數學中關於集合、空間、數域概念的關係？

01-05

能否幫我解釋一下這兩張圖
以下是我的一些疑問：
1.集合、數域、空間這些概念的聯繫、區別是什麼？書上說空間是附加結構的集合，那這個「結構」和運算、運算律、公理（貌似公理就是運算律）、變換（網上說空間的本質是容納變換，那麼想必變換和結構這兩個概念有某種聯繫）、映射（映射和變換這兩個概念有聯繫）、距離（距離也算一種結構？那麼距離算一種運算還是函數還是變換？）這幾個概念的連續與區別是什麼，在空間、集合、數域這幾個概念中它們（指上述結構、運算等概念）的地位或者功能是什麼？第二圖第二列「數域與集的元素」這裡數域是幹什麼用的，（我猜想是在表示不同元素時用的，用的數字的屬性，例如表示三維空間中一個點，用的是三個數字，這三個數字屬於實數域）選擇不同數域對於空間的性質會產生什麼影響？
2.n維歐氏空間的定義是n個實數集的笛卡爾積（當然還要定義結構），所以在形式數學中並不是像初高中講的數學那樣有一個空間，空間是很多個點的集合，我在空間里建立坐標系，然後可以寫出與點一一對應的坐標，而是一個集合，這個集合里的元素是無數個有序數組（這個數組由n個實數排列組成），然後把集合叫做空間、把數對叫做點？所以可以理解為歐式空間本身就是帶有坐標系的，那麼對於任意空間，坐標系、基的概念要怎麼理解，基和坐標系選取的任意性要怎麼理解？把坐標系和基從一個換成另一個是叫做變換嗎，變換這個概念應該怎麼理解，例如旋轉變換應該理解為旋轉了坐標還是理解為從研究集合（空間）中這個元素（點）變成了研究另一個元素（點），又或者是從研究一個集合（空間）變成了研究另一個集合（空間）？

3.彎曲幾何空間和曲線坐標的關係是什麼？彎曲空間中的基和坐標系怎麼理解？彎曲空間中是怎麼理解直（兩點間長度最短的連線叫直嗎？）和彎的（換句很繞但是很形象的話就是，彎曲空間里的直是直還是彎），坐標軸是直的還是彎的，基是直的還是彎的？彎曲空間中的平行又是什麼意思？彎曲空間和平直空間的關係是什麼，有從彎曲空間到平直空間的變換嗎？這種變換可以理解為是因為變換了坐標系造成的空間性質的改變嗎，換句話說變換參考系會改變空間的性質嗎？如果不會，是不是就是所謂的內稟性質，就是空間的幾何性質的值比如曲率，不會隨坐標系改變而改變？那麼例如拉伸某一條基，這個算坐標系變換嗎，拉伸基不是相當於空間被擠壓嗎，空間曲率應該會變吧，還是說，拉伸基實際上是從一個空間變換到了另一個空間？如果既有空間到空間的變換，又有從一個坐標繫到另一個坐標系但是空間不變的變換，那要怎麼區分這個變換是什麼變換？
4.網上說從基本的拓撲空間開始一點點加定義（結構）就可以建立一系列空間，那麼圖一中拓撲空間的橢圓外面是什麼空間，尤其是沒有包含在拓撲空間中的線性空間部分意味著什麼？拓撲這個詞通俗的講是什麼意思，拓撲空間為什麼是基礎的，有拓撲結構的拓撲空間和七橋問題有什麼本質關係？拓撲空間的表示是（X，T（花體的T）），那麼在定義其他的空間（尤其是線性空間）的時候有沒有這種表示方法呢？向量空間和線性空間的區別是什麼，抽象向量和數值向量的區別是什麼？度量空間和測度空間什麼區別，度量和測度是什麼區別？範數和距離什麼區別？什麼叫做完備性？微分結構是一種什麼結構，為什麼拓撲空間加上微分結構就可以產生微分幾何？幾何空間、希爾伯特空間、歐幾里德空間的區別是什麼？泛函空間是一種怎樣的空間，具有什麼性質？
5.拓撲學是算哪個分支，是代數還是幾何還是分析？抽象代數、代數幾何、微分幾何、微分流形（流形是什麼？）、黎曼幾何、代數拓撲、微分拓撲
分別都是什麼？什麼區別？
6.結構是一個什麼概念？代數結構和拓撲結構是並列關係還是包涵關係？抽象代數是建立在各種代數結構之上的數學分支，那麼幾何呢？幾何是建立在空間的概念之上的嗎，這裡所說的空間和代數結構里的空間是一個概念嗎？對於彎曲幾何空間（黎曼幾何或者羅氏幾何）的定義貌似有兩種，一種是第五公設什麼的（建立好公理，然後開始各種邏輯證明，最後證明這個幾何是自洽的），另一種是講度量（有坐標、基之類，有一個二次型度規，然後還有什麼內稟性質、曲率之類），這兩種方式等價嗎？

謝邀。

前面的問題別的答主答得差不多了，我主要答答問題補充裡面和幾何有關的問題。

「微分結構是一種什麼結構，為什麼拓撲空間加上微分結構就可以產生微分幾何？」

微分結構是在拓撲流形上加的一種容許可以做微積分的結構；在拓撲流形上，你要討論求導是沒有意義的，切空間也不能按通常的方式定義；有了微分結構以後，你可以討論，哪些函數是可微函數，然後討論它們的方嚮導數、微分，然後也可以定義微分形式，等等。微分結構其實有不同但是等價的定義方式；最常見的是一個atlas給出一組微分相容的坐標圖卡，但其實也可以通過sheaf的方式定義，你指出哪些局部函數／函數芽是可微的就行了。拓撲流形（是流形，不是隨便的拓撲空間）加上微分結構可以產生微分拓撲，這個還不算微分幾何，微分幾何一般要加更多的結構，比如度量。

「就是空間的幾何性質的值比如曲率，不會隨坐標系改變而改變？」

曲率不是由坐標產生的，是由度量（或者更一般的仿射聯絡）產生的。在幾何學裡面，坐標是局部計算的工具，它本身並不是結構的一部分。拓撲結構、微分結構、度量等等才是結構。

「對於彎曲幾何空間（黎曼幾何或者羅氏幾何）的定義貌似有兩種，一種是第五公設什麼的（建立好公理，然後開始各種邏輯證明，最後證明這個幾何是自洽的），另一種是講度量（有坐標、基之類，有一個二次型度規，然後還有什麼內稟性質、曲率之類）」

是的，是有這麼兩種概念；前者叫非歐幾何，後者叫黎曼幾何或者微分幾何。而且這兩者在時間上有先後順序；18世紀大概就出現了非歐幾何，而黎曼幾何得要到19世紀中期。我就直說了：公理化定義的非歐幾何到現在基本是過時的幾何。不是說它錯了，而是說它的描述能力不夠。非歐幾何中的橢球幾何基本對應到現代微分幾何中的2維正曲率幾何，而羅巴切夫斯基幾何則基本對應到2維負常曲率幾何，也就是2維雙曲幾何；這都是現代微分幾何的極其特殊的特例。現代微分幾何研究的對象包括高維黎曼流形上的曲率可正可負可為0的幾何——甚至在同一點處的截面曲率也可以隨著截面變化而取到正負零；這是一種處理範圍比傳統公理化定義的非歐幾何要廣太多太多的幾何學。很可惜，很多公眾表示非歐幾何就已經足夠燒腦了，近100年的幾何學他們幾乎沒有接觸過。

然後你發現我僅僅回答你這三句話就花了這麼多篇幅，把你的問題全部答掉是不可能的。學數學會問問題是好事，但也要自己思考，不能什麼問題都依賴別人解答；而且你學的東西越多，對概念的理解也就越深刻。學數學也是要悟性的。。

恰好，這種提問方式正是我喜歡的，我也一直想為這樣的回答撰寫相關的答案。回答這類問題，我認為現存的專業提供的角度，主要的缺失是沒有意識到從愛好者到專業學習的過程中語境發生的一些變化，會造成「行內常識，行外懵逼」的情況。我並非認為訓練是不必要的，但是在訓練之外做好一些語義上的功夫，至少不要讓別人覺得這個詞不知所云，一要知道就得整個完整學下來，而且有的時候習題做完還是不知所云。

在這裡要理解「結構」一詞，最好是建立在一種認識的過程上。

讓我們將以前的定義完全扔一邊去，我眼前不管看什麼都不會去分辨，不會去試圖了解眼前的對象哪個是什麼。這樣，我們眼前就是混沌一片。從實用主義的角度上看，既然沒有什麼事情來要求我對眼前的這個東西做什麼，它一團混沌對我也沒什麼影響。這個對象在語義上是退化的，我們無法將它和形式上的1個對象區分開（也就是只說了「1個對象」但並不說這個對象是什麼，它就是個空殼子）。

只有當我必須對這個對象做些什麼的時候，我才會去識別它的作用，去分析使它發揮某種作用的原因，去試驗和總結。這時候，語義上這個對象就由於它能發揮的作用而被賦予了，不再是退化了的。這樣，和一開始的一團混沌不同，你必須開始將它劃分為不同的部分，從而去觀察它的整體行為。這個東西便已經有了n個部分。

從1到n是關鍵的一步，這意味著我們意識中對該物體的規定不再是一種模糊的、退化的知覺，而是試圖對其進行分析的、能做到更精細的控制的行為主義立場。但是要讓這種轉變順利通過，還要解決一個問題來提供邏輯上的推力：那就是，用什麼來說明這1個對象和這n個部分是等價的？

需要注意的是，這裡我們並沒有真正的區別「n個對象」和「1個對象的n個部分」的區別。而根據這兩種區別，我們可以延伸出兩個不同的方向。

第一個方向是將「n個對象」轉化為「1個對象的n個部分」的表達，這n個對象哪怕沒有任何分類上的依據來歸納，不要緊，定義一個形式上的對象，這就是集合，這n個對象就成了「該集合」這個對象的n個部分。那麼，這種表達和「1個對象的n個部分的差別」在哪裡？回顧上面的論述，站在實用主義的角度上看，一個對象被拆分為不同部分來思考，當且僅當人們被要求使用它的時候；而該對象正是在這個時候獲得了一個非退化的語義。而集合本身我們並沒有規定它的用法，因此它在語義上還是退化的（這裡不考慮羅素悖論中的集合）。

第二個方向則是規定一個語詞，這個語詞將n個部分的零散狀態和1個對象這個統一的狀態連接起來，我們不妨將這個語詞叫做「結構」，這樣我們就可以說「n個部分組成了這個對象的結構」或者「1個對象根據這個結構分成了n個部分」。因此，「結構」一詞可以在語義上轉換1個對象發揮作用的過程和n個部分發揮作用的過程，這樣，該對象和它的n個部分就變成了一個事物的兩個角度，結構則負責這兩個角度的轉換。需要注意的是，一旦分散的幾個對象合併在一起能發揮某個特定的功能時，它們的集合就已經不在語義上平凡了，而是成為一個實實在在的對象。因此你也可以說結構是賦予集合以特定語義的媒介，而我們對於這種賦予了結構的集合就稱之為空間。這就是為何當前數學上涉及到空間的表述大多是以「規定了某些內在的規則的集合」的面目出現的。

老實講，我覺得這很容易讓人在理解某些空間的時候會產生「哪裡都是集合」的感覺，在這樣的概括面前兩眼發懵……如果是我介紹一個概念的時候，會更多從這個概念指涉的對象的功能出發，闡述將這些功能集中研究的好處，然後再將其定義給出，這也更接近構思表達這些概念的定義的過程。腦子裡面對定義的時候，一定要在定義的內容之外想更多的東西，然後去歸納它，和當下的描述做比較，這個過程里其實有些重要的推論就已經蘊含在裡面了。有一句很經典的論斷叫「數學是具體的抽象」，倒是部分地概括了上面描述的這個過程，至於進一步挖掘其區別，已不在本文範圍內。

說到這裡，我們已經可以歸納結構是怎樣發揮作用的了，它必須能描述對象里部分和部分之間的關係，而不管你怎樣定義這個關係。因此，集合運算、代數運算、距離、內積之類的，都可以作為規定規則的工具，來建立某種空間（拓撲、數域、泛函、希爾伯特空間分別是上面四個方面的一個例子）。需要強調的是，在已有的空間上再建立空間也是非常正常的事情，這樣做並不是為了追求複雜度，而是恰恰相反，規定一個空間都是需要相應的規則的，規則越多，裡面的元素的性質自然就越好，可以有效縮小研究範圍，或者是更有希望得出漂亮的結果。這就是你看到的那副一堆橢圓的圖所說明的。所以，不要去僵化地把這些概念看成一坨然後強行要找出它們的聯繫和差別出來，就像你不會去問拖拉機和雞蛋的差別在哪：如果從實用主義的角度來界定這兩種東西，它們本來用處就不同，因此一定要在語義層面上區分它們是沒有意義的。對於數學家而言，這樣的表述很方便，可以確保嚴謹地說明他們研究的對象的基本性質，就像通行證一樣，剩下的就可以按他們自己想要的活動了。

那個表裡「數域與集合的元素」真是吐槽不能。第一，只有當空間本身有規定運算規則、而且是對加減乘除都封閉的時候才會涉及到數域，所以這個分類就把一大串代數空間給扔出去了，不知道這個表的歸納的意義在哪，至於分析上常用的空間，距離空間和完備度量空間其實也沒有這種東西，就是被硬塞進來的。第二，「抽象向量」這種歸納在這裡就是害人害己，這只是用於形容那些用某些特定規則規定的向量形式，而不僅僅是以數域上的元素為分量的n維向量，這樣可以研究更一般的一類函數，例如泛函這種以函數為自變數的東西。「抽象向量」這個名字除了增加逼格之外，根本不會告訴你任何有意義的東西。所以，與其去看這個字眼，你還不如仔細去看這些空間的定義，把裡面的規則摸清楚。

至於為什麼要提數域和向量，是因為向量就是對數域的元素的組織，而向量又是空間里的基本元素，要研究空間就要涉及具體的（不管是代數的，還是代入特定數值的）向量計算，不規定向量的數域，計算又從何談起？

至於數域的選擇，實際上是根據已有的數學的研究來決定的。如果人們在研究一類函數的空間上使用的大多是實數，那麼規定的這個空間的數域也就是實數域。至於你打算改變其數域？無所謂，你樂意研究就去研究好了，這並不是一件什麼驚天動地或者開闢新天地的事情的。當然也存在實數域上解決不了而到了複數域上就迎刃而解的情況，這種也是非常有趣的現象，然而數學家不會花很多時間去解釋之，他們更看重能達到一個怎樣的結果。

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至此，開始分別回答題主的問題：

第1題已經解答完畢。

第2題

笛卡兒積的定義是形式定義，你只能說定義里的某個元素「對應」幾何上的哪個元素，而不要刻意區分形式定義和幾何直觀。這裡集合確實對應歐式空間，但是點對應的是向量（也就是你說的數組），其中這個向量的頂端就在該點上，而尾端在原點上。要理解任意空間上的坐標系和基，你首先得明確它們在線性代數上的功能，就是將空間里的一個點的向量表示為若干線性無關的向量的組合。因此，只要涉及坐標系和基，一定都是試圖將整個空間拆成若干相互獨立的部分的表示，使得這個空間上的每個元素都可以表示成這幾個部分的組合，至於這幾個部分長什麼樣子並不重要，只要能發揮像線性代數里基的作用就好了。

由於不管你怎樣選擇基，都只是選擇一個參考系，不會影響到空間的性質，所以才有「任意選取」這種說法。

變換的理解你總算是直觀上抓對了，一般來說變換能夠將一些形式簡單化，方便做一些數學上的操作，比如說有些函數的積分區域通過變換之後就能從不規則變成規則的形狀，從而方便做積分。另外就是研究變換的不變數會成為揭示空間的性質的重要工具，這些不變數是真正能說明空間的性質的（各種守恆定律），從而能幫我們在分析問題上提供非常多方便。

第3題

這裡的曲線都特指可微分的，這使得它在局部上可以表示為唯一的直線。當你身處局部的時候，你才不知道整體是曲線還是直線，你只知道就著局部的直線走下去，如此展開出來的線就被稱為測地線，而在局部上方向偏離測地線的線，就成為這個空間里曲線。當然，全局上是彎還是直在這裡就不再重要了，因為整個研究都在關注局部上的性質。之所以能發展處內蘊幾何的原因，就因為在局部的性質上也能發現對於整個空間而言普適的性質。

理論上來講，坐標系的拉伸、旋轉都歸在坐標變換的範圍里，但是一般會要求長度不要變的，畢竟我們要尋找的是從直到彎曲會保留什麼性質，和坐標長短的關係不大，所以拉伸基向量之後的曲率變化不是什麼值得考慮的問題。

最後一個小問暴露了你連定義都不去看的毛病，空間到空間的變換就是由兩個空間里的點的映射給出的，它們的點是用什麼形式表示的，這個映射就是這個形式的變換來表示的，而不管這個形式是不是向量。因此，坐標繫到坐標系的映射只是空間—空間的映射的一部分，而在坐標系—坐標系的映射里，到底是坐標系的變換還是整個空間的變換，這個區分是不需要做也不重要的。很簡單，我們先假設坐標系A到坐標系B的映射保持空間α的不變，如果想要硬把坐標系A—坐標系B的映射看成是不同空間的映射，假設坐標系A的向量組成了單位矩陣，那麼你只需要將坐標系B的向量組也轉換為單位矩陣，然後將α上的每個點都做這個轉換，那麼α自然就扭成另外一副樣子了，但數學上這依然是等價的。

第4題

一開始那段已經解決了大半了。第一小問「圖一中拓撲空間的橢圓外面是什麼空間，尤其是沒有包含在拓撲空間中的線性空間部分意味著什麼？」以題主的智商，應當能根據上文的論述，用自己的語言對你的問題進行解答。

拓撲這個詞，我更多是理解了「拓」這個字，也就是延拓，將局部性質往外推的東西。這是一個連續的過程，而拓撲研究這個過程里的不變數。至於它是基礎的原因，從規則上來講，它的規則是集合的運算，也就是並交這些運算的結果的規定，其規則要比起我們熟悉的那些性質較好的空間，例如歐式空間、距離空間這種要更基礎，所以說它是基礎的。

七橋問題作為拓撲學問題是因為它的結論並不會隨著橋和橋之間的距離、大小、角度或者其他數值上的關係而發生改變。

表示方法的問題，是約定俗成的東西而已，請不要糾結在這種無聊的問題上。抽象向量和數值向量的區別一開始已經解答。

其他問題純屬連定義都不看，是偷懶，自己去看去推理。

第5題

特別要強調的是數學的分支，在定義上只規定了範圍，並沒有明確的目的，既然沒有明確的認識目標，所謂的「本質」也就不存在。因此，強行問這些分支是什麼，區別在哪裡，就算得到了回答，也只是有關於範圍的知識，沒有所謂的「深入」，不是指導，你不會在處理有關數學問題的時候更有思路。剩下的自己看定義。

第6題

第一小問已答。

第二小問，作為獨立的兩個規則構建起來的兩個結構，當然也就是相互獨立的。

幾何的定義自己去查，至於它和空間的關係，一個和研究對象有關，一個和對對象的規定有關，別硬疊在一起看。

最後一小問，兩個表示當然是統一的。黎曼幾何的第五公設，即平行直線一定相交，就是正高斯曲率的幾何空間的必然推論，羅氏空間的第五公設則可以由負高斯曲率的幾何空間證得。只是切換個表達而已。

對於題主給的兩個圖，我只想說那個表只適合已經學過相關知識的人回顧一下（雖然我覺得也沒啥用），至於沒接觸過的人還是不要看這個的好，毫無解釋力。

腰已卸。雖然我在當年學習的過程中就跟自己做了無數這樣的討論，但這麼集中地面對來自別人的這類問題還真是第一次。題主這問題的密度都夠得上舉報友善度了，有這種耐心和空閑回答這麼久知乎上估計就我了吧（腰疼……）題主記得幫我付了醫藥費。還有，你學會分段啊，民科民數這種傻逼才會不分段，多補習語文吧。

卸腰……

1.集合是最"大"的概念，定義自己查。域和空間是代數結構，前者是基於兩種二元運算加法和乘法，後者是基於加法和一個標量域上的數乘，二者都是滿足一定條件的集合。變換和度量(距離)都是映射的一種，定義依然自己查。度量是二元函數不是變換。映射作用於集合，這就是所謂"地位(？)"，就好像集合是主語，那麼映射就是謂語動詞……第二圖第二列「數域與集的元素」……題主您去背向量空間定義好么？每個向量空間都要基於一個標量域。

2.【很抱歉，問我該怎麼理解的話，我想了很久發現沒有比定義本身更好的理解，所以題主您先抄十遍定義看看能不能進一步理解？另外歐氏空間的核心在度量矩陣，不是什麼基啦坐標啦】

3.根本不知道什麼叫彎曲空間……不過題主可以看看黎曼度量與測地線相關的。

4.您誤解了網上的話，拓撲結構和代數結構是兩種結構……在拓撲空間里那所謂的"一系列空間"都不關注代數上的結構，所以可以有代數結構也可以沒有，這麼說理解嗎？向量空間和線性空間是一個東西，抽象向量包括數值向量，度量空間和測度空間沒毛關係，一個有度量一個有測度而已。範數可以誘導度量，反之不成立。完備性就是所有柯西列都收斂……微分結構我學的太少，只知道標架，至於"為什麼拓撲空間加上微分結構就可以產生微分幾何？"……您告訴我為啥不可以啊【摔！】幾何空間、希爾伯特空間、歐幾里德空間的區別就是定義不一樣……"范函空間是一種怎樣的空間，具有什麼性質？"是泛函，而且一般沒有這麼叫的，可以wiki對偶空間看定義。

5."在空間的概念之上分別建立了哪些分支學科？"這個我不懂咧，不是一直都是數學學科？"代數、幾何、分析、拓撲等等這些數學分支的現代描述和特點是什麼，它們的交融又產生了哪些學科？"這個百度知道比我說得好，還有這幾個名詞任何兩兩組合(例如代數幾何)都夠喝一壺的。

終於答得七七八八，好累……感覺被考驗了了基本數學概念……

題主您問的問題在數學上不算啥分支，算常識……能不能好好讀讀任何一本數學分析或者高等代數……？

我去邀個有耐心的人來回你……

不精確的意義

在我學習了很多現代數學科目之後，我歸納覺得『空間是賦予性質的集合』，我不知道你看的是哪本書，但這句話，是我的感受。

本答案的內容，完全是我自己的理解，並不精確。在我學習這些數學的時候，我發現，不精確的理解，反而是最重要的。一旦明白了這種不精確的東西，所有精確的定義、定理和推論，都變得極其顯然。我覺得，這就是數學圖景的力量。

現代數學的目的

『現代數學的全部目的都在於對世界的表示』

我真想這麼說，可惜不是。但是，現代數學中大部分學科都可以看做一種對某類現象的表示和對表示性質的理解。畫油畫，必須要有畫布；對應地，研究現象，也要有空間。這就是，我對空間的理解，一種現象的容器。不同的現象，要在不同的容器內研究。我們有一種近乎萬能的容器，叫集合；對集合進行改造，就生成了空間。那怎麼改造呢？就是為集合賦予性質，所以，空間就是賦予性質的集合。

空間是賦予性質的集合

空間，就是賦予性質的集合。比如實數集合賦予實數公理，就構成了實數空間 $mathbb{R}^n$ 。現代數學主要有三大門類：代數學，研究抽象運算性質的數學；幾何學，研究點集拓撲的數學和分析學，研究映射理論的數學。

對於代數學，我們的集合是一般性的，在一般性的集合上賦予抽象運算這一性質，構成了各種代數系，代數系就是代數空間。

對於幾何學，我們研究對象是點集，對於點集賦予拓撲公理，構成了拓撲空間，拓撲空間是幾何學的基礎。

對於分析學，我們主要研究度量這一數學性質，在一般集合上賦予度量公理，就構成度量空間，度量空間是最基本的分析學空間。

你的那兩個圖，就是在表明各種分析學空間被賦予的性質，和這些性質之間的上下位關係。

歐式空間的絕對地位

數學，從根本上來說，不是空中樓閣，不是玄學，其需要有實際背景和基礎。我們通常接觸到的幾何空間全都是歐幾里得性質的，所以，所有的幾何和分析學空間都必須模仿歐幾里得空間。

幾何學空間

幾何學空間的任務，就是描述幾何形態。

拓撲作為基本的幾何空間，其對歐幾里得空間的模仿只限於子集的序性質，缺乏更先驗的特定結構，很難展開數學研究和實際應用。於是，我們在拓撲空間之上，更為細緻地引入歐式空間性質，就構成了流形空間。

流形空間中每一個點的鄰域都完全同構於歐式空間，可以說，黎曼幾何學微分性地等價於歐幾里得幾何學，這為我們開展研究給予了極其便利的條件。

然而，流形空間中有一大類是可微分的，比如黎曼流形。黎曼流形中每個點的鄰域都有一個歐式坐標系，坐標系隨著點的變化而變化。

我們研究黎曼幾何性質時，要分兩個方面進行考察——坐標系內性質和坐標系間性質。對於坐標系內性質，完全就是利用坐標基表達相應的幾何性態，核心要素為坐標系的微分標架與度規，這一點和一般的歐式空間無異，只不過書寫形式發生變化。對於坐標系間性質，主要是考察坐標系隨著流形點變化時，對幾何性態的影響，核心要素是聯絡，更具體地說就是克里斯托夫符號。

任何一種黎曼流形上的幾何性態，都是由這兩種性質統一表達得到的，在研究黎曼幾何的時候，這一點是甚為關鍵的。

分析學空間

分析學空間的目的，就是描述測量形式。

我們現在有非常多的元素，我們想知道這些元素的關係。其中，相似程度是最基本的關係。為了刻畫相似程度，我們引入每兩個元素之間的距離，也就是度量。那麼，度量應該是什麼樣子的呢？參考歐式空間，就能得到度量的公理。

但是，到此還不夠，因為我們知道，歐式幾何中，如果都用坐標來求解定理，會非常麻煩，必須知道全部坐標才能運算。而使用邊角關係，很多時候，不涉及坐標，也能求解問題。

於是，我們再次引入歐式空間中的兩種測量——邊測量和角測量。其中，邊測量對應賦范空間，而角測量對應內積空間。邊測定之後，角也隨之決定；但角測定後，邊不能決定。所以，很不精確地說，內積空間是一種賦范空間的特化。

進一步分析歐式空間，我們發現一種斂散性質，成為"完備性"。完備化的賦范空間和內積空間就是 Banach 空間和 Hilbert 空間。

向量是數的擴展，研究向量和向量線性變換——矩陣的學科，叫矩陣論。我們這裡仿照矩陣論，設計一套底空間，叫線性空間。圖中，帶"線性"二字的意思，就是被賦予性質的集合，集合里的元素是仿照向量空間設計的。

圖示空間的關係

感謝 @Kaixiang Wang 的圖。

PS：

本答案的內容不精確，你需要在明白本答案說的大意之後，閱讀相關的書籍。
題主的主要問題，在本答案中都能找到線索。

開始思考數學概念，最好的一段哲學論著應該是

下面這個圖也許更簡單更清晰一些；不妨從簡單的開始理解。

來源wikipedia：Space (mathematics)

這些問題如果不能通過看書自行理解，那別人把答案黑紙白字打出來你還是理解不了

兄弟啊你用寫問題的時間隨便找本書看看這些問題就解決了啊

其實題主說的很多東西在數學書里都有很好的解釋，只是要有耐心去看去體悟。我想題主的意思應該是想搞清楚數學系的本科學生在學什麼東西。我自己是數學本科在讀，但是水平太低，就匿了。

現在斗膽來解釋題主的疑惑，拋磚引玉。

我們從我們生活中最熟悉的自然數開始，一步步解釋何為「結構」。

自然數太簡單了，有什麼好解釋的——大多數人一定會這麼想。其實則不然，我們認為它簡單是因為我們在生活中已經對它的性質十分熟悉，人人都背得九九乘法口訣，加加減減什麼的對一般人來說都不是個事兒。

但是在數學系學生眼中，它是另外一種樣子：它上面有一些結構。想像一個抽象的集合{0,1,2,3,......}(這裡1,2,3隻是一個記號，可以隨意換成什麼)，上面的元素不能做運算，也沒有大小關係，只是一個純粹的集合。這時這個集合是沒什麼趣味的，因為它能給我們的信息相當有限。

現在我們來為它添上大小關係：0＜1＜2＜3＜....，這時我們就可以說，這個集合里的元素能夠比較大小了，或者說，上面有了「序結構」。但是此時還沒有運算。

現在我們添上加法，這時我們才能說這個集合有了代數結構。我們應該注意到這樣一個令人驚異的事實：比如1＜2，兩個數同時加上同一個數，譬如3，就變成4＜5，這仍然成立！這時我們說，新加上的加法和原先我們定義的序結構是「相容」的。加上了加法後，自然數集合成為了一個「半群」，這是一種帶有運算的集合。

隨後我們再引入乘法，這又是一種新的結構，它和加法通過乘法分配律相互作用，出現很多複雜的現象：比如裴蜀定理出現了。

現在我們知道，自然數上有三種結構，這就窮盡了嗎？其實沒有，因為乘法會自然而然地「誘導」出新的序結構，這裡誘導的意思是，這種序結構因乘法而存在。這就是整除關係。比如5整除15，3整除21，我們也可以說5「小於」15，3「小於」21，要注意的是，3和5是不能在這種序關係下比較大小的，意即整除關係不是一個全序關係。

自然數上這麼多的結構堆疊在一起，竟然能夠完美地相容，這是不可思議的。如果有人說，這不顯然嘛，那麼這種斷言是因為生活中我們已經使用自然數太多太多，對上面的每一種結構都有充分的感性認識，所以才會被說出來。

當我們的目光轉到實數上時，更多的結構會呈現出來。例如，集合本身的「大小」(實數集遠遠比自然數集大)；還有實數集上的「拓撲結構」，這使得我們能在上面定義「連續函數」；還有微分結構等等。還有一點要指出：實數集既然包含了自然數集，那麼也就擁有後者的所有結構。實數集上有如此之多的複雜結構，彼此之間竟能完美地相容，這也是令人驚訝的——你無法指望許多大大小小的齒輪可以完美地咬合。

待更

有空看看書，起碼先把定義性質判定三部曲弄清楚了再來提問，這是對知乎用戶起碼的尊重。在一本自己完全不懂的書上找一堆自己不懂的概念來提一堆不知所云的問題，完全是浪費所有人的時間（包括你自己的）。

數學系畢業3年了，當年學的很多數學知識，我都忘記了。最近看ml，從新拿起課本的時候，我就在想，集合，域，線性空間，賦范線性空間，巴拿赫空間，希爾伯特空間...以及依附在某些空間上面的運算元，竟然勾起了我的大學記憶。我就感慨一下，感謝這些題主的回答。