形狀如下圖的函數滿足f "(x) = f(2x)，如何得到這個函數的具體形式？

01-06

形狀好像由許多正的和反的高斯形狀的函數組成，且滿足f "(x) = f(2x)，如何得到這個函數的具體形式？我不太懂數學，如果描述不清的地方請指出。如果有更適合問這個問題的地方（網站或者群或者某大牛）也請告訴我，非常感謝。
（題主原題目在橫線以上，歡迎大家在橫線一下區域對題目做出補充或修正的描述，謝謝）
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描述一下，函數在(0,1)區間恆大於0，且f(0)=f(1)=0。而f(x+2^k)=-f(x)，對於x∈[0,2^k]，k為非負整數。

這道題很有意思。

我從若干個角度來思考過這個問題，但還沒有把思路打通。

就先把我想到的都寫出來吧。

======== 0. 一些樸素思考 ========

假設 $f$ ，

那麼會有 $f$ ， $f^{(3)}(x) = 8f(8x)$ ， $f^{(4)}(x) = 64f(16x)$ ……

一般形式為 $f^{(n)}(x) = 2^frac{n(n-1)}{2}f(2^nx)$ ，係數的形式並不是題主猜想的 $a^n$ 。

下面就只考慮構造函數滿足 $f$ 了。

如果可能，我們希望滿足 $f(n) = 0, forall n in mathbb{Z}$ ，並且 $f(x) > 0, forall x in (0,1)$ 。

======== 1. 時域信號的特點 ========

注意到 $f(0) = f$ 。

這是一個很奇怪的條件——函數在原點無窮階可導，但所有導數都等於0！

這難道不能說明 $f(x) equiv 0$ ？

其實不然。有這麼一個函數滿足上述條件，但並不處處為0：

$f(x) = left{ egin{array}{ll} ext{e}^{-1/x^2} x e 0 \ 0 x = 0 end{array} ight.$

（這是Flat function的一個代表）

如果題主想要的函數存在的話，它在整數點附近很可能就是 $ext{e}^{-1/x^2}$ 的形式。

但是，我利用這個函數湊了很久，沒有湊出題主想要的圖象來。

======== 2. （類）傅里葉級數的角度 ========

題主想要的圖象看起來有周期性（其實並沒有），這啟發我從傅里葉級數的角度來思考。

設函數可以分解成如下的形式：

$f(x) = sum_{n=-infty}^{+infty} a_n cdot ext{e}^{icdot 2pi cdot 2^nf_0 x}$

它跟普通的傅里葉級數並不一樣。

普通的傅里葉級數，其各個分量的頻率分別是 $f_0, 2f_0, 3f_0, ldots$ ，

而這裡的級數，各個分量的頻率分別是 $ldots, f_0/4, f_0/2, f_0, 2f_0, 4f_0, ldots$ 。

把 $f$ 的兩端都表示成級數形式：

$f$

$f(2x) = sum_{n=-infty}^{+infty} a_n cdot ext{e}^{icdot 2pi cdot 2^{n+1} f_0 x} = sum_{n=-infty}^{+infty} a_{n-1} cdot ext{e}^{icdot 2pi cdot 2^n f_0 x}$

比較兩個式子，可以得到 $a_{n-1} = (i2pi f_0) cdot 2^n cdot a_n$

這是一個遞推關係，可以解得通項 $a_n = C cdot (i2pi f_0)^{-n} cdot 2^{-frac{n(n+1)}{2}}$

任取 $C$ 和 $f_0$ ，都可以得到一個滿足 $f$ 的函數。

（其實 $f_0$ 只需在區間 $[1,2)$ 內取，因為把它放縮2的整數次冪倍是等效的）

這樣得到的 $f(x)$ 不一定是實的，但沒關係，分別取它的實部和虛部，都滿足 $f$ 。

例如，取 $C = 1, f_0 = 1$ ，得到的 $f(x)$ 的實部和虛部（藍色）如下圖所示。

我同時畫出了 $f$ 的實部和虛部（紅色），可以看出確實有 $f$ 。

把實部和虛部適當地線性組合，可以得到 $g(x)$ 滿足 $g$ 且 $g(0)=0$ ：

可以看到，在原點附近 $g(x)$ 的確非常「平坦」。

由於 $f_0$ 可以取區間 $[1,2)$ 內的任意實數，得到的函數還可以任意地線性組合，所以滿足 $f$ 的 $f(x)$ 構成無窮維空間，且這個無窮是不可數無窮。

而 $f(n) = 0, forall n in mathbb{Z}$ 是可數無窮個條件，所以我覺得連這個條件也滿足的 $f(x)$ 仍然構成不可數無窮維空間。

但我不知道如何求解所需的 $f_0$ 以及線性組合係數。

還有 $f(x) > 0, forall x in (0,1)$ 這個條件，它是否容易滿足，我就說不好了。

======== 3. 傅里葉變換的角度 ========

如果直接考慮 $f(x)$ 的傅里葉變換 $F(varphi)$ ，（我用 $varphi$ 表示頻率了，以免與 $f$ 混淆）

則根據 $f$ ，有 $i2pivarphi F(varphi) = frac{1}{2}F(frac{varphi}{2})$ 。

這也是一個遞推式，可以解得

$F(varphi) = F(2^nvarphi_0) = C(varphi_0) cdot (i 2pi varphi_0)^{-n} cdot 2^{-frac{n(n+3)}{2}}$

其中 $n in mathbb{Z}, varphi_0 in [1,2)$ ， $C(varphi_0)$ 為區間 $[1,2)$ 上的任意函數。

其實，這就是把第2部分的「線性組合係數」用一個函數 $C(varphi_0)$ 表示了出來。

但我也沒想好怎麼求解 $C(varphi_0)$ 。

======== 4. 瞎扯 ========

其實題主提出的這個函數很有意義。

函數在區間 $(n, n+1)$ 上的符號，代表了 $n$ 的二進位表示中1的個數的奇偶性：偶數個為正，奇數個為負（僅考慮 $nge 0$ 的情況）。

與 @王贇 Maigo 討論了一會兒之後找到了這個（see Figure. 4b）：

Hilberg, W.; Kravchenko, V.F.; Kravchenko, O.V.; Konovalov, Y.Y., "Atomic functions and generalized Thue-Morse sequence in digital signal and image processing," Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves (MSMW), 2013 International Kharkov Symposium on , vol., no., pp.66,71, 23-28 June 2013

doi: 10.1109/MSMW.2013.6621989

URL: IEEE Xplore Abstract

不得不佩服題主的mathematical intuition，畫的草圖基本與最後解出來的函數（無初等形式）相符……

$F(omega) = prod_{k=1}^{infty} mathrm{sinc}left(frac{omega}{2^k} ight)$

Fabius function

Fabius函數稍作變形就能得到題主要求的函數了

應該可以證明該方程沒有初等函數解的。初等函數在複數域內都是解析函數。這個函數滿足f(0)=0，在這個零點處可以做冪級數展開。初等函數不可能有無窮多個極點，所以這個冪級數的收斂圓半徑也一定是大於零的。根據 @王贇 Maigo 的答案，這個函數在0點處的各階導數都為0，那麼這個冪級數的所有係數都是0，這個函數只能是0函數，但這又與在(0,1)區間內大於零的條件相違背。所以不存在初等解。

謝邀。我實在看不出題主你想要幹什麼，我的理解是你想求滿足方程f"(x)=f(2x)的f.

對於f的假定，顯然是可導的.容易證明只要f可導，f就任意階可導.

這個問題其實很麻煩的，首先一點，如果假定f是解析的，也就是能夠在x=0處展開成收斂的冪級數，我們平時見到的初等函數很多都是滿足這個條件的，這樣的f是不存在的.證明隨便算一算就好了.

然而這個方程還是有解的，我自己構造了一個解，方法是先構造[1,2]上的一段f，然後逐次向0逼近，最後證明0處的連續性和可導性即可，最後結果是一個很麻煩的分段函數.這個方法有點類似於當年那個ff(x)=x^2+x...具體構造方法如有需要再寫.

所以其實本身f"(x)=f(2x)就是一個很強的要求了，我個人建議題主不要製造麻煩添其他的條件進去了……