如何確定一個函數可不可以被積分？

01-05

怎麼樣積分計算是可以求出解析解的，他們要滿足怎麼樣的要求？那些積分的一部分可以整理成一些已知值的積分（比如橢圓積分）也算是擁有解析解吧

偶然看到的，不知道是否正好回答你的疑問：

來源：《數學分析習題演練（第一冊）》

二項微分式：

$int x^p (a+b x^q)^r dx$

a,b為實數,而p,q,r為有理數

排除掉abpqr=0之類的平凡情況，該積分當且僅當 $r,frac{p+1}q,frac{r+(p+1)}q$ 之一為整數時可以積出。

推論：

$int sin^p x cos^q x dx$ 當且僅當 $frac {p+1}2,frac {q+1}2,frac {p+q}2$ 之一為整數時可以積出。

題主可以看看Risch演算法，這個演算法通過將積分問題轉變成代數問題來來判斷一個初等函數是否初等可積，如果是的話並且可以找出原函數（感覺就像拉普拉斯變換把微分方程變成代數方程來求解，但Risch演算法比拉普拉斯變換更強，它可以用來對所有初等函數的積分問題作判斷）。