乘法，最後就能算出電場力 $F$ ，算完以後，小B感嘆一下物理世界運行的簡單，不就是數字相乘嗎？

可是，題目告訴你 $E$ ，那 $E$ 究竟是什麼呢？小B說不明白。它不像長度一樣，拿個尺子一量，就得知是多少 $m$ ，也不像時間一樣，拿個秒錶一掐，就知道是多少 $s$ 。小B丈量不了 $E$ ，小B對它毫無概念，它在小B腦海里是非常抽象的。小B會算 $F$ ，不過是因為題目乖乖告訴了你 $E$ 的大小。

$E$ 是可以計算，或者說，測量的嗎？當然可以。不過，它的長相開始變得糟糕了。

最簡單的真空中點電荷，高中學過它的場強公式

$E=kfrac{q}{r^2}$

$q$ 和 $r$ ，清晰可測量。老師又告訴小B， $k$ 是靜電力常量。 $k=9.0 imes 10^9~ Ncdot m^2/C^2$ 。小B欣然接受，往裡一套，場強小B也會算了，又感嘆，物理世界運行，真簡單啊。可是有人問小B， $k$ ，憑什麼呢，哪來的？小B不知道。後來小B一查，發現 $k$ 也是實驗測出來的。小B感嘆，哇，又是線性的，什麼鬼嘛，「人工化，不神奇」！

大學裡，小B學到了真空中點電荷場強

$extbf E=frac{q}{4pi varepsilon_{0} r^2 } extbf e_{r}$

為了獲得這個公式，小B又要用到高斯定理

$Dcdot 4pi r^2=q$

$Rightarrow D=frac{q}{4 pi r^2}$

$D=varepsilon _0E+P$

$=(chi_e+1)varepsilon _0E$

$=varepsilon _rvarepsilon _0E$

$=varepsilon _0E$

$Rightarrow extbf E=frac{q}{4pi varepsilon_{0} r^2 } extbf e_{r}$

小B一比較，知道了， $k=frac{1}{4pi varepsilon _0}$ 。

好的嘛，這個公式一看就科學多了，往裡代代，哎呀，場強又被小B算出來了。

可是， $varepsilon _0$ ，真空介電常數，啥玩意，小B又說不清。

這時候，小B找老師，老師拿出麥克斯韋方程組，給小B一列。

$left{ egin{array}{rcl} ablacdot E=0\ abla cdot extbf B=0\ abla imes E=-frac{partial extbf B}{partial t} \ abla imes extbf H=-frac{partial extbf D}{partial t} \ end{array} ight.$

其中 $egin{cases} extbf B=mu _0 extbf H\ extbf D=varepsilon _0 E end{cases}$

小B回去一通運算，算出兩個波動方程，最後得出

$c=frac{1}{sqrt{mu _0 varepsilon _0} }$

小B高興壞了，光速 $c$ 是能測的常數！小B想要的 $varepsilon _0$ 也在裡面！多好的式子！可小B定睛一看，真空磁導率 $mu_0$ 是個什麼玩意？

小B又翻到了 $mu_0$ 的定義。 $mu_0=frac{2pi rB}{I}$ 。

$r$ 不用說了，輕鬆測！

$I$ 好辦啊，接個電流表，或者想辦法 $I=frac{q}{t}$ ，都是能測的呀！

$B$ 咋整呢，辦法好像也多了去了，搞個電荷進去飛一圈試試，或者有什麼高科技儀器，還是找根導體棒進去受受力，這也不成問題！

好了，現在什麼都能測啦！那我們看看我們的 $F=Eq$ 變成什麼樣了吧。

$extbf F=frac{q_0}{4picdot frac{1}{frac{2pi r$

這公式清晰，簡單，好算，線性，剛好嗎？

這還不算之前推導 $extbf E=frac{q}{4pi varepsilon_{0} r^2 } extbf e_{r}$ 和 $c=frac{1}{sqrt{mu _0 varepsilon _0} }$ 時用到的各種運算。如果把它們也塞進去，那這個公式就更沒美感了。

所以， $F=Eq$ 可以說是人們為了記憶方便的需要，層層代換，層層定義才簡化出來的。這種方式更符合我們實際的需要，因為實際需要獲得場強 $E$ 的時候，不可能從 $mu _0$ 推起，不可能算個電場力還非要用上光速 $c$ ，而肯定要建立在前人運算的基礎上，延續進行。

描述物理世界運行的公式遠不像 $F=Eq$ 這樣線性、簡單。人類在嘗試利用物理和數學對世界進行描述的過程，體現了人類的無限偉大。

同樣的，文首提到的時間和長度，真的也是可以「測量」的嗎？

物理世界運行並不剛好就是那些簡單的公式；線性公式並不能夠表達物理世界。

那我們先來說說開普勒第三定律。請注意右邊常數K的具體含義，它包含了萬有引力常數。我能夠理解題主所說「瞎掰」的含義是指「圓周率這個值的引入看上去並不是一個特別自然的數」，可是從這個意義上來講，萬有引力常數的值，也很不自然哪。

如果題主暫且不考慮自然不自然的問題，而是問，為什麼是線性的，那麼就回到了我開頭的那句話。題主說對了，「整個世界的確是一個非線性的，混亂複雜的世界」。牛頓力學看起來線性，卻並不是真正的現實世界的描述。參見量子場論和廣義相對論。

需要指出的是，場強與作用力的公式F=qE則是一個完全錯誤的例子。這完全不是在用線性公式描述真實世界的物理規律，而這只是人為對場強E做的定義：單位電荷受到的作用力稱為場強。

剛算了一個正負電子對撞湮滅為兩個光子的微分截面（算了兩個下午……）

期末時間本來就緊張，這可是我們這學期最後一次作業啊！

如下：

世界組成單元——墜簡單的電子、正電子之間的湮滅都這麼複雜……而且這還只是墜墜墜低階的近似……

………………………………………………………………………

大家這麼熱情啊！那我就用稍通俗的語言給感興趣的童鞋簡單說一下這個計算的大體思路來感受一下下啦&>&<

首先，根據一個叫做「費曼規則」的規則（世上本來沒有這個規則，可費曼算得多了，就總結出這個規則了開個玩笑…）直接可以由那兩張圖（叫費曼圖）寫出第一行的那個式子。

（其實本來第一個式子也是需要通過冗長的計算才能得到的，但是既然費曼都總結好了，那我們就直接按照他的規則來啰，這就是所謂的踩在巨人肩膀上算(o^^o)）

然後呢，就很「簡單」了，就是利用各種「技術」（所謂技術，就相當於背乘法表，比如，當你背會乘法表以後，你看到3*5就不會算5+5+5而得到15，而是直接搶答出15，而這些技術的得來，也都還需要很多頁紙的計算，我就沒有寫在紙上了，而是直接搶答出的orz）對式子進行化簡。

接下來的工作就是把入射正負電子的自旋和出射光子的自旋給它取平均而平均掉，這裡我們並不想關心這個湮滅過程的自旋方面的信息。也是利用各種「技術」來求平均……

然後代入一個叫做微分散射截面公式的公式，再利用各種「技術」來化簡，就得到最後的表達式了。

這個計算過程的特點就是「項」很多，兩項相乘又出來多少多少項……然後再對每一項逐一化簡，最後再合併在一起。

還有就是符號的一個微小的說明，這裡面的字母代表的並不是數，而是……比如……這裡面的什麼γ呀是4*4的矩陣，希臘字母腳標代表它還有4個分量。p，k 都是4分量的矢量。還有就是那個什麼「把字母劃掉」並不是把字母劃掉……而是而是代表它是一個4分量的4*4矩陣和一個4分量的矢量對應指標相乘再求和的簡寫符號

題主，你需要一本量子場論，然後你會重新認識到物理美這個概念，有的時候是多麼的不靠譜。。。。

說正事。

1.物理世界運行剛好滿足某些公式嗎？

答案是否。邏輯反了。實際情況是物理學家用這些公式來近似的描述現實世界。物理學裡的世界是現實的簡化。無論多麼精確，還是簡化。你在問題描述中所舉的例子都只是真實世界的低階描述。比如開普勒定律可以從萬有引力定律推導出來，而萬有引力定律又只是愛因斯坦場方程在球對稱的Schwarzchild度規下的度規取g00分量的低速近似。萬有引力定律解決不了水星進動角，愛因斯坦場方程解釋不了暗能量。庫侖定律或者場強線性疊加原理實際是基於低能極限下光子之間沒有相互作用。但是這並不意味這高能情況下就沒有啊··量子電動力學裡

四個光子耦合，有封閉虛電子內線

所以，不是自然界簡單，而是在某些近似下，物理公式變的比較簡單而已。在場論裡面的高階情況，我們會遇到大量不可重整化的東西，我們怎麼處理呢？能想到一些會被數學系罵死的方法進行強行重整化的，就強行重整化，有時候還居然能用，鬼知道是怎麼回事。實在油鹽不進的，嗯，扔了就行……就當它不存在····

物理公式是描述自然界的語言，但就像我們平時交流用的語言有時不能言盡其意，只不過遇到這種情況，我們保持沉默罷了。

不過場論裡面也不全是這樣。比如標準模型裡面的群結構SU(3)×SU(2)×U(1)描述了三種基本相互作用，還是很漂亮的，雖然那個拉氏量不長這樣，樓上有人貼出來了。。。

註：李群的生成元與規範玻色子的關係

關於群生成元和規範玻色子的問題，並非群生成元對應規範玻色子，而是規範勢對應規範玻色子，而規範勢作為李代數空間的向量可以用生成元作為一組完備基進行展開，因此規範勢的分量個數，也就是規範玻色子的種類數和李群生成元個數相同。

2.一個更重要的問題：為什麼自然界能用數學公式表述？即，數學的有效性問題。

這個問題，我認為才是真正重要的問題，雖然這個問題看上去已經擺脫了物理的範圍，進入了哲學的範圍。但這個問題的核心就是數學真實究竟是什麼層面上的真實。數學雖然是人腦對客觀世界的抽象，但到現在隨著類似代數拓撲這種純粹數學的發展，數學和現實之間開始似乎越來越沒關係。前段時間，我看到代數拓撲可以用在神經生物學計算腦神經元的拓撲分布，解決一些問題，但是代數拓撲理論自身是自洽獨立，並且和現實無關，說穿了數學只是基於邏輯的一套由公理，定義，定理，命題構成的符號體系。在這個層面上，你很難再說數學都是對客觀世界的反映。畢竟，現實裡面沒有諸如Hilbert空間這些東西。它可以用來描述世界，但不是世界本身。但是，數學確實是描述世界的有效工具，雖然我說了，物理學只是現實的近似，但它是可以用數學描述的。就像用文字描述一個場景，你可能無法面面俱到，但確實可以描述一些本質的東西，在這個意義上，數學有著不可理喻的有效性。假想一下，在一個與我們的符號語言完全不同的外星球，他們也會有自己的數學，用的符號和我們完全不同。但我們有足夠的信心認為，即使符號不同，我們可以在他們的體系里找到與我們體系里的對應物，實質是一樣的，不依賴於用的符號、進位這些表層的東西。這說明，數學又確實不只是純粹的意識的抽象，確實是和現實有交集，但現實與數學這兩個集合不是誰含於誰，只是有交集。數學有效性和真實性的問題，我倒是覺得是一個很重要的問題，有關論述可以看《通向實在之路》羅傑·彭羅斯第一章

還有魏格納的一篇報告

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

，有興趣的自行閱讀The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

3.加一點私貨

物理也不是什麼都能做，所以學物理的同學們如果有誰有學科鄙視鏈的，可以洗洗睡了。

物理學裡經常的情況是，原則上如何然而實際上如何。理論上成立，實際上算不了。有一種思想叫做還原論，認為所有的自然科學可以歸結為物理計算。實際上，就連氫分子這種最簡單的多原子分子，薛定諤方程的求解不得不用一系列近似。而第一性原理也不是什麼體系都能算。化學上最簡單的氫氣燃燒生成水，至今無法從量子化學上通過反應截面進行定量計算產率。更不要說有機裡面那些反應，各種諸如親電子基團，空間位阻，親核進攻，定性的說說可以，真要計算誰也沒轍。有時候，不同層次（hierarchy）的規律可能並不能簡單累加，所謂量變產生質變不是沒有道理。

最後補一句，愛因斯坦名言，"宇宙最不可理解之處在於它是可以理解的"，現在看來，宇宙儘管可以理解，但可能終究無法被完全理解。

就這樣。

很多公式看著簡潔而已，實際計算起來根本不是那麼一回事，很多方程比如麥克斯韋方程愛因斯坦場方程，用張量的形式寫出來就一兩個，認真一計算起來你發現特么是十幾個，甚至幾十個，再比如，標準模型的拉氏量是這樣子的，是不是很簡潔很優美

進一步展開它是這樣子的

為了不嚇到題主就不進一步展開了

這說明題主還需要學習，你越學習就會發現高中物理簡直就是人間天堂

具體問題具體回答，比如題主你問的電場力公式為什麼那麼簡潔？

這麼說吧，這個公式是分等級的。

首先是入門級： $F=Eq$ ，這個很容易理解和記憶，它所表達的事實是：電荷量為 $q$ 的點電荷在場強為 $E$ 的電場中受到的力 $F=Eq$ ，一個十分簡潔的線性關係；

然後是進階級： $F=Eq$ ，其中對於點電荷系統 $E=frac{1}{4pi varepsilon_{0} } sum_{i=1}^{N}{frac{q_{i} }{left| r-r_{i} ight|^3 }left( r-r_{i} ight) }$ ，對於體電荷系統 $E=frac{1}{4pi varepsilon_{0} } int_{V}^{}frac{ ho_{e}left( r$ ，其它靜電場電荷系統以此類推。其中 $varepsilon _{0}$ 為真空介電常數。進階級告訴我們一個重要事實：電場強度 $E$ 並不是自然而然的，而是一個需要定義的物理量，它實際上是電荷量、電荷的空間位置和兩個常數（圓周率與真空介電常數）之間絕對算不上簡潔的一種關係的表達。只有在恰當地定義了電場強度的概念以後，才能得出電場力的簡潔表達形式；

然後是更加進階級： $F=frac{dp}{dt}$ ，其中 $p$ 為動量， $t$ 為時間。於是可以看出，甚至連「力」都不是自然而然的，它同樣是一個需要被人為定義的概念，本質上它是「動量「和「時間「這兩個更加基本的量所構造的一種關係。

繼續進階下去的方向就十分廣泛了，理論力學可以把力學分析中的「力」這個概念完全拋棄，使用「約束」和「廣義坐標」這些更基礎的概念來描述系統的行為；電磁學和電動力學可以進一步探討電荷之間的相互作用的具體過程和具體行為、包括運動過程，而不只是得出一個靜止狀態下的相互間作用力大小；量子力學及其衍生的量子電和量子色動力學則進一步討論這種相互作用的本質……還有很多很多已經完全超出我的知識範圍的延伸和拓展。

所以可以這麼說，物理學的基本公式是基本的，但是並不是「簡單」的，它的「簡單」需要複雜的思考和抽象。但是換個角度想想，從複雜的世界中能夠抽象出這些簡單的結構，這一事實原本應該就是物理學最奇妙的部分。

因為這符合人的認識規律，人對自然的認識是從簡單到複雜的，所用的數學工具也是，物理上來說，從簡單線性關係到微積分到量子力學的矩陣以及現代數學很麻煩的一些玩意。而我們的思維也傾向於把一個複雜的東西拆成很多簡單的東西考慮，比如微積分就是這麼來的，傅里葉變換也可以這麼認為，實在修正不了就會弄新的數學工具，你舉得幾個例子恰好是人類比較早發現的簡單例子，後來的事情就沒這麼簡單了。

圓那個例子除外，自然界沒有圓這麼個東西，是定義出來的，至於為什麼平面上到一個點距離相等的點的集合構成的圖形周長正好是2πr，這倆數成正比可以邏輯推導，這個邏輯不一定要用微積分，用對稱性就可以。而π是定義出來的。

一點都不奇怪。

世界確實是混亂複雜的，當年圖靈計算出奶牛背上的花紋後也想過這個問題，為什麼我們使用的工具都是簡單粗暴的，而不是跟大自然一樣複雜而非線性的。

道理也很簡單。

如果牛頓那時候被蘋果砸了一下之後，腦子裡冒出來的不是 $F=Gfrac{Mm}{R^2}$ 而是 $ds^2=(c^2-frac{2GM}{ ho})dt^2-(1-frac{2GM}{c^2 ho})^{-1}d ho^2- ho^2dphi^2- ho^2sin^2phi d heta^2$ ，那才奇了怪了。

物理公式是人類對物質世界的描述，而不是自然的真實法則。

為了認識世界，我們從我們能夠認識的東西開始。而我們能夠認識的，最簡單的運算，就是加減乘除冪開方，最簡單的關係，就是線性關係。

為了利用這些基礎知識預測事實，我們又從現象中抽象出了輔助的概念。

開普勒第三定律確實是個比例關係，但你有沒有想過指數項為什麼是這樣的，常數 $K$ 為什麼是與 $M^frac{1}{2}$ 成比例而不是 $M$ ？

電場力 $F=qE$ 太好看了，但你有沒有想過 $F$ 這個概念是真實存在的嗎， $E$ 又是如何被定義的？

在一定程度上，物理公式之所以這麼簡潔，是因為我們刻意把它們弄成這麼簡潔。

而在另一些程度上，也許自然法則真的就是這麼簡潔。

我們看到的世界很複雜，但並不代表它的規則也一樣複雜。

如果你相信有神，那麼神應當是優雅的；如果你一棍子把神打死，那麼這個從虛空中誕生的世界是用哪裡來的智力搞出一套這麼複雜的規則？

在毫無生氣的牛頓力學中，一切規則都是簡潔而優美的。但只需要三個質點，你就可以得到一個混沌的世界。

即使經歷花式修正之後，標準模型的拉氏量展開可以寫滿兩張紙，但科學家們還是相信這個世界是不那麼複雜的。萬一算到最後發現真的只有三個質點呢？

我都說到這份上了，如果你還是不信，那我只好掏出人擇原理了：

如果人類僅有的這幾個簡單粗暴都無法描述世界，那麼我們就發展不出今天的科技了；即使發展出來，你也不會坐在屏幕面前問它為什麼這麼簡單了。

一看到問題，我就想起來了以前看過的一篇微小說……找了半天終於找到了：

《勾股》

作者：劉洋

它就這麼孤零零地闖進了我們的視野：一個橢圓形的大傢伙，破破爛爛，遍布裂痕，像是在某種巨大的壓力下崩解了似的。雖然早已失去了動力，但憑著慣性，在各種星體的引力拉拽下，它還是來到了我們這個位於柯伊伯帶的觀察站附近。

確定沒有威脅之後，我和古河決定去查看一下。

我們小心地拉開它扭曲的艙門。什麼東西卡在封閉栓里了，門只能打開一半。裡面的陳設還基本保持完好，只是不知為何，所有的東西都呈現出一種扭曲的狀態，讓人想起某種後現代的雕塑作品。最後，在一個金屬箱子里，我們看到了「他」。

「他」早已死去，肢體僵硬，全身沒有任何新陳代謝的跡象。出人意料的是，「他」除了頭部呈現倒三角形的奇怪形狀，身體的其他部分竟然和人類驚人的相似。

在一個柜子里，我們發現了很多如同膠皮一樣的東西，上面寫滿了各種奇怪的符號。

我們把它們掃描下來，試著用文字破譯軟體碰碰運氣。破譯過程花費了大概一周的時間，最後我們得到了一本類似學習筆記或是日記的東西。

我覺得其中很有意義的是以下幾則。

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Section103

昨天學習了面積定律：一個方形的面積等於長度乘以寬度。老師出的作業我都完成了，包括最後一道題：計算一個不規則形狀的面積。我把它分割成幾個小塊，然後拼接起來，正好可以組合成一個方形。今天上課的時候，老師特別表揚了我。他說班上只有我一個人做出了這道題目——我想這和我喜歡玩剪紙應該有一定的關係。

我真是太高興了。數學沒有他們說的那麼難嘛，我覺得還挺有意思的。

Section197

很多人說，升入六年級以後，數學就變得特別難。其實我覺得並不難，只是計算變得繁瑣了。

比如昨天學過的勾股定理：在一個直角三角形中，兩個直角邊的平方和，等於斜邊的s次方。S就是俗稱的勾股常數，約等於2.013。一千年以前，古代的數學家們就把s的準確值推算到了小數點後28位。

實際上用不到那麼多位，在實際生活中，大概取到2.013就可以了。老師是這麼說的。

雖然如此，但計算一個數的2.013次方（或者進行2.013次的開方）還是一項非常困難的事情。進入六年級以後，基本上每一道數學題都會耗費我們幾個小時的時間，其中大部分時間就是在進行那繁瑣的冪運算。

有時候我想，要是s就等於2，該有多好啊！那樣的話，每個題目我只用幾秒鐘應該就可以算出答案了吧。

Section248

對於冪運算和開方的方法一定要牢固而熟練地掌握，我記得小時候的老師總是念叨這句話。現在我完全明白它的意思了。

在所有的科學課程里，幾乎沒有不用到這些繁瑣運算的。引力與距離的2.07次方成反比，元電流的磁場與距離的3.02次方成反比，能量等於質量乘以光速的2.03次方……所有這一切，都讓我覺得好累。

不管多麼有趣的科學課程，最後總是淪為無比枯燥而冗長的計算。

Section335

我無意中發現了一個奇怪的東西。

我很喜歡玩剪紙，從小就是。昨天，我拿著一塊正方形的硬紙片，想著該怎麼剪比較合適。我首先從中挖出了一個小正方形，這樣，剩下的部分正好是四個直角三角形。本來我的想法是把它們拼成一架太空船，四個三角形是飛船的翼。可是看著桌上的那堆紙片，我突然愣住了。

原來的大正方形面積等於所有小塊的面積之和，而正方形面積是邊長的平方……這裡面，似乎有哪裡不對？

我試著寫出了一列等式，然後化簡。最後，我得到了一個驚人的式子：

a2+b2=c2

沒有什麼2.013，就是簡單的2！

我被這古怪的結果所震驚，然後又為這式子的簡潔的魅力而深深吸引住了。我有一種強烈的直覺，也許這才是勾股定理真正的模樣。

Section336

我的期望破滅了。

今天我去找了數學老師，向他說明了我昨天的推導。我滿心期待的看著他，希望可以從他臉上看到驚訝的神色，然後說：「啊！真的是這樣啊！」可惜沒有，他只是笑了笑，微微地搖了搖頭。

「不對。」

「哪裡不對？」

「面積公式錯了。」老師用手摸了摸我的頭，頓了頓，然後接著說：「你是個聰明的孩子，竟然能想到如此簡單的方法來推導勾股定理。可惜……」

「面積公式不是長乘以寬嗎？」

「那只是一個近似罷了。在低年級的教材里，確實是這麼寫的，但如果你升入更高的年級，就會知道，要計算面積，除了長乘以寬，還要乘上一個修正因子——那才是正確而嚴格的面積公式！」

是啊，我早該想到，事情哪有那麼簡單呢？

我沮喪地回到家裡，看著桌上擺的那一堆剪紙，一點擺弄的心情都沒有了。

Section1129

馬上就要報名高等學院了，我決定報考宇航員。

我還記得，我小時候的願望一直是當一名科學家。可是，現在我一想起科學，腦袋就隱隱作痛。那些科學理論，無不繁瑣而冗長，讓人生厭。這個世界就是這樣，建立在一堆毫無美感的無理數的基礎上。我有時候想，如果真的有上帝的話，那他一定是一個技藝拙劣的傢伙。

Section2983

飛船已經離開了勒維星系，這是人類有史以來最偉大的創舉。我想，三個月後，當飛船上的信號和觀測數據傳回到母星上時，他們都會為我而驕傲吧。

而我還將繼續往前，探索那些從未有人踏足過的領域。

Section3012

奇怪的事情又發生了。

幾天以前，飛船的艙頂莫名其妙的出現了一個裂縫。氣壓感測器敏銳地捕捉到了漏氣的地方——那是在一個很偏僻的角落裡。我仔細地把裂縫補好，防止空氣進一步的外泄。

從那以後，各種突發情況就不斷發生。飛船的艙體像是受到了擠壓似的，出現了很多皺褶和縫隙，我不得不為補好這些縫隙而疲於奔命。但是這完全沒有道理。飛船現在處於茫茫的宇宙空間之中，哪來的壓力呢？

然後各種感測器和發動機也開始頻頻出現故障。在那些堅硬的合金元器件上面，開始有明顯的裂痕出現。每天入睡的時候，都可以聽到「吱吱啞啞」的聲音，從飛船的各種隱秘的角落傳出，簡直像是呆在一座鬼屋中。我完全無法安然入睡，最後只好服用催眠藥劑。

而今天，我發現連引力感測器都出問題了。有一顆三十噸的小行星剛好經過了飛船前方，而引力感測器得到的引力數據和計算機通過遙測計算出的結果完全對不上。

唉，不知道這樣的情況要持續到什麼時候。

Section3028

我想我知道問題在哪了。

我一直在琢磨前幾天的引力數據，發現了一個奇怪的事實。如果假設這些數據都是正確的，把它們帶入到引力公式中，我發現，引力與距離成反比的冪，剛好是2.

我用偏振光干涉法測量了一個直角三角形的三個邊長。短的直角邊是3，長的直角邊是4，斜邊長竟然是5！

在實驗的誤差範圍內，斜邊的長度精確地等於5，而不是比5多一點或者少一點的某個數。

Section3084

我知道飛船撐不了多久了。

每一個部位都面臨崩潰的境況，現在即使立馬回航，也完全沒有安全降落的可能了。

勾股定理——是的，正是勾股定理造成了這一切。飛船那拼接的殼體，儀器中那些精密連接的構造，所有這一切，都是按照2.013的冪次製造和接合的。然而現在，法則已經改變。

我一點都不害怕，事實上，我的心情非常平靜，或者說，隱隱地還有點開心。勾股定理就應該是這樣的，不是嗎？

這才是一個美麗的宇宙。而我，就將在這樣的宇宙中沉睡了……

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「我很好奇，為什麼他們會總結出那麼奇怪的勾股定理呢？」我把手上的列印稿看完，感慨良多。

「嗯……我想是因為K09號蟲洞吧。」古河搜索了一下資料庫，「在他們星球附近正好有一個曲率半徑不大的中型蟲洞，因為它，附近的空間都被輕微的扭曲了。」

「就算這樣，難道他們就從來沒有懷疑過那些所謂的自然常數嗎？2.013次方，這是個多麼奇怪的數字啊！單從美學的角度來說，這個公式就值得懷疑。」

「不識廬山真面目,只緣身在此山中啊！」古河也嘆息了一聲，「不要從我們的角度去評價他們的智慧，也許我們的文明，也在某個更大的扭曲時空之中呢——你難道不覺得，圓周率3.1416，也是個非常古怪的數嗎？」

我突然愣住了，久久說不出話來。

（十二月「千里碼」主題：勾股）

簡潔源於隱藏在convention與definition中的複雜。

而且，非線性的東西很多的，題主如果有興趣，可以去看看大學的普物（雖然可能得先補補高數）。倒是有很多非線性的問題我們根本無法解決，不得不以各種近似的方法（比如線性化）來處理。

順便，是否線性很多時候取決於你把什麼東西當做變數看待，而把什麼東西當變數看取決於你所要處理的問題。

1.就目前看，物理學有一個最基本的對稱原理，就是所有不對稱的結果必是不對稱的原因造成的。所以大部分物理定律都有較高的對稱性，因為可以總結成簡潔的公式。

2.倖存者偏差！任何物理現象，無論多麼地沒有規律，總能在某個層面上獲得一定程度的對稱性，比如熱運動在統計意義上的對稱性，而人類只能理解高度對稱的規律，所以我們人類最後總結或者使用的公式總是簡潔的。

熱運動按照牛頓力學推到出來的公式不是一個凡人能掌握的，所以我們必須得用麥克斯韋分布，玻爾茲曼分布來描述現象，但是熱運動的隨機性遠不及我們描述的程度，熱運動在相當大的範圍內是可以預言的，前提是你有觀測手段和足夠強大的計算機。

量子力學說不定是隱變數的結果，而且現在可以證明隱變數假設對應的一定是一個極其複雜的規律，我們沒辦法得到一個簡潔的隱變數理論。

你學了量子場論就知道了。

電場力為什麼是平方反比（而不是1次方反比，3次方反比，2.5次方反比），世界為什麼只關注到2階導數（也就是說不需要管高階非線性的項目），等等等等，都是有原因的。

最最簡單地說，高階非線性的項目，無論存在與否，是我們完全無法觸摸到的（不可重整化）。所以可以當它不存在。

上過小學自然課的人都知道，地球磁場可以用一個磁偶極子來近似，但這是為什麼呢？有個英國著名物理學家 Patrick Blackett 從好友愛因斯坦的相對論得到啟發，認為既然連引力都能用如此簡潔的公示來描述，那麼別的一些不那麼複雜的東西應該也能找到很優美的公式，比如地球的磁場。

於是他帶著學生開始了對地球磁場的研究。理論上推公式比較簡單，他很快得到了一個將地磁場和自轉角動量聯繫起來的模型，很優雅，得到了包括愛因斯坦在內的多個贊。

接下來他開始驗證模型。得益於二戰對技術的推動，對物體磁場進行高精度的測量的技術已經很成熟。他和學生測量了世界各地的岩石樣本……

然後就沒有然後了。

因為地球磁場幾乎是團亂麻。

Blackett 獲得了1948年的諾貝爾物理學獎，當然，不是因為他的這個優雅然並卵的理論。

直到現在人們依然沒搞清楚地球磁場是如何產生的。有很多或簡單或複雜的理論模型去解釋地磁場的產生，但即使是最簡單的那些，也比 Blackett 那充滿美感的公式複雜好幾倍。

不過 Blackett 的工夫也沒有完全白費，大量的地磁觀測在十來年後成為板塊理論的一個重要證據，人們對地球的認識更進了一步。

不過從此理論物理學家和地質學家的梁子算是結下了……（誤）

宇宙大統一理論公式，是終極目的。

-_-#我知道麥克斯韋方程組是最簡潔優美的你們不用提醒我啦我只是想舉個不是線性公式的例子而手機里剛好存了這張圖

一開始以為題主是高中生只學過簡單的公式，後來發現不是，所以題主並不是沒有見過複雜的公式吧

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因為你知道的都是簡潔的，不簡潔的你都不知道

存了一張不是那麼簡潔（其實也很簡潔）的你感受一下

實驗數據是點

公式是線

世界是圓

所有的公式都只是在無限的逼近那個圓。

公式簡單，誰都會寫，但是用公式是有門檻的。

跨過門檻，你才能從默寫到理解，從吹牛皮到應用。

這裡說的門檻，就是思想，以及數學。

物理世界的運行就像一個球。

古代人站的遠，所以看到的只是一個點。他們說，世界原來就是一個點。

近代人站的近了點，看到了一個圓。所以，他們用二次函數就能描述這個世界。

現代人走的更近了，發現世界是個球，而且球的表面還凹凸不平。

描述一個點，只要一個坐標就可以。

描述一個圓，需要用到二次函數。

描述一個表面凹凸不平的球，就要用到高等數學的知識了。

人類對世界的認知，是一個越來越細化的過程。世界的醜陋會因為人類的無知而被隱藏。

題目中問到為什麼一個簡單的數學公式就可以描述世界，那是因為中學物理只教到近代人對世界的描述。那個描述方式在現代物理學來看，是粗糙而且籠統的。

也許，未來人看我們現在的物理學，也是一樣粗糙不堪。但我們已經儘力去描述這個世界了。

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此外，還必須說明的是，我們也不能忽視人類智力進步導致對數學接受程度的提高。

放到1000年前，能做加減乘除運算的人，已經算是科學家了。

放到牛頓時代，會解方程的也都是知識分子。能做積分的，全世界也就兩個人——牛頓和萊布尼茨，世界最頂尖的數學家。

所以，當我們說簡單的數學的時候，請不要忘記我們是處在人人都會四則運算，大學生都會積分的時代。是我們進化了。

先有自然，然後有人，再然後才有自然科學。

自然科學不是自然，而是人對自然的闡述。

人總是希望規律能夠儘可能的簡潔、優美。

如果不夠簡潔怎麼辦？

一方面，我們可以定義出新的數學概念、物理概念，使之簡潔。

比如說，力既有大小也有方向，有了矢量這個概念及其運演算法則之後，你才能用一個公式表達力的關係。

比如，簡潔的麥克斯韋方程組，你如果不使用算符，也就沒有那麼簡潔了。你要是不使用微積分，你連表達出這個方程都做不到。

以上是數學對於物理公式簡潔化的貢獻。

又比如，牛頓第二定律，F=ma，看上去似乎很簡潔。但是你要知道，這個公式包含了3個概念，你要是把F，m，a的含義都寫入其中，這個定律就不那麼簡潔了。如果把a的含義寫進去，這個式子就成了 $F=mfrac{dv}{dt}$ ，看起來是不是就沒有剛才那麼簡潔了？這是物理概念對於公式簡潔化的功效。

另一方面，我們可以做出近似，使這種規律能以簡潔的形式寫出來。這種近似有時候是主動的，人主動地對一些複雜的模型或者公式做出近似；有時候是被動的，人在不知不覺中就已經做出了近似。前者不必多說，後者在物理理論的構建中也是廣泛存在的。因為物理的基礎理論往往是人假設出來的，因此往往是簡潔的，驗證這種理論是否正確的方式是通過實驗，而實驗是存在誤差的。也就是說，即使這個理論僅僅是實際的近似，但是只要誤差足夠小，我們依然認為這個理論的正確的。你可以這麼理解：實際世界是很複雜的，物理理論只不過是實際情況的一種簡化，正是這種簡化使得物理規律能以一種簡潔的形式呈現出來。

比如說，經典力學可以看做是相對論在低速情況下的近似。由於這種近似足夠好，所以我們可以認為在低速情況下經典力學是正確的。同理，相對論也不過是實際世界的一種近似，但是在我們沒有找到更好的近似之前，它就是正確的。

所以不是物理公式本身簡潔，而是人使物理公式變得簡潔。

因為高中還不能教太複雜的公式。。。