「區間[0,1]的實數個數等於整個實數集合的實數個數」這句話如何理解？

01-05

區間 [0,1] 的實數個數為無限，而整個實數集合也是無限，怎麼理解無限=無限？或者說，是不是可以理解為所有實數都可以在 [0,1] 區間內找到對應的點？

謝邀。

這句話是正確的，因為區間[0, 1]中的實數個數和整個實數集合的實數個數都是一階無窮大。

無窮集合之間要比較大小，不能像有限集合那樣數數，只能看兩者之間能不能建立一一對應。如果能建立一一對應，就定義兩個無窮集合的元素個數就相等。這個思想是德國數學家康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845 - 1918）提出的。

康托爾根據這種思維方式，偶數集合跟奇數集合一樣大。因為每取一個偶數2n，都可以取它減去1得到的奇數2n-1來跟它對應。這一點很容易接受，對不對？

你還會立刻發現，這樣的一一對應不是唯一的。你可以讓2n跟2n+1對應，也可以讓2n跟2n-3對應……還可以設計出更多更複雜的一一對應方式。

那麼我們再來看下一個命題：整數集合跟偶數集合一樣大。因為每取一個整數n，都可以取它的二倍2n來跟它對應。這會讓很多人感到不可思議，因為偶數集合是整數集合的真子集。但根據定義，這個推導完全正確。實際上，無窮集合的本質特徵之一，就是有可能和自己的真子集一樣大。

現在我們來比較區間[0, 1]中的實數個數和整個實數集合的實數個數。很容易設計多種一一對應，我這裡展示一種直截了當的，請讀者再想想其他的。

把[0, 1]中的數表示成十進位小數，那麼它們都是0.xxx...，即0.後面跟若干位數字串，長度有限或無限。這些數字串的最前面有多少位是連續的0？把連續的0的位數記為N，也就是說，第N+1位是第一個不是0的數。把小數點移到第N+1位後面，我們就得到了一個[1, 10)中的數。用科學記數法，把這個[1, 10)中的數乘以適當的指數因子，就可以表示所有的實數。

為了表示實數中的正數和負數、絕對值大於1的數和絕對值小於1的數這總共4種情況，我們來考察N除以4餘幾：

當N = 4n (n &>=0)時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的n-1次方（這純粹是為了讓N = 0的小數即小數位後第一位就不是0的小數對應自己）。例如0.12對應1.2E-1，即0.12。0.000012對應1.2E0，即12。

當N = 4n+1 (n &>= 0)時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的-(n+2)次方。例如0.012對應1.2E-2，即0.012（又對應了自己）。0.0000012對應1.2E-3，即0.0012。

當N = 4n+2 (n &> 0)時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的n-1次方，再加個負號。例如0.0012對應-1.2E0，即-1.2。

當N = 4n+3 (n &>= 0)時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的-(n+2)次方，再加個負號。例如0.00012對應-1.2E-2，即-0.012。

再加一條，0就對應0。

用這種方法，你在[0, 1)中的數和全體實數之間建立了一一對應。你甚至都還沒有用到1這個數！當然這無關大局，容易證明[0,1]和[0, 1)的元素數目是一樣多的。容易證明，任何一個無限集合加上一個有限集合，總集合的元素數目都跟最初的無限集合相等。

那麼有人會問了：是不是所有無限集合的元素數目都是一樣多的？不是。

可以證明，實數集合的元素數目就多於整數集合的元素數目，你絕不可能在兩者之間建立起一一對應。於是人們把整數的數目叫做零階無窮大，實數的數目叫做一階無窮大，後者大於前者。同樣還會有二階、三階以至任意（有限）階的無窮大。

如果你感到頭暈目眩，這很正常，請再仔細想想。如果你感到很有道理，「本來就應該是這樣的嘛」，恭喜你，你的數學天分不錯！

設無限集合A 1.2.3.4.5.....

無限集合B 1.4.9.16.....

A與集合B之間顯然每一個元素可以建立一一對應關係y=f(x2),且B集合為A的真子集,即一一對應,又真子集,這就是無限

對於無限集合來說，衡量哪個多哪個少，看的是能否建立一一映射。自然數與有理數可以建立一一映射，所以兩者一樣多，儘管前者是後者真子集。實數比自然數要多得多。但是[0,1]之間的實數是可以與全體實數建立一一對應的。至於具體的細節，可以搜索「集合 cardinality」

無窮集合之間比較大小的概念是有限集合概念的推廣，這裡所有的無窮集合通過能否可以與自然數集建立一一對應來進行比較，能夠與自然數集一一對應的集合把他們的基數記作阿列夫零。康拓證明了一個序列不能窮舉一個區間，故區間（0，1）是無法與自然數集一一對應，把（0，1）區間的基數記作阿列夫1.上面答主已經證明了實數整體可以和（0，1）區間建立一一對應，可以直觀理解為所有實數都可以在[0,1]區間內找到對應的點。其實我在這裡有一個疑問，就是無窮集合的一一對應似乎是建立在一種直觀的基礎上，及有限集合一一對應的自然推廣，但是無窮集合之間能否一一對應是不是要給出證明，假如說要藉助直觀，那麼希爾伯特他們一直反對的幾何直觀是不是一個笑話？

這不是實變函數的基本理論么，可列集元素個數（基數，勢）都是 $aleph_0$ ，不可列集元素個數都是 $aleph_1$ ，任何區間內的實數集都屬於不可列集。

$y=tan[pi (x-frac{1}{2})],x in(0,1)$

你算一下它的值域就知道了。

一個簡單的一一對應方法是這樣的。

這個墜痛苦的就是手指，描圖的時候一下子就。。。。。

解釋一下，首先在下面做一個半圓，按照垂直的方向可以將線段和半圓一一對應。

然後將圓心與半圓上任意一個點連接起來，恰好對應直線上一點，就建立了一一對應。

幾何上最直觀的方法證明就是:你畫一條線，代表實數，然後你畫一個長度為1的半圓弧。從圓心連接圓弧上一點延長總是能和實數數軸相交。而且顯然這些交點各不相同。

然後，有興趣去學習測度論吧，這些是測度論的前置知識。

首先先來證明這個命題，這個可以用函數f（x）=1/x在區間（0，1]上面是連續的（初等函數在定義的區間是連續的，在定義區間的子區間也是連續的），這裡x的範圍是（0，1]，f（x）的範圍是（0，∞），所以（0，1]的數字和（0，∞）的數字是一一對應的，因為0對應0沒毛病，所以（0，1]∪{0}和（0，∞）∪{0}一一對應，所以[0，1]和非負實數是一一對應，所以一樣多。然後是證明非負實數和實數一樣多。因為f（x）=lnx在x屬於（0，∞）的時候，函數連續，且f（x）的取值為（-∞，∞），0單獨拿出來，和-∞進行對應，所以非負實數和實數一樣多，所以[0，1]裡面的數字和全體實數一樣多。

那麼我們來理解一下，這裡之所以會這樣是因為有一個無窮。

在無窮的世界裡面，不能用無窮的數學規律來理解，無窮裡面只有高階無窮大，高階無窮小，還有同階，什麼意思呢，就是假如a和b是兩個數字（假設都是非負的，這樣和這個命題更貼合），a/b的極限是0，則說a是b的高階無窮小;如果極限是無窮，則說a是b的高階無窮大;如果是一個常數則說是同階的。然後，這個階數有時候是可以求出來的，在可導的情況下，可以簡單的用求導來計算階數。

這裡之所以[0，1]裡面的數字和全體實數一樣多，是因為他們的個數是同階無窮大，所以是一樣多的。

用正切函數

y=1/[(exp(-x)+1], x取值全體實數，y在（0,1）之間，一一對應。

無限是很有意思的一個東西，所以不能隨意用有限的思維去理解

There exist a bijective function from R to [0,1]. The cardinality of R is the same as which of [0,1]

不知道講數學要掛人肖像做什麼