為什麼初學量子力學一個矩陣都沒有看到，卻說線性代數是量子力學的數學語言？

01-05

自知是個蠢問題，怕被打，先匿了，但我還是問了。
線性代數里學了一堆行變換，行列式，特徵值的方法，可以具體分析每一個矩陣形式下的線性變換問題。但到了量子力學裡，我剛入坑，雖然薛定諤方程是一個本徵方程，我也能隱約體會到薛定諤方程求本徵值和矩陣求特徵值異曲同工，但後者是在算代數方程，另一個卻是在解一個微分方程。
難道哈密頓算符可以寫成一個矩陣的形式嗎？
如果是，我可以套用線性代數行變換的方法求它的特徵值嗎？

想求大牛指點一下，線性代數到底為什麼是量子力學的數學語言？線性變換到底對應了量子力學裡的什麼物理事實?
能不能多給小弟幾個線性代數在量子力學中的例子啊。。
感激不敬

量子力學的語言之所以是線性代數，是因為量子力學裡對於物理系統的狀態描述，是用一個希爾伯特空間中的態矢量 $|psi angle$ 來描述的，希爾伯特空間本身的數學結構是個完備平方可積的線性空間。而且量子力學裡對於可觀測的物理量，都是用一個算符來描述，算符本身是一個線性映射。

所以，量子力學裡描述系統狀態用希爾伯特空間中的矢量，描述可觀測的物理量用線性映射，自然量子力學的數學語言就是線性代數。

薛定諤方程本身是 $H|psi(t) angle=mathrm{i} hbar frac{partial }{partial t}| psi (t) angle$ ，這個方程描述的是態矢量 $| psi(t) angle$ 如何隨時間演化。在坐標表象下才是題主看到的薛定諤方程。（其實題主看到的微分方程和波函數，不僅僅是坐標表象下，而且是具體到了坐標表象的函數形式。）

以及你經常用到的，把態矢量以本徵態為基展開 $|psi angle=sum c_i |psi_i angle$ ，具體到坐標表象下對於波函數來說就是波函數在本徵函數下展開 $psi(x)=sum c_i psi_i(x)$ ，不也就是線性代數里把矢量在基下展開嗎。 $vec alpha=sum c_i vec e_i$

看到這個問題我感覺題主初學量子可能用的教材是曾謹言。。。如果真的是這本書的話，建議題主立刻換一本書來入門量子力學。

題主應該是被坐標表象下的薛定諤方程搞暈了，主要是因為入門的教材應該上來就是講坐標表象下的薛定諤方程和波函數，而不是從量子力學的基本的形式理論和基本公理開始。導致對量子力學最重要的數學結構和公理沒有感覺，所以建議題主不要用曾謹言入門量子力學。個人認為入門量子力學最好的教材是Griffiths的Introduction to quantum mechanics（這本書有中文翻譯版），或者Cohen Tannoudji 的量子力學第一卷（也有中文版）（難度比Griffiths大了一點）。Griffith對基本公理強調不夠，但也能保證你不迷失在坐標表象下了。

對於量子力學的基本公理解釋的最清楚，幹練，簡潔的，個人認為是喀興林的《高等量子力學》，在第二章開頭就有，第一章是介紹量子力學裡用到的線性代數的，如果題主代數功底還可以，看完這本書的第一章和第二章前面的幾小節應該就會非常清楚了。

線性代數不是矩陣學！

線性代數是研究（可以是抽象的）線性空間和其上的線性變換的學科。

狹義的線性代數（物理或工科課本的線性代數）只研究有限維線性空間和其上線性變化，它總是和R^n與矩陣同構的。

而量子力學一般來說是無限維線性空間。

你可以發現，所有波函數構成的空間，配上自然的加法和數乘，構成線性空間。不過不是有限維的。

（它還可以配上內積變成酉空間，因此有了距離的概念，有了極限的概念。填上所有極限點後這個東西叫希爾伯特空間。）

而運算元，正是波函數空間的線性變換。

（力學量運算元是自伴的。）

數學上，研究無窮維線性空間及其上運算元的學科，叫泛函分析。從這個角度，也可以說泛函分析是量子力學的基礎。泛函分析的發展，也曾大大受到量子力學的影響。

不懂無限維空間的物理學家，往往簡單地把有限的理論直接類比推廣到無限。結果會漏洞百出但是一般還是看的過去。所以確實有量子力學的矩陣力學描述，算符在一組基下展開為無限維矩陣。大多數情況也是正確的。

因為國內的量子力學都是從自由粒子開始講，講單縫衍射雙縫干涉等自由粒子傳播的量子現象，還有物質波，哥本哈根統計詮釋什麼的。。

所有的這些其實並無必要的概念，全是因為我們的量子力學是從自由粒子開始的，也就是從散射態開始的。這樣開始的量子力學，就必然引入複數的exp(ikx)這樣的形式，這樣的形式跟容易讓人迷惑於複數，還有波函數的意義等無謂的問題上。

但是實際上，我們的量子力學是從束縛態開始建立的。海森堡的矩陣力學是從氫原子光譜出來的，薛定諤方程最開始也是為了解決氫原子的分立光譜項而來。

從束縛態系統中我們才能看清楚量子力學的結構，而在散射態中我們總是感到非常疑惑。

量子力學其實就應該從束縛態系統出發開始學習，這樣才能讓我們專註於態的描述，哈密頓量對態的作用。定態系統學完之後再是薛定諤方程，學習態的演化。實際上，大部分量子力學中虛數的意義，大部分都是在態的演化上，也就是態的相位。而以往的量子力學教材，上來就介紹薛定諤方程，引入了還說不清楚道不明的虛數；關於量子力學數學結構的討論，往往到了高等量子力學才會介紹，而大部分學習量子力學的學生是不會接觸到這門課的。這個是給很多學生造成學習上的痛苦的根源。

從解薛定諤方程的過程中，如果題主不熟悉斯圖母-劉維爾方程及其相關理論的話，確實會看不出量子力學的數學結構，而迷失在計算中。從束縛態系統中我們才能看清楚量子力學的結構。

本來想以最簡單的二能級系統來展示一下量子力學的數學結構的，在這裡題主就可以跟明確地看出哈密頓量對態的作用，以及自然而然地寫成矩陣表示。但是手機碼字是在太不方便了，我日後再更好了。。

費曼物理學講義的第三冊，是量子力學非常好的入門教材。Sakurai的現代量子力學的前三章，也可以看做是費曼講義的高度總結版。趙凱華的量子力學，也可以看做是費曼講義的簡化版。

關於教材，個人覺得曾瑾言也沒有那麼不堪，反倒是很多人都說好的格里菲斯，幾乎沒有涉及態的演化，這一點讓我很不理解為什麼大家都說好。。

PS：我是費曼腦殘粉，費曼講義中，直到第27章才提到薛定諤方程。薛定諤方程出現得有多晚也成為我判斷量子力學教科書好壞的一個重要指標。

可能因為題主當時看的是曾老師的那本棗紅色小冊子吧:-D。

其他答主說的已經很明白了，我只是想吐槽一下「矩陣力學」這個名字，真的是很誤導人啊。

1，量子力學中的狀態空間是希爾伯特空間，我們主要關注的就是希爾伯特空間上的線性運算元，更具體的說是正常運算元。

(1) 對於有限維的情況，線性變換可以在給定基底下寫成矩陣，力學量對應的就是厄米矩陣。這種情況下確實可以看到很多矩陣，整個框架就是我們熟悉的線性代數：即研究複數域矢量空間上的線性變換。

(2) 對於無線維內積空間，量子力學中遇到的更多，這種情況下，線性運算元一般是無法寫成矩陣的，運算元的譜集中除了點譜(我們熟悉的本徵值)之外還可能出現連續譜和剩餘譜。只有對於緊運算元而言，我們才勉強可以把它寫成無窮維矩陣。

(3) 量子力學中，我們處理無窮維矢量空間的情況會更多一些，這種情況下我們是基本看不到矩陣的，畢竟矩陣是用來研究有限維矢量空間上線性變換的，對於無窮維空間來說，它的意義不大。題主說量子力學中不經常見到矩陣的話，也是很正常的。

2，對於「波動力學」，原本描述系統態的演化的是一個抽象函數，即給出一個時間(實數)t，可以得到一個量子態。在坐標表象下，它變成了我們相對比較熟悉的一個偏微分方程。那麼下面要做的就是求解它：分離變數，發現是施圖姆-劉維爾型方程，然後求解幾個常微分方程得到波函數。這種情況下，當然是一個矩陣也看不到的了。這也就是曾老師的大體講法了，很多人吐槽曾老師這麼講完全沒能搭建其量子力學的框架來，不過對於初學者和當年所謂「老一輩」的物理學家而已，這些在數學上都是我們熟悉的東西，理解起來很方便。

一、.不擴能么得一過

沒有一個，那你讀的就是假的量子力學

二、一般量子力學教材出現的明顯的矩陣是不多的

1.量子力學是要用到線性代數，但除了線性代數，還有複變函數、特殊函數、當然還有微積分等數學基礎。

2.量子力學雖然大量使用線性代數的基礎知識，但必定不是『線性代數在物理學中的應用』。

3.沒有明顯出現

比如波函數 $Psi(x,t)$ 、各種算符啊、bra(物理學的bra)、ket、基矢量，還有最重要的薛定諤方程，一般求解也和線性代數的本徵方程求解非常接近。

因為……你用的教材不是 Sakurai

你可以看看Sakurai的書，不過這本有點難。你可以看看國外介紹量子信息和量子計算的書，比如quantum information for computer scientists之類的書，裡面基本都是線性代數。

從Sakurai的現代量子力學重新入門，同時好好看線性代數書講線性空間和酉空間的部分，理解向量≠坐標，線性運算元≠矩陣。

例子有自旋1/2系統(2維)，然後是諧振子(無限維)，波函數的問題都是連續表象的例子，這些內容Sakurai書上都有。

那是入門姿勢不對，來看看覺爺(劉覺平)的書，英語可以接受的話推薦櫻井的《現代量子力學》，，，說起來，了解一下的話，推薦專欄：萬物皆理）http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/19791811

你看的誰的書？

因為我們對於特徵波函數和本徵值，我們只需要知道他們存在，樣子大概什麼樣子的，本徵值大小是多少就行了。實際上而言，本徵波函數的準確值我們不關心。

然後就是投影到本徵態上的線代了

最後，不要用曾謹嚴

http://pan.baidu.com/s/1mhp56HE

全美經典，量子力學，不謝。

http://pan.baidu.com/s/1Qh2Ei

mit的量子力學教程，從mit的公開課程下的。

別被曾謹言之流的帶偏了。

波函數疊加就是線性代數。

矩陣只是一種數學形式。

波函數疊加也是一種數學形式。

兩種形式，看起來不同，但實質都是線性代數的東西，只是形式上的不同，並無高下之分。

不同的物理問題，看用哪一種數學形式來計算更方便簡單，就用哪一種數學形式。

量子力學把不同的數學形式描述，稱之為不同的表象，還引進一個表象變換，名詞聽起來很高端，不得了，其實就是這麼回事。

那些搞得很高深的表述，都是還沒有真正理解物理實質，才會賣弄那些高深的數學形式。

中國的量子力學和量子場論界，多半都在賣弄這種高深的形式，卻做不出任何具有實質意義的物理成果。

因為你只學到了波動力學，沒有學矩陣力學。你看看高等量子力學吧。推薦Sakurai 的《Modern Quantum Mechanics》。

學了高等量子力學，你會發現在理論物理後期課程中，或者更高級的理論物理課程，矩陣力學比波動力學更自然，更能體現量子力學在矩陣方面的應用。

題主你好，究其原因是你學習所使用的材料不對。下面推薦一個Stanford Lagunita平台的MOOC，Quantum Mechanics for Scientists and Engineers。此鏈接是Part 1，等這一波結束後，明年1月應該放出Part 2（按去年的情況推斷）；課程內容講解明晰，習題難度適中，個人認為值得一聽。課程的同名講義已經出版，可以先找來看看。

高等量子力學喀興林

——來自一個學了抽代和群表示，物理水平僅限高中，看完第一章數學部分後突然完全看不懂了的苦逼有機磚工的推薦

雖然這可能和你看的量子力學教材有關…

但是學量子以前的《數學物理方法》偏微分方程部分肯定也講了解線性偏微分方程和線性代數的關係, 最後都化簡為斯圖姆-劉維爾型的本徵值問題.

一直以來的怨念。讀本科的時候凝聚態專業的量子力學只講了波函數於是怎麼學都學不懂。讀博的時候從希爾伯特空間講起一步一步數學推導一下就懂了。

某些人推崇的一定要在直覺上理解物理簡直害人不淺。

量子力學的數學體系，基本就是一個希爾伯特空間的應用，而希爾伯特空間基本就是一個復向量內積線性空間。。。

線性代數中的概念對應的量子力學的物理事實大概有：

1. 對於一個可測物（可觀測的響應），由一個厄米矩陣（厄米運算元） $M$ 表示。（比如泡利矩陣 $sigma_x,sigma_y,sigma_z$ ,可以表示我們要測量的是三個三維空間的方向）

2. 厄米矩陣的一組歸一化正交特徵向量 $left|lambda_i ight>$ ：表示狀態空間的一組歸一化正交基。

3. 對應特徵向量的特徵值 $lambda_i$ ：代表儀器沿 $left|lambda_i ight>$ 方向測量的實數結果。（注意： $lambda_i$ 是一個實數， $left|lambda_i ight>$ 是個向量，以上三者的關係就是線性代數中的特徵向量和矩陣的關係： $Mleft|lambda_i ight>=lambda_ileft|lambda_i<br /> ight>$

4. 測量結果出現的概率： $P(lambda_i)=|left<Amidlambda_i ight>|^2$ ，其中 $left|A ight>$ 指測量前已知的狀態。

5. 如果測量前量子的狀態是 $left|A ight>$ ，則針對某個可測物 $M$ 的測量值的均值是： $sum_i lambda_i P(lambda_i)=left<Amid Mmid A ight>$

你可能在學常微分方程的時候沒注意，常微分方程解的時候，那個通解其實就是用了線性疊加。

也就是說，那個時候你就在用了，只是基函數比較普通而已。

本質上解微分方程還是要化成本徵值問題。比方你看希爾伯特寫的《數學物理基礎》還是啥那本書，說得就很明白。雖然古老，但是現在看也很不錯。