請教一道數學題，涉及到高數知識?

01-05

各位請教下一道數學題，難度為大學入門級。英文題目，大意如下：
一個圓形桌子被等分為n等分，每一份被標註為0，1，2，3....n-1 在順時針的方向上。n=8的情況如圖所示：
從標註為0的區域開始順時針放置便士，第二枚便士放在第一枚便士1個區域外的區域（區域1），第三枚便士放置在第二枚便士兩便士之外的區域（區域3），以此類推，直到n枚便士佔據所有的區域。
Q1：如果n是一個奇數，找到所有的n使得上述步驟過後每個區域上都剛好有一便士。並且證明你已經找到了所有的n。
Q2：如果 n=2^k對於一些非負數的整數K而言，找到所有的n使得每個區域都剛好被一個便士佔領。並且證明你已經找到了所有的N。

歡迎留下你的答案討論，不勝感激。

感謝邀請。數學方法分析匿名用戶的答案應該是對的。我則是編程求解，結論如下：

對於問題1，只有1滿足；

對於問題2，所有2的冪都滿足。

代碼如下，難看勿怪：

#include & #include & #define M 1000 int a[M]; int main() { int flag; for(int i = 3;i &< M-1;i += 2) { memset(a,0,sizeof(a)); flag = 1; for(int j = 0,k = 1;k &< i;j+=k,k++) { if(a[j%i] != 0){ flag = 0; break;} else a[j%i]++; } if(flag) printf("%d ",i); } return 0; }

#include & #include & #define M 10000 int a[M]; int main() { int flag; for(int i = 2;i &< M-1;i *= 2) { memset(a,0,sizeof(a)); flag = 1; for(int j = 0,k = 1;k &< i;j+=k,k++) { if(a[j%i] != 0){ flag = 0; break;} else a[j%i]++; } if(flag) printf("%d ",i); } return 0; }

首先問題轉化為 $0leq i<n$ 時，證明 $frac{i(i+1)}{2}$ % $n$ 的集合等同於 $[0,n)$

1)第一小問，對於 $n$ 是奇數的時候，

假設這兩個集合不同，即存在至少一對 $(i,j)$ $(i e j)$ 使得 $frac{i(i+1)}{2}$ % $n$ == $frac{j(j+1)}{2}$ % $n$ ，

則有 $(j-i)(j+i+1)=0(2n)$ ，因為 $n$ 為奇數， $gcd(2,n)=1$ ，

則

1. $j+i+1=0(2n) vee j-i=0(2n)$

2.或者 $j+i+1=0(2)wedge j-i=0(n)$

3.或者 $j+i+1=0 (n)wedge j-i=0(2)$

易知前兩種的情況是不可能的。

第三種情況的，這個模方程在 $n$ 較大的時候肯定有解，令 $j=n-i-1$ 即可。

唯一的可行 $n$ 應該是1。

2)第二小問，模方程轉化為 $(j-i)(j+i+1)=0(2^{k+1})$ ，令 $j-i=2^{u}$ ， $j+i+1=2^{v}$ ，而兩者之和 $2j+1$ 為奇數，所以

1. $j-i=1$ ，此時 $j+i+1=2^{k+1}=2n$ ，超過了 $i+j+1$ 的最大值，不可能。

2. $j+i+1=1$ ，顯然不可能。

綜上 $n$ 為2的冪次時可以，當然 $n=1$ 時需要額外討論。

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3) $n$ 為非2冪次的偶數時，考慮 $n$ 的因式分解 $n=2^{s}t$ ，令 $q=max(2^{s+1},t),p=min(2^{s+1},t)$ ，

則有一組解 $j=frac{q+p+1}{2},i=frac{q-p+1}{2}$ 。

---------------最早的答案--------------------

我題目沒理解錯的話

似乎是證明對於某些 $n$ ， ${frac{i(i+1)}{2}}$ % $n$ 的集合等於 $[0,n)$ ？

謝邀。這個題好熟悉啊，可能以前學競賽有做過吧。

佔個坑。。吃個飯再回來看。

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吃完了。這題很確定以前做過了，應該全部情況都做過。不過和高數有啥關係呢？

首先，不管那個圈，全部順序排成一排，那麼第k個就放在編號為k(k-1)/2的位置上。現在再把它們排成一個圈，也就是模n同餘了。（好象說得不太清楚，但應該都明白）

如果有兩個不同的硬幣（假設是第i個和第j個）重合，那就是說：

i(i-1)/2≡j(j-1)/2 (mod n)

而且 1≤i≤n 1≤j≤n i≠j

同餘式簡單地移項分解因式有：

(i-j)(i+j-1)/2≡0 (mod n)

如果n是奇數，那麼1和n重合，2和(n-1)重合，以此類推。當i+j-1=n時(i-j)為偶的，所以那個同餘式就滿足了。所以，奇數不滿足題意，不能不重地放置。

偶數就上圖了，思路還是解同餘式整除什麼的，和奇數差不多。結論是只有2的冪（包括1）滿足題意，可以不重地放置。

傳不上圖是鬧哪樣啊。。。

行，手打好了。總之，如果n是2的k次方乘d（k≥1，d為奇數），那麼取

i-j=2的(k+1)次方

i+j-1=(2的(k-1)次方 -1)·d

顯然這是解。當然，有兩個特例不滿足，只要驗證解出來的1≤j≤i≤n，發現這個不等式不滿足的情形有如下兩種：（具體過程之後看能不能傳上來了…誰來教我打公式啊啊啊）

第一個是d=3，k=1。也就是n=6。直接驗證只要i=1，j=4就同餘了。

第二個是n為2的k次方。直接證明不存在i和j即可。只需注意兩點即可：一是同餘式等價於2的(k+1)次方整除(i-j)(i+j-1)，二是這兩個因式奇偶不同，所以討論2的(k+1)次方整除(i-j)或者(i+j-1)這兩種情形，從大小上發現都矛盾：它們都小於2n，即2的(k+1)次方，所以無法整除。證畢。

雖然不能清晰明了地傳達我的思想，但我相信各位聰明的看官都知道我在說什麼。還有不清楚的就直接提出好了。。

果然是老年選手了，邊回憶邊做還錯了好幾次。。