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已知正方形的邊長為1，求陰影部分面積？

01-05

有段時間沒做積分了，練練手。

話說這題目勾起了我六年級的回憶，當時一課一練上有道題出錯，就是這麼出的，怎麼做都做不出來。問了幾個老師，要麼做不出來，要麼自說自話添上兩塊小的曲邊三角形的面積來算面積。

於是給當時讀高中的表姐做，她做出來了，不過式子裡面帶有反三角函數。當時我是看不懂的。

題主說這是初中題，但初中即使競賽也不會接觸到反三角函數的。

不需要什麼微積分啦，所有圓弧和直線圍成的面積都有解析解，把圓弧連成直線，這個區域就是一個多邊形與若干個弓形的和或差，弓形是扇形與三角形的差。沒有求不出來的區域。像這個明顯就是一個弓形減去另一個弓形。

也不需要什麼解析幾何，圓弧相交的情況是圓心與交點構成三邊長度確定的三角形，直線與圓弧相交的情況是圓心、交點與弦中心構成已知斜邊和直角邊的直角三角形，所有的邊長、角度都可以用勾股定理、三角函數還有餘弦定理計算出來。

嘗試了極坐標，感覺不如單純的代數幾何方法

建立如圖的坐標系

1. 求解交點坐標 (x0,y0)

求解過程略，x_0=pm sqrt{frac{7}{32} } ; y_0=sqrt{frac{1}{32} }

2. 求解 heta _1、 heta _2

sin heta _1 = frac{|x_0|}{1}= sqrt{frac{7}{32} } ; cos heta _1 =sqrt{frac{25}{32} }

sin heta _2=frac{|x_0|}{0.5}=sqrt{frac{28}{32} } ; cos heta _2 =sqrt{frac{4}{32} }

4. 求解陰影面積

S=S_2-S_1

S_i=( heta _i-sin heta _icos heta _i) R_i^2;i=1,2;R_1=1;R_2=0.5

S = frac{1}{4} arcsinsqrt{frac{7}{8} } -frac{sqrt{7} }{32} - arcsinsqrt{frac{7}{32} } +frac{5sqrt{7}}{32}

= frac{1}{4} arcsinsqrt{frac{7}{8} }-arcsinsqrt{frac{7}{32} }+frac{sqrt{7} }{8}

approx 0.1464MATLAB驗證：

網格密度0.02時計算結果：0.1423

網格密度0.01時計算結果：0.1450

網格密度0.005時計算結果：0.1463

我來用Mathematica算一下。

畫了下圖，將尺寸放大了10倍。

其實就是求下圖中DGJ的面積S1。

  • 1、三角函數解法

如果用三角函數的話，設置角GAE為a，角GAD為b，角HEG為c，

用餘弦定理可求出

cos(a)=frac{5^{2}+5^{2}+10^{2}-5^{2} }{2 imes 5sqrt{2} imes 10} =frac{5}{4sqrt{2} }

sin(a)=frac{sqrt{7} }{4sqrt{2} }

cos(b)=frac{sqrt{7} +5}{8} ，

從而可求出三角形AHG的面積S2、扇形ADG的面積S和線段HG的長度。

再根據餘弦定理可求出c。

從而可求出圓弧HG的面積S3，從而求出：

S1=frac{100-25pi}{4} -(S-S2-S3)

待求面積為：

X=100-25pi -(frac{100-25pi }{4} )-2S1

即：

X=frac{100-25pi }{4} +2(S-S2-S3)

都是些三角函數，就不想算了。

  • 2、三角函數解法

所求面積就是扇形面積減去一個弓行和三角形面積，這樣算比上面的圖簡單些。

設置角GAE為a，角GAI則為2a，角GEI為2b，2a小於90度，2b大於90度而小於180度。

cos(a)=frac{5^{2}+5^{2}+10^{2}-5^{2} }{2 imes 5sqrt{2} imes 10} =frac{5}{4sqrt{2} }

sin(a)=frac{sqrt{7} }{4sqrt{2} }

cos(2a)=cos(a)^{2}-sin(a)^{2} =frac{9}{16}

sin(2a)=frac{5sqrt{7} }{16}

線段IG的長度為：

20sin(a)

三角形GEI底邊GI上的高為：

10cos(a)-5sqrt{2}

所以三角形GEI的面積為：

S_{1} =10sin(a)(10cos(a)-5sqrt{2} )=50sin(2a)-50sqrt{2}sin(a) =frac{25}{8} sqrt{7}

又因為：

cos(b)=frac{10cos(a)-5sqrt{2} }{5} =2cos(a)-sqrt{2} =frac{sqrt{2} }{4}

sin(b)=frac{10sin(a)}{5} =2sin(a)=frac{sqrt{14} }{4}

2b大於 90度小於180度。

sin(2b)=4sin(2a)-4sqrt{2}sin(a) =frac{sqrt{7} }{4}

cos(2b)=cos(b)^{2} -sin(b)^{2} =-frac{3}{4}

所以弓形面積為：

S_{2}=100 frac{2a}{360} pi -50sin(2a)

所求面積為：

S=frac{2b}{360} 25pi -S_{1}-S_{2}

這裡b和a都是角度值。

  • 3、定積分解法

如果把10換成原題的1，則是0.15左右，和ZongqiShen的稍有差異，定積分也不大會用了，不知道解得對不對。

我求的是邊長20的，方法一樣，除400就是邊長為1的答案。

初中的吧，主要是餘弦定理和海倫公式

特別想開CAD量一下

先上結果

frac{sqrt{7}}{8}-frac{pi }{32}-frac{11}{16} sin ^{-1}left(frac{1}{8} ight)approx0.1463812595303478

用Mathematica很方便，得出結果簡單，不過要化簡為比較簡潔的結果麻煩一點

據說這是一道小學六年級的題目，表示想了一晚上沒想出來，樓上的解法都可以，只是六年級未必看得懂啊

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